陳雨晴7

《陳雨晴7》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。

摘要函數(shù)序列的一致收斂性理論是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要內(nèi)容。在眾多數(shù)學(xué)分析講義中給出了函數(shù)序列一致收斂的一些判別方法，但是這些方法仍不夠全面，并不能解決大多數(shù)函數(shù)序列的一致收斂問(wèn)題。因此，文章簡(jiǎn)要地闡述了函數(shù)序列一致收斂的研究背景以及研究意義，歸納總結(jié)了比較實(shí)用的六種函數(shù)序列一致收斂的判別方法，并對(duì)它們的應(yīng)用做了相應(yīng)的說(shuō)明與舉例，以便于讀者更好的理解這些判別方法，為今后處理函數(shù)序列一致收斂的判別提供便利。同時(shí)文章提出MATLAB在函數(shù)序列一致收斂判別上的應(yīng)用，給出解題的程序代碼步驟，并通過(guò)幾個(gè)例子說(shuō)明，實(shí)現(xiàn)了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)分析中的有效融合，并得到實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。這對(duì)于研究函數(shù)序列一致收斂及其收斂區(qū)間具有較大的作用。關(guān)鍵詞：函數(shù)序列；一致收斂；MATLAB編程

1AbstractThetheoryofuniformconvergenceoffunctionsequenceisanimportantcontentofmathematicalanalysis.Inmanylecturenotesofmathematicalanalysis,somemethodstojudgetheuniformconvergenceoffunctionsequencesaregiven,butthesemethodsarestillnotcomprehensiveenoughtosolvetheproblemofuniformconvergenceofmostfunctionsequences.Consequently,theresearchbackgroundandsignificanceofuniformconvergenceoffunctionsequencesarebrieflydescribedinthispaper,summarizessixpracticalmethodsforjudgingtheuniformconvergenceoffunctionsequences,andgivescorrespondingexplanationsandexamplesfortheirapplications,soastofacilitatethereaderstobetterunderstandthesemethodsandprovideconveniencefordealingwiththeuniformconvergenceoffunctionsequencesinthefuture.Atthesametime,thepaperputsforwardtheapplicationofMATLABinthejudgmentofuniformconvergenceoffunctionsequence,givestheprocedurecodestepsofsolvingproblems,andthroughseveralexamples,realizestheeffectiveintegrationofinformationtechnologyinmathematicalanalysis,andisverifiedbyexperiments.Itisimportanttostudytheuniformconvergenceandtheconvergenceintervaloffunctionsequences.Keywords：Functionsequences;Uniformconvergence;MATLABprogrammeandpicture.14

2目錄1引言12函數(shù)序列一致收斂的相關(guān)概念22.1函數(shù)序列的定義22.2函數(shù)序列收斂的定義22.3函數(shù)序列一致收斂的定義23函數(shù)序列一致收斂的判別33.1柯西準(zhǔn)則33.2余項(xiàng)準(zhǔn)則43.3狄尼(Dini)定理53.4海涅定理推廣的一致收斂判別63.5利普希茲（lipschitz）條件的一致收斂判別73.6逐項(xiàng)連續(xù)序列的一致收斂判別84MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的應(yīng)用94.1MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的應(yīng)用舉例94.2MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的編程步驟104.3MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的幾個(gè)例子115總結(jié)13參考文獻(xiàn)15致謝1614

3函數(shù)序列一致收斂的判別及MATLAB在其上的應(yīng)用1引言古往今來(lái)，眾多數(shù)學(xué)家都在函數(shù)序列一致收斂方法的研究方面做出了巨大貢獻(xiàn)，這些性質(zhì)早在百多年前就已經(jīng)研究清楚了。函數(shù)序列一致收斂是在其收斂的基礎(chǔ)上增加條件而得到的。在高斯（Gauss，1777-1855）等人對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)研究的基礎(chǔ)之上，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy,1789-1857)是第一位認(rèn)識(shí)到無(wú)窮級(jí)數(shù)論并不是多項(xiàng)式理論的平凡推廣，他認(rèn)為這個(gè)理論應(yīng)該要以極限為基礎(chǔ)，最后他建立了完整的級(jí)數(shù)理論。他所給出的“柯西準(zhǔn)則定理”作為判定函數(shù)序列一致收斂的重要定理之一，對(duì)研究者提供了很大的開(kāi)辟路徑。意大利數(shù)學(xué)家烏利塞?迪尼（UlisseDini,1845－1918）提出的“狄尼定理”是從緊致拓?fù)淇臻g下研究的函數(shù)序列一致收斂的特殊結(jié)論，對(duì)后輩研究函數(shù)序列的一致收斂性提供了分析基礎(chǔ)?，F(xiàn)代也有許許多多的數(shù)學(xué)研究者對(duì)函數(shù)序列一致收斂探索出新的判別方法，他們?cè)谇叭说难芯炕A(chǔ)上尋找不同方向的條件判別函數(shù)序列的一致收斂性。數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和探索是永無(wú)止境的。眾所周知，一致收斂理論是數(shù)學(xué)分析課程中的重難點(diǎn)之一，許多數(shù)學(xué)分析的教材把函數(shù)序列的理論作為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的準(zhǔn)備展開(kāi)。但實(shí)際上，函數(shù)序列的理論具有獨(dú)立意義，它和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的理論同等重要且相輔相成。為了更直觀地判定函數(shù)序列是否一致收斂，文章在歸納傳統(tǒng)判別方法的基礎(chǔ)之上引入MATLAB這一數(shù)學(xué)軟件。用MATLAB軟件編程的圖像可以很清楚地觀察出函數(shù)序列是否一致收斂，若其是一致收斂的，還可以得知在第幾項(xiàng)開(kāi)始進(jìn)入一致收斂的區(qū)域。通過(guò)代碼編程也減小了傳統(tǒng)的判定方法因計(jì)算帶來(lái)的失誤或函數(shù)較復(fù)雜帶來(lái)的化簡(jiǎn)步驟。文章在前人研究的基礎(chǔ)上，從函數(shù)序列收斂的相關(guān)概念、判定定理、應(yīng)用舉例等方面，詳細(xì)論述且歸納函數(shù)序列一致收斂的判別方法，第一次將函數(shù)序列一致收斂的判別與MATLAB軟件結(jié)合研究，并得到預(yù)期的結(jié)果，利用MATLAB的編程代碼語(yǔ)言成功地將MATLAB數(shù)學(xué)軟件與函數(shù)序列一致收斂性結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)分析中的有效融合，并得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，讓數(shù)學(xué)研究在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域上向前邁了一步，這對(duì)今后的數(shù)學(xué)與信息技術(shù)的融合有一定的幫助。14

41函數(shù)序列一致收斂的相關(guān)概念1.1函數(shù)序列的定義若有一個(gè)無(wú)窮序列它的每一項(xiàng)都是函數(shù)，且它們有公共的定義域，則稱這個(gè)序列為定義在同一數(shù)集上的函數(shù)序列，記為或，序列中的每一個(gè)函數(shù)都叫做一個(gè)項(xiàng)。1.2函數(shù)序列收斂的定義以代入可得到實(shí)數(shù)序列如果此函數(shù)序列收斂，則稱在點(diǎn)處收斂。當(dāng)函數(shù)序列在數(shù)集上每一點(diǎn)都收斂時(shí)，就稱其在數(shù)集上收斂。它的分析語(yǔ)言表達(dá)如下：對(duì)有研究發(fā)現(xiàn)，在對(duì)函數(shù)序列取逐點(diǎn)極限的過(guò)程中，函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性都不能保證，也不能通過(guò)應(yīng)用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)求積分再取極限的方法來(lái)求極限的導(dǎo)數(shù)和微分。對(duì)于函數(shù)序列，討論它在哪些點(diǎn)上的收斂性是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，因此，需要通過(guò)增加一些條件，即對(duì)數(shù)集上的收斂性提出更高的要求，研究函數(shù)序列與極限函數(shù)所具有的解析性質(zhì)才能達(dá)到上述目的。1.3函數(shù)序列一致收斂的定義設(shè)是一個(gè)非空實(shí)數(shù)集，是一個(gè)函數(shù)序列，它的每一項(xiàng)都在上有定義，又設(shè)是定義在上的一個(gè)函數(shù)，如果對(duì)任意給定的，存在相應(yīng)的正整數(shù)（僅與有關(guān)），使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有，則稱函數(shù)序列在集合上一致收斂于函數(shù).記作它的分析語(yǔ)言表述如下：對(duì)有14

51函數(shù)序列一致收斂的判別函數(shù)序列的一致收斂比它的逐點(diǎn)收斂要強(qiáng)很多，它將逐點(diǎn)收斂推廣到整體收斂，這樣可以使用函數(shù)序列極限函數(shù)的解析性質(zhì)來(lái)得出函數(shù)對(duì)應(yīng)的連續(xù)性、可微性以及可積性等相關(guān)性質(zhì)。對(duì)于函數(shù)序列的一致收斂性，它的判別方法主要有以下六種：1.1柯西準(zhǔn)則3.1.1定理概述函數(shù)序列在它的非空數(shù)集上滿足一致收斂的充要條件，即對(duì)任給的，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的，都有用分析語(yǔ)言表述如下:對(duì)有柯西一致收斂準(zhǔn)則的優(yōu)越性體現(xiàn)在許多地方，在數(shù)學(xué)分析中有出現(xiàn)收斂和一致收斂的概念之中，或在極限函數(shù)未知的情況下，只要根據(jù)函數(shù)序列本身的特性一般都可以探究出對(duì)應(yīng)的柯西的收斂準(zhǔn)則或柯西一致收斂準(zhǔn)則。在函數(shù)序列表達(dá)式比較簡(jiǎn)單的題目或函數(shù)序列極限不存在的情況下，就能用柯西一致收斂準(zhǔn)則去判別。3.1.2應(yīng)用舉例例1證明：若對(duì)有且收斂，則函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂。分析：本題要求證明函數(shù)序列的一致收斂性，由題意知，給定的函數(shù)序列是一個(gè)抽象的序列，即極限函數(shù)值是很難求解出來(lái)的，因此考慮從柯西的一致收斂準(zhǔn)則入手。利用不等式的性質(zhì)以及數(shù)列的收斂性質(zhì)，證明函數(shù)序列的一致收斂性。證：由有，14

6又因?yàn)楣视?。則所以函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂。1.1余項(xiàng)準(zhǔn)則3.2.1定理概述設(shè)是定義在非空數(shù)集上的一個(gè)函數(shù)序列，是定義在上的一個(gè)函數(shù)，則在上一致收斂于的充要條件是。余項(xiàng)準(zhǔn)則是判定函數(shù)序列一致收斂的一個(gè)充要條件，使用余項(xiàng)準(zhǔn)則的必要條件是極限函數(shù)序列的表達(dá)式已知且極限值存在。3.2.2應(yīng)用舉例例2討論的一致收斂性。分析：本題可以由題目給定的函數(shù)序列求出其極限函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)余項(xiàng)準(zhǔn)則的條件知，滿足其上確界的極限為0，則可判定函數(shù)序列一致收斂，本題中所求函數(shù)序列與它的極限值之差的上確界極限值趨于正無(wú)窮，故函數(shù)序列在區(qū)間上不一致收斂。解：由題意得：函數(shù)序列的極限函數(shù)于是，函數(shù)序列的余項(xiàng)。由求導(dǎo)驗(yàn)證知余項(xiàng)值在上只有唯一的極大值點(diǎn)因此為閉區(qū)間內(nèi)的最大值點(diǎn)，則根據(jù)一致收斂的余項(xiàng)準(zhǔn)則知，該函數(shù)序列在上不一致收斂。對(duì)于上述例子214

7而言，若用柯西一致收斂準(zhǔn)則證明，明顯不方便，而且計(jì)算較繁瑣，在計(jì)算過(guò)程中容易因項(xiàng)的數(shù)目太多造成列舉耗時(shí)且書(shū)寫(xiě)不方便，而使用余項(xiàng)準(zhǔn)則卻能很快的判斷出它在區(qū)間上是否一致收斂。1.1狄尼(Dini)定理3.3.1定理概述設(shè)函數(shù)序列在有界閉區(qū)間上單調(diào)且收斂于，若與都在上連續(xù)，則在上一致收斂于。使用狄尼定理判定一致收斂時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)序列和極限函數(shù)本身所要滿足的基本條件，首先要求函數(shù)序列在閉區(qū)間內(nèi)具有單調(diào)性，這里的單調(diào)性是針對(duì)序列提出來(lái)的，所以必須滿足連續(xù)條件。其次函數(shù)序列要收斂于極限函數(shù)，再者極限函數(shù)的連續(xù)性也要保證，則可作為判定函數(shù)序列一致收斂的充分非必要條件。注：狄尼定理是奧斯古德定理中的一個(gè)子定理，若要通過(guò)狄尼定理研究函數(shù)序列的一致收斂性，溯其本源可至奧斯古德定理中研究，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[9]。3.3.2應(yīng)用舉例例3判斷函數(shù)序列在上的一致收斂性，并求出它的極限函數(shù)。分析：本題可以有多種解法，筆者給出的是用狄尼定理證明的方法。由使用條件可知，只需證明函數(shù)序列的單調(diào)性，求出極限函數(shù)，以及二者在閉區(qū)間上的連續(xù)性，就可證明函數(shù)序列的一致收斂性。證：對(duì)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增。又因?yàn)?，所以收斂于極限函數(shù)，且與在上連續(xù)。14

8故由狄尼定理知，在一致收斂于，就是所求的極限函數(shù)。由本題可知，在函數(shù)序列一致收斂的判別法中，只要收斂于連續(xù)函數(shù)，在閉區(qū)間上都一致收斂于,所以對(duì)于判別函數(shù)序列在有界區(qū)間上的一致收斂性之作用不可小覷。1.1海涅定理推廣的一致收斂判別3.4.1定理概述函數(shù)序列的在任意有界區(qū)間上存在任意兩個(gè)數(shù)列與當(dāng)時(shí),有則函數(shù)序列在區(qū)間上一致收斂于。本定理是在出現(xiàn)兩組數(shù)列和函數(shù)序列之間關(guān)系的情況下使用的。其本質(zhì)是函數(shù)序列等度連續(xù)與一致收斂及一致連續(xù)之間的關(guān)系，當(dāng)出現(xiàn)一致連續(xù)時(shí)，可以由其推出函數(shù)序列的一致收斂性，函數(shù)序列的一致連續(xù)性為收斂和一致收斂搭建了橋梁。3.4.2應(yīng)用舉例例4[1]設(shè)定義在上的函數(shù)序列如下：試問(wèn)：在上是否收斂？是否一致收斂？分析：本題的函數(shù)序列在論證是否收斂時(shí)有多種解法，筆者運(yùn)用定義法證明，若函數(shù)序列與極限函數(shù)的值相等，則函數(shù)序列在閉區(qū)間上收斂。在證明是否一致收斂時(shí)，可以選取兩個(gè)符合條件的數(shù)列，判斷其對(duì)應(yīng)的函數(shù)序列是否滿足14

9進(jìn)而證明是否一致收斂。解：若為無(wú)理數(shù)，則。若為有理數(shù)，則于是有。當(dāng)或時(shí)，也有。所以在上收斂，其極限函數(shù)為狄利克雷函數(shù)。即：下面討論的一致收斂性。取為上的趨于0的有理數(shù)數(shù)列，為上的趨于0的無(wú)理數(shù)數(shù)列，則。但不滿足海涅定理推廣的一致收斂判別。綜上所述，在上收斂，但不一致收斂。1.1利普希茲（lipschitz）條件的一致收斂判別3.5.1定理概述函數(shù)序列在上有意義，且滿足利普希茲條件，1）對(duì)有其中是和無(wú)關(guān)的常數(shù)項(xiàng)；2）若對(duì)有。則在上一致收斂于。使用利普希茲（lipschitz）條件時(shí)，應(yīng)注意滿足的條件有兩個(gè)，且需要尋找函數(shù)序列的兩個(gè)子列使它們滿足條件。14

103.5.2應(yīng)用舉例例5證明函數(shù)序列在上的一致收斂性。分析：本題滿足利普希茲條件的第二個(gè)條件，所以只要分析出第一個(gè)條件也滿足，就可以證明函數(shù)序列的一致收斂性。于是在函數(shù)序列中尋找兩個(gè)函數(shù)子列，利用三角函數(shù)的和差化積公式以及三角函數(shù)的取值范圍證明條件成立即可。證：對(duì)有，且有，所以函數(shù)序列在上一致收斂于。1.1逐項(xiàng)連續(xù)序列的一致收斂判別3.6.1定理概述假設(shè)函數(shù)序列在任意閉區(qū)間上每一項(xiàng)都連續(xù),且在閉區(qū)間上也連續(xù),則函數(shù)序列在閉區(qū)間上一致收斂于的充要條件是:對(duì)于中任何以為極限的數(shù)列,都有。運(yùn)用本定理需要滿足的條件是：函數(shù)序列及其極限函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)且存在以為極限的數(shù)列，滿足函數(shù)序列的極限值收斂。3.6.2應(yīng)用舉例例6討論函數(shù)序列在上的一致收斂性，其中。分析：通過(guò)對(duì)函數(shù)序列解析式的分析得知函數(shù)序列的每一項(xiàng)在區(qū)間內(nèi)都連續(xù)，所以只要滿足其對(duì)應(yīng)數(shù)列是收斂的，就可以證明函數(shù)序列的一致收斂性。解：由題意知，是一個(gè)連續(xù)函數(shù)序列，且其極限函數(shù)，14

11則有在上逐點(diǎn)收斂于。又已知對(duì)于中任何以為極限的數(shù)列都有：。所以函數(shù)序列在上一致收斂于。通過(guò)以上五種傳統(tǒng)的判別方法，可以解決大部分的函數(shù)序列一致收斂的判別。但是，傳統(tǒng)的判定方法多且每種類(lèi)型的題目可能會(huì)有多種不同的解題方法，有些簡(jiǎn)單有些復(fù)雜。若是碰到較為繁瑣的函數(shù)序列，則要先進(jìn)行化簡(jiǎn)，這之間的步驟也是十分復(fù)雜不便的。為了解決找不到最合適的解題方法或是傳統(tǒng)判別會(huì)因計(jì)算復(fù)雜帶來(lái)的出錯(cuò)或不便，文章提出用計(jì)算機(jī)編程解決函數(shù)序列一致收斂問(wèn)題的判別。筆者使用MATLAB編程軟件，根據(jù)函數(shù)序列的幾何意義，編寫(xiě)函數(shù)序列在任意區(qū)間上的一致收斂問(wèn)題的判別方法的代碼，并以例子的形式展示運(yùn)行結(jié)果，文章也給出了解題必要的編程依據(jù)和步驟，最后再進(jìn)行運(yùn)用說(shuō)明。這給判定函數(shù)序列是否一致收斂帶來(lái)了極大的便利，證實(shí)了數(shù)學(xué)在信息技術(shù)上的有效運(yùn)用和融合，為數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)軟件上的行走又向前邁近了一步。1MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的應(yīng)用1.1MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的應(yīng)用舉例以為例，使用MATLAB軟件討論它在處的一致收斂性。編程如下：x=0:0.05:0.8plot([0,0.8],[0.3,0.3],'black--','LineWidth',2)%forepsilon=0.3holdonplot([0,0.8],[-0.3,-0.3],'black--','LineWidth',2)plot([0,0.8],[0,0],'black','LineWidth',3)%convergencetofunction014

12forn=1:20f_n=x.^n%seriesoffunctionsplot(x,f_n)holdonendholdoff圖41結(jié)果運(yùn)行如圖41，從圖中可以看出，當(dāng)取，時(shí)，誤差帶為虛線部分即，函數(shù)序列一致收斂于（實(shí)線部分），因此，存在，當(dāng)時(shí)，即第6個(gè)函數(shù)開(kāi)始進(jìn)入誤差帶，此時(shí)以后的。1.1MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的編程步驟應(yīng)用MATLAB編程分析函數(shù)序列的一致收斂性可以比一般的判定方法更直觀地看出函數(shù)序列的收斂區(qū)間以及是否一致收斂，操作簡(jiǎn)單，觀察性強(qiáng)。下面簡(jiǎn)單介紹用MATLAB編程分析函數(shù)序列的一致收斂性的步驟：1）由于編程的需要，要先給出判定是否一致收斂的區(qū)間，區(qū)間的選取一般都包含極限函數(shù)值和誤差帶；2）在上述取定區(qū)間的基礎(chǔ)上，用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言輸入一個(gè)大于014

13以及要判定其是否一致收斂的函數(shù)；3）畫(huà)出誤差帶以及是否一致收斂的函數(shù)，以便于判斷是否滿足；4）運(yùn)用for循環(huán)語(yǔ)言，畫(huà)出在上述區(qū)間的函數(shù)序列；5）編寫(xiě)編程代碼的結(jié)尾部分，使編程代碼完整可運(yùn)行。查看圖像，觀察圖像上的函數(shù)序列與誤差帶之間的關(guān)系，得出函數(shù)序列在第幾條曲線開(kāi)始完全進(jìn)入誤差帶內(nèi)，即為中的第幾條曲線開(kāi)始大于，函數(shù)序列此時(shí)也就滿足一致收斂的條件。注：如果想觀察同一個(gè)區(qū)間上的不同函數(shù)序列，可以運(yùn)用subplot語(yǔ)言畫(huà)出四幅圖進(jìn)行同時(shí)比較。1.1MATLAB在函數(shù)序列一致收斂上的幾個(gè)例子了解完函數(shù)序列的收斂和一致收斂的定義及其編程代碼使用的判定方法，根據(jù)以下幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明一下它們的運(yùn)用，并用MATLAB編程畫(huà)出對(duì)應(yīng)的一致收斂的圖像，使結(jié)論更具有說(shuō)服力。例7考慮函數(shù)序列是否收斂，并求出它的收斂區(qū)間和極限函數(shù)。（如圖42）編程如下：x=-1:0.05:1%步驟（1）給定一致收斂的區(qū)間y1=plot([-1,1],[0.2,0.2],'red--','LineWidth',2)%步驟（2）forepsilon=0.3holdony2=plot([-1,1],[-0.2,-0.2],'red--','LineWidth',2)%步驟（3）給定誤差帶y3=plot([-1,1],[0,0],'y','LineWidth',3)%convergencetofunction0forp=1:4%用subplot語(yǔ)言畫(huà)四幅圖a=input('a=');b=input('b=');14

14forn=a:b%步驟（4）for循環(huán)畫(huà)出函數(shù)序列f_n=n.*abs(x).*(1-x.^2).^n%給出函數(shù)序列的表達(dá)式subplot(2,2,p)plot(x,y1,'r--',x,y2,'r-',x,y3,'y-',x,f_n,'k')holdonendendholdoff%步驟（5）結(jié)束并觀察圖像。圖42例8討論函數(shù)序列在上是否一致收斂。（如圖43）編程如下：x=-20:0.5:20%步驟（1）給出一致收斂區(qū)間y1=plot([-20,20],[0.1,0.1],'black--','LineWidth',2)%步驟（2）forepsilon=0.1holdony2=plot([-20,20],[-0.1,-0.1],'black--','LineWidth',2)%步驟（3）給定誤差帶y3=plot([-20,20],[0,0],'y','LineWidth',3)%convergencetofunction0forn=1:20%步驟（4）for循環(huán)畫(huà)函數(shù)序列f_n=x./(1+n.^2.*x.^2)%seriesoffunctions%給出函數(shù)序列的表達(dá)式14

15plot(x,f_n)holdonendholdoff%步驟（5）結(jié)束并觀察圖像。圖431總結(jié)由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為部分和函數(shù)序列收斂問(wèn)題進(jìn)行解決，故文章就不考慮函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題?？偟膩?lái)說(shuō)，文章通過(guò)對(duì)函數(shù)序列一致收斂的背景和數(shù)學(xué)史的研究，總結(jié)了在研究函數(shù)序列發(fā)展過(guò)程遇到的一些問(wèn)題，如函數(shù)序列的可積性、可微性和連續(xù)性不能保證，如何才能具有這一系列的性質(zhì)呢？引入函數(shù)序列的一致收斂性的概念。但又出現(xiàn)了新的問(wèn)題：如何判定函數(shù)序列是一致收斂的？在我們所熟知的數(shù)學(xué)分析的書(shū)本或材料都描述過(guò)函數(shù)序列一致收斂的概念以及函數(shù)序列一致收斂的判別方法，例如柯西準(zhǔn)則、余項(xiàng)準(zhǔn)則、狄尼定理。然而，在對(duì)函數(shù)序列是否一致收斂做出判別時(shí)，使用已經(jīng)存在的這些方法有一定的困難度，有些還根本無(wú)法判別函數(shù)序列在其區(qū)間內(nèi)是否一致收斂，于是文章對(duì)其進(jìn)行細(xì)化和推廣，歸納整理并找到了其他判別法，比如海涅定理推廣的一致收斂判別、利普希茲的一致收斂判別、逐項(xiàng)連續(xù)序列的一致收斂判別。同時(shí)，對(duì)列出的定理說(shuō)明它們的使用條件，舉例驗(yàn)證定理方法的可行性和快捷性，14

16充分突出優(yōu)越性?？偟膩?lái)說(shuō)，絕大部分一致收斂的判別法只能針對(duì)某些或者某一個(gè)類(lèi)型的函數(shù)序列，教材在解釋概念的基礎(chǔ)之上，編寫(xiě)基本且大眾適用的判別方法，再對(duì)函數(shù)序列一致收斂判別的方法進(jìn)行簡(jiǎn)單推廣，其中就能運(yùn)用函數(shù)序列一致收斂性這一重要性質(zhì)。因此文章考慮到這些問(wèn)題，引入MATLAB編程軟件，通過(guò)掌握函數(shù)序列一致收斂的幾何意義，應(yīng)用MATLAB編程，編寫(xiě)出一套完整的用于判定函數(shù)序列是否一致收斂的程序，并根據(jù)操作結(jié)果展示的圖像說(shuō)明依據(jù)，同時(shí)給出編程大意的合理解釋和編程步驟與函數(shù)序列一致收斂知識(shí)的相關(guān)結(jié)合，最后運(yùn)用2個(gè)例子加強(qiáng)鞏固，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖像，證明其收斂性。1.1.114

17參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè))［M］．4版.北京:高等教育出版社，2010．[2]陳紀(jì)修，於崇華，金露，數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M]．2版．北京：高等教育出版社，2004．[3]杜藏,駱源.科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言MATLAB簡(jiǎn)明教程[M].天津:南開(kāi)大學(xué)出版社,1998.[4]林源渠,方企勤,李正元.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].北京:高等教育出版社,1986.[5](美)W.盧丁.趙慈庚,蔣鐸譯.數(shù)學(xué)分析原理[M].北京:人民教育出版社,1979.[6]黃會(huì)蕓.辯證法思想在高等數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)[J].職業(yè)時(shí)空,2009(08):156-157.[7]黎野平，廖杰.淺論復(fù)合函數(shù)序列的一致收斂性[J].上海：高等數(shù)學(xué)研究，2018,21(4)：62-64.[8]魏運(yùn).函數(shù)列內(nèi)閉一致收斂及其性質(zhì)[J].呼和浩特：內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)學(xué)報(bào)，2019,15(4):142-143.[9]邢家省,楊義.函數(shù)列一致收斂的奧斯古德定理[J].成都：四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2017,30(6)：83-92.[10]葛仁福.函數(shù)列一致收斂判別法[J].南京：大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27(4)：179-181.[11]黃羿.函數(shù)列一致收斂判別法的推廣及其應(yīng)用[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)理工卷,2010(03):203-204.[12]徐麗．函數(shù)列一致連續(xù)和一致收斂及等度連續(xù)的關(guān)系[J].上海：上海電力學(xué)院學(xué)報(bào)，2007(3)：284-286.[13]陳白棣,王鈞.函數(shù)列一致收斂性判定方法[J].九江：九江學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2006(01)：99-101.[14]王振乾彭建奎王立萍.關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判定的討論[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010(04):116-118.16

18致謝希望這篇論文不會(huì)是學(xué)術(shù)思考的終點(diǎn)，希望前面這句話不只是希望。時(shí)光匆匆如流水，轉(zhuǎn)眼便是大學(xué)畢業(yè)時(shí)節(jié)，春夢(mèng)秋云，聚散真容易。離校日期已日趨漸進(jìn)，畢業(yè)論文的完成也隨之進(jìn)入了尾聲。本篇論文是在周先耕導(dǎo)師的悉心指導(dǎo)下完成的。導(dǎo)師淵博的專業(yè)知識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德對(duì)我影響深遠(yuǎn)。論文從選題到完成，每一步都傾注了導(dǎo)師大量的心血。在此，謹(jǐn)向?qū)煴硎境绺叩木匆夂椭孕牡母兄x！同時(shí)感謝學(xué)習(xí)生涯中各位傾囊相授的老師，前幾年的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)對(duì)我非常重要，是你們讓我能夠在知識(shí)的海洋里吸取更多的營(yíng)養(yǎng)，從而能夠?yàn)樽约哼M(jìn)一步地加油充電。最后感謝我的家人，這么多年來(lái)，正是你們的支持和鼓勵(lì)，才使我順利地完成學(xué)業(yè)；正是你們的關(guān)心和默默的奉獻(xiàn)，給我創(chuàng)造了優(yōu)越的條件，使我在學(xué)習(xí)的道路上樂(lè)觀向上、勇往直前?！伴L(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海?！边@是我少年之時(shí)最喜歡的詩(shī)句。就用這話作為這篇論文的一個(gè)結(jié)尾，也是一段生活的結(jié)束，但象牙塔外不是一帆風(fēng)順的新世界，人生海濤，唯有不忘初心，劈浪前行。希望自己能夠繼續(xù)少年時(shí)的夢(mèng)想，永不言棄。16