4【答案】311212【解析］由圖易知a0=1,q=3,a2=4，貝ya〔=Cn3,a2=Cn(_)=4，即aan(n-1—解得a=3.【2019年高考命題預(yù)測】,重點是二項式定理的通項公式、縱觀近幾年各地高考，我們能夠發(fā)現(xiàn)對二項式定理的考查項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查基本概念、基礎(chǔ)知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或范圍等；難度不大，屬于中檔題和容易題，題型為選擇題或填空題?二項式定理是高考數(shù)學(xué)相對獨立的內(nèi)容，二項式定理的知識在高考中經(jīng)常以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習(xí)題遷移的改編題，難度不大，個別題有一定的難度，重點考查使用二項式定理去解決問題的水平和邏輯劃分，化歸轉(zhuǎn)化等思想方法.為此，只要我們把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學(xué)模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解?預(yù)測2019年高考仍可能以二項式的通項，二項式系數(shù)，展開式系數(shù)為主，可單獨考查本節(jié)知識，也可出現(xiàn)與其他章節(jié)知識結(jié)合的小綜合.如可能與定積分結(jié)合出題，試題難度中等.復(fù)習(xí)建議：⑴使用二項式定理一定要牢記通項「.1二C：an_rbr,注意abn與ban雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，我們一定要注意順序問題?另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的（字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指cn，而后者是字母外的部分.⑵對于二項式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點：①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”一一構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；③證明不等式時，應(yīng)注意使用放縮法.⑶求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求r，再求Tr1，有時還需先求n,再求r,才能求出Tr⑷有些三項展開式問題能夠變形為二項式問題加以解決；有時也能夠通過組合解決，但要注
5意分類清楚，不重不漏?⑸對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.⑹近似計算要首先觀察精確度，然后選擇展開式中若干項?⑺用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橄嚓P(guān)除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的相關(guān)知識來解決.【20佃年高考考點定位】本節(jié)內(nèi)容高考的重點就是利用二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查基本概念、基礎(chǔ)知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或范圍等，題型既有選擇題也有填空題，難度中等偏下，而小題目綜合化是這部分內(nèi)容的考查一種趨勢.【考點】二項式定理【備考知識梳理】1.二項式定理(a+b$=C：anHfcnanJb++C：an_rbr+|忖C：bn(n^N*)，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a+b)的二項展開式，其中的系數(shù)cn(^0,1,2,31,n)叫做二項式系數(shù)?式中的Cnran」br叫做二項展開式的通項，用Trd表示，即展開式的第r1項；Trd二C；an_rbr.2?二項展開式形式上的特點：(1)項數(shù)為n1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的幕指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降幕排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升幕排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從c0,C：，一直到V,C：.3.二項式系數(shù)的性質(zhì)：(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即nco,Cn-C；；4，-,cm增減性與最大值：二項式系數(shù)c；，當(dāng)門1n+1時，二項式系數(shù)是遞增的；由對稱性知：當(dāng)r：?——時，二項式系數(shù)是遞減的.當(dāng)n是偶數(shù)2nn1n時，中間的一項C］取得最大值?當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項Cn2和Cn2相等，且同時取得最大值.(3)各二項式系數(shù)的和：(a+b)的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即CniIorcnnio^2n,二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即=cn+c"c"IH2n」,
64.注意：（1）.分清cnan-rbr是第r1項，而不是第r項.（2）?在通項公式中，含有Trd、C：、a、b、n、r這六個參數(shù)，只有a、b、n、r是獨立的，在未知n、r的情況下，用通項公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程（組）求出n、r,然后代入通項公式求解.（3）?求二項展開式中的一些特殊項，如系數(shù)最大項，常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式由題意列方程，求出r，再求所需的某項；有時則需先求n,計算時要注意n和r的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.（4）在Trd=c；,an-cbr中，c就是該項的二項式系數(shù)，它與a,b的值無關(guān)；而Tr,項的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù).5?二項式的應(yīng)用：（1）求某些多項式系數(shù)的和；（2）證明一些簡單的組合恒等式；（3）證明整除性，①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；（4）近似計算.當(dāng)x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：①（1+x）n；t：1+nx；—nn（n—1）2②1x：1nxx；（5）證明不等式.2【規(guī)律方法技巧】1.在應(yīng)用通項公式時，要注意以下幾點：①它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定；②Tr1是展開式中的第r-1項，而不是第r項；③公式中，a,b的指數(shù)和為n且a,b不能隨便顛倒位置；④對二項式（a-b）n展開式的通項公式要特別注意符號問題?⑤在二項式定理的應(yīng)用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法.1.二項定理問題的處理方法和技巧：⑴使用二項式定理一定要牢記通項T「二cnan_rbr，注意（a+b『與（b+a$雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的（字母）系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指c：,而后者是字母外的部分?前者只與n和r相關(guān)，恒為正，后者還與a,b相關(guān)，可正可負(fù).⑵對于二項式系數(shù)問題，應(yīng)注意以下幾點：①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”一一構(gòu)造函
7數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；③證明不等式時，應(yīng)注意使用放縮法.⑶求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)已知條件求r，再求Tr1，有時還需先求n，再求r，才能求出Tr仁⑷有些三項展開式問題能夠變形為二項式問題加以解決；有時也能夠通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏?⑸對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.⑹近似計算要首先觀察精確度，然后選擇展開式中若干項?⑺用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橄嚓P(guān)除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的相關(guān)知識來解決.多項式乘法的進(jìn)位規(guī)則：在求系數(shù)過程中，盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別，盡量化成加減運算，在運算過程能夠適當(dāng)注意令值法的使用，例如求常數(shù)項，可令x=0.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別?1.排列組合在二項展開式中的應(yīng)用：ab“展開式能夠由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定.(1)次數(shù)的確定：從n個相同的ab中各取一個(a或b)乘起來，能夠構(gòu)成展開式中的一項，展開式中項的形式是mapbq，其中p,qN,p，q=n.(2)項數(shù)的確定：滿足條件p,qN,pq二n的p,q共n1組.即將a-bn展開共2n項，合并同類項后共n?1項.(3)系數(shù)的確定：展開式中含apbq(p+q=n)項的系數(shù)為(即p個a,q個b的排列數(shù))所以(a+b)n展開式中的通項(r=0,1,2,31,n),abi；rC^af卜|cnan'b??C；an_cbr?汁心『nN*這種方法比數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不但可二項展開，也可三項展開，四項展開等.2.求幾個二項式積的展開式中某項的系數(shù)或特定項時，一般要根據(jù)這幾個二項式的結(jié)構(gòu)特征實行分類搭配，分類時一般以一個二項式逐項分類，分析其他二項式應(yīng)滿足的條件，然后再求解結(jié)果..n2n3.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如axb、ax2bxc(a,b,c?R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x二1即可；對形如naxby(a,b?R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x=y=1即可.“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，能夠取一個值或幾個
8值，也能夠取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項等情況，應(yīng)引起注意?例：若
9和為a。乜2備怦=f°)+f卜1),偶數(shù)項系數(shù)之和為ai+a3屮=f⑴—f(一1),令22x=0,可得a0=f0.6.求展開式系數(shù)最大項：如求(ax+b)n(a,b壬R)的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待A_Ak1定系數(shù)法，設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A'A^AJ，代4，且第k項系數(shù)最大，應(yīng)用IAk亠Ak1從而解出k來，即得.7.(1)利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是實行合理地變形構(gòu)造二項式，應(yīng)注意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.(2)求余數(shù)問題時，應(yīng)明確被除式fx與除式gx(gx-0)，商式qx與余式的關(guān)系及余式的范圍.(3)展開式中常數(shù)項、有理項的特征是通項中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù).解決這類問題時，先要合并通項中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征實行分析.(4)相關(guān)求二項展開式中的項、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項公式，使用方程思想實行求值，通過解不等式(組)求取值范圍.【考點針對訓(xùn)練】1.已知(x4)n的展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列；2對x(1)求(J7+—^)n展開式中所有的有理項；2#x2(2)求(?,X-2)n展開式中系數(shù)的絕對值最大的項。X17【答案】n=8o(1)T1=x4,T4=35x,飛二1x「(2)T6--1792^_2,T7=1792x_11,8256【解析】6,7項..試題分析：根據(jù)已知條件展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列能夠求出n的值，⑴求展開式中所有的項，將有理項選出；⑵通過判斷系數(shù)絕對值最大的兩項分別為第
10題解析nn—1七—若為等差數(shù)列，則有nn-12T2-T,T3,則有n=1?8子(7X+—)展開，則有理項有2如1256⑵展開式中系數(shù)的絕對值最大的項為5_171792x12同理11T7=1792X，則其系數(shù)的絕對值的最大項為T6和T7.Z1、n2.求的展開式中的常數(shù)項，其中n是7777—10除以19的余數(shù).<2x5丿【答案】1685【解析】試題分析：由兒是77"'-10除以19的余數(shù)求了出科二10,再由二項展幵式的通項求常數(shù)項即可.試題解析：77*'-10=(76+1)"-10=-6^-9除次19的余數(shù)是10,所次打=10.設(shè)兀就是展開式中的常數(shù)項,4/=4所CAT-=—'-—!168=所以屣幵式中的常數(shù)項為—.【兩年模擬詳解析】二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比為
11【答案】(1)n=10；(2)180;(3)1.【解析】試題分析：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題?第一問，直C3O接利用條件可得，求得n的值；第二問，在二項展開式的通項公式中，令x的幕指數(shù)C：3等于3，求出r的值，即可求得展開式中x3項的系數(shù).第三問，在(、、x_2)10二項展開式中，令x=1，可得式子CO-2C10-4C：-8G3。?-1024C^10)的值.試題解析1)由第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比/呂：3,可得4=-^氏3n-2S化簡可得—求得旳=10?13⑵宙于(石-fr二項展幵式的通項公式為匚［=(-2)9】女"，令5-尸=3,求得—2,可得展幵式中T項的系數(shù)為(-2)叱$二180■?10⑶由二項式左理可得(長—(一2)；所以令x=l得常-2Cj>+4g-8C^+-+1024CJJ={1-2尸=1”2?已知(t2-4)10二a0-a1ta2t2a3t3Ha20t20?(1)求a2的值(2)求a1a3a^'弘的值(3)求a0a2/Ji'a20的值?【答案】(1)-4910(2)0(3)310【解析】求(2)(3)中奇數(shù)項和偶數(shù)項系數(shù)和時分別令t=1,t=-1，將得到的兩式整理即可求得
12試題分析：(1)求a2時利用二項式定理的展開式通項公式，取x的次數(shù)為2時求對應(yīng)的系數(shù)；求(2)(3)中奇數(shù)項和偶數(shù)項系數(shù)和時分別令t=1,t=-1，將得到的兩式整理即可求得
13試題解析：(1)a?=C：o彳—4$=—49如0(2)令t=1得:a0■a-\■#2]]'a?0=310,令t--1得:a0-q■'a2^310a!asa^a19=0(3)由(2)得a。a2■a^M'a20=33?若(6x16—廣展開式中第二、\'x三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求n的值及展開式中二項式系數(shù)最大的項.(2)此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？13【答案】(1)n=7,3x荷,35x兀(2)無常數(shù)項【解析】試題分析：首先求得二項式定理的展開式通項，得到第二、三、四項的二項式系數(shù)，列出等式關(guān)系求得n值，二項式系數(shù)最大的項為中間的一項或兩項，常數(shù)項即通項中x的次數(shù)為零的項試題解析：(1)解：由展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，得2c：=cn+c；解之得n=7所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是1=35x亦3=35x^⑵由Tr1=C76x6-7-2r二C；x〒7-2r;令；2r=0得r=；,(舍去)62所以無常數(shù)項—24?已知(、*2)n的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大.x(I)求該展開式中所有有理項的項數(shù)；
14(n)求該展開式中系數(shù)最大的項._25_25【答案】(1)6;(2)?8=Ci7°27x丁=15360x~【解析】試題分析：(1)先由只有第六項的二項式系數(shù)最大求出n=10，再利用通項實行求解；(2)設(shè)第Tri項的系數(shù)最大，利用r^rrA^rAC102-C102實行求解.0；2「2「2山試題解析：(I)由題意可知:10丄?Tr^CwX^2rx^rn+1=6二n=102'10_5r=G02rxF,(0乞r乞10,且rN)要求該展開式中的有理項，只需令10一5「.z,2.r=0,2,4,6,8,10，所有有理項的項數(shù)為6項.(I【)設(shè)第為項的系數(shù)最大,JO-r尸+11922解得：-15(2)本題考察的是求展開式中的系數(shù)最大項，設(shè)第k1項系數(shù)最大，只需建立兩個不等式
16Tk1_Tk，求出k的取值范圍，再根據(jù)kN就能夠求出k的值，最后根據(jù)二項式定理展Tk1_Tk2開式的公式即可寫出相對應(yīng)的系數(shù)最大的項。試砸解析：由題竜,2a+Sxl)41-2"=99Z=5；^==3rC；x^~,13::22⑴展開式中二〕頁式系數(shù)最犬的項是忑=3叱:門=90』：7\=3'C^x^-270x^；⑵由*3^a37（3*'—'于左去嚴(yán)解得％k=4-=3叱;點=42戸為所求的系數(shù)最大的爲(wèi)考點：（1）二項式定理（2）二項式系數(shù)的性質(zhì)6.解下列方程：C：5.Cx；3■A【答案】14n!n!的應(yīng)用，根據(jù)公式就能夠把所給方程【解析】試題分析：本題主要考察組合數(shù)公式Cnm二m!（n—m）!化簡成簡單方程，就能夠解出答案。本題易錯點在記錯公式，從而導(dǎo)致化簡出錯，本題中的上下標(biāo)較多，化簡時要多加注意。試題解析:(x5)(x4)(x4)x35!一得x=145!47?在（、.Xn的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列。（I）求展開式中含有x的項的系數(shù);（n）求展開式中的有理項?！敬鸢浮浚―38；（n）T1d;「5曽；T「256x2【解析】n的式子,試題分析：（I）首先將前三項的系數(shù)寫出，然后因為是等差數(shù)列，所以列出關(guān)于求解n,按通項公式列「1項，判定當(dāng)r為何值是，會出現(xiàn)含x的項；（n）同樣寫31r43「1二rC8rx4，有理項指4-r為整數(shù)，O^r乞8.24
17101112C0；C1；Cn，由題意24n2—9n■8=0=（舍去）8_r（I）設(shè)展開式中含有x的項為Tr彳.=C；r1.-41r'—rxrC8x223則4-4「,4，含有x的項為第5嘰它的系數(shù)為24C835（n）設(shè)展開式中第r-1項為有理項，則Tr,8_r二c；??!"2r當(dāng)r=0、4、時對應(yīng)的項為有理項，有理項分別為:壬=x4；T5=3fx；T98256x2&設(shè)數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列,a「C黑心，公比q是x4x24的展開式中的第二項（按_1試題解析：解:Gx2，x）n的展開式中前三項的系數(shù)分別為1111x的降幕排列）.(1)用n、x表示通項an與前n項和S;1111(2)若【答案】An+i=C1S1+c]S+…+CnnSn+C；/S+1，用n、x表示A+i."n,(x=1)f(n+1)2n⑴an=xnJL,Sn=〔_xn；(2)An1=2n1_(〔?X)n1[—匚;一【解析】試題分析：（1）根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求得m的值,根據(jù)二項展開式的通項可求得q的值,從而可求得an，Sn.（2）用倒序相加法及組合數(shù)的性質(zhì)可求得A1.試題解析：解：（1）???a^C23m3見‘,2m3_3m，即m-2-1〕m蘭3m_31111又由ix-14x2x，1
18pW)n丄??an=X,Sn-1—Xn[EXE(2)當(dāng)x=1時，Sn1=n?1,代十ocn\+^/2。2卅+3cnu++ncn\+(n+1陽①又.An1=n1Cn1nCn1n_1C^dMCn10Cn1，②由*，①+②，得2人卅=(n+1XC：*+C：申+c[』4卜?-An1=n12n.1-xn11-X當(dāng)X=1時,An十戶乩+丁賂+工陸忖1-X1-X1-X軒出g1十+賂+cn\++c：：)-(xct+x2cn\+x3cnv+xtc：<)]=亠歹卅—1—(1+xcn卑+x2cmB+xn4c：：—1)]1-X-n-1n12—(1+x)11-x〔(n+1)2n二An+=<2n41—(1+x)nH1-.1—X9.已知二項式(n?N*)展開式中，前三項的二項式系數(shù)和是56，求：(I)求n的值;(n)展開式中的常數(shù)項.【答案】(I)n=10；(n)—256【解析】試題分析：(I)前三項二項式系數(shù)分別為c0,C；,C：,由題意根據(jù)組合數(shù)的運算可求得n?(n)由(I)知n=10,根據(jù)二項式的展開式Tr1,令x的系數(shù)為0可求得r的值，從而可求得其常數(shù)項.
19試題解析：解析：(I)C0?C；?C：=56二1+n+n(n-°=56nn2+n—110=02=n=10,n--11(舍去).(n)(x21010展開式的第r1項是G；(x2)10」rr1r20謬r=C；0(2)rx2,20——=0nr=8，21故展開式中的常數(shù)項是c80(')82_45_25610.(1)若(1x)n的展開式中,x3的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n；(2)已知(ax的展開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(3)已知(2xxlgx)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項的值等于1120,求x.【答案】(1)n=8；(2)a=1-也0或a=1+W°.(3)x"或x=—5510【解析】，列試題分析：不必將所有式子實行展開，本題只需要通過對二項式定理的理解求出各項的系數(shù)，根據(jù)各小題所給條件(其中包括融入了相關(guān)等差數(shù)列的應(yīng)用，級數(shù)展開最大項的選擇等)出相對應(yīng)的方程，并解出方程解即本題答案，在解方程時要注意多解的適用性，舍掉不必要的解。試題解析：(1)x3的二項式系數(shù)是c；,x的二項式系數(shù)是cn.依題意有c；=7cn,即⑴-恥-2)=7n.3!整理，得2n-3n-40=0,解得n=8.(舍去n--5.)(2)依題意，得523443C7aC7a'2C7a,即21a235a4=70a3,
20a=0,25a-10a3=0.解得a=1-』或a=1?』.55(3)依題意得C；(2x)4(xlgx)4=1120,即x4(1lgx)=1,即lg2xIgx=0,解得lgx=0，或lgx=-1,1所以x=1或x=—.11.已知10?的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列（1）證明展開式中沒有常數(shù)項;（2）求展開式中的所有有理項;【答案】（1）詳見解析；（2）「=x4,T5=35x,T91x，8256【解析】試題分析:（1）根據(jù)二項展幵式的通項求得兩三項系數(shù)'根據(jù)題菖，由等差中項可求得關(guān)于幷的方程，從而可求得M的值?因為此展開式至少有3項故M>2.再根據(jù)二頂展開式的通項求第F+1項，令X的顯指數(shù)為0求心當(dāng)0蘭尸壬8且尸亡"時說明此展幵式有常數(shù)項，否則說明此展開式無常數(shù)項.（2）由（1）可知L1￡%^=（-1/號?廠廠，當(dāng)且僅當(dāng)號尹為整數(shù)時心楠理陽又因為0"空且“仏所以可得r的值，從而可得其有理項■試題解析：解：依題意，前三項系數(shù)的絕對值分別是1廠，C則2C：丄=1+C；12n2-9n8=0,n=8n=1舍去r8」rr16-3rC8X亍XJ一1rC：若Ty為常數(shù)項，當(dāng)且僅當(dāng)16才竺=0,即3r=16.-rN,這不可能，故展開式中沒有常數(shù)項。（2）Tr+為有理項，當(dāng)且僅當(dāng)161竺為整數(shù)，4常0乞r乞8,r?N,.r=0,4,8，即展開式中有理項共有三項，它們是
213351T1一X,T5X,T9X8256n2n*12?已知：2x-1a0-a1xa2x亠亠anx（n?N,n為常數(shù)）.（1）求|a°|+|aj+匾|+...+血|；（2）我們知道二項式（1+x）n的展開式（1+x）n=C：+C：x+C；x2+…+C：xn.若該等式兩邊對x求導(dǎo)得：n（1+x）n_L=C：+2C：x+3C3x2…+nC：xn_L,令x=1,可得Cn'2Cn3Cn-nC；=n-2nJt.利用此方法解答以下問題：①求泊2a2+3a3...nan；②求12a122a232a3-...n2an.【答案】（1）（-3）；（2）①2n:②4n2-2n【解析】試題分析：（1）利用賦值法，令x=「1即可；（2）①由題目給出的條件可知，需要對已知的式子實行兩邊求導(dǎo)，再利用賦值法令x=1即可；②因為本題中出現(xiàn)了平方，所以需要兩邊先同時乘以x,再求導(dǎo)賦值即可.試題解析：（1）|a0|+|aj+|a3|+...+|an|即為（2x-1）n的各項系數(shù)的絕對值之和且絕對值之和為正數(shù)，令x=-1,則|a0|+|q|+|旬+...+|an|=卜3j；
22(2)對等式兩邊求導(dǎo)得：2n(2x—I)*5-1=at++...+.令x=l得1兔+2&]一3碣+..”+陽1,二2“.(3)將2疏2卞一1產(chǎn)1=葩+2a2x+.?+兩邊同乘x得2n(2龍一1)*~匕=曲工+2空『+3門￡+…+$叫工篤兩邊再對家求導(dǎo):2珂2(兩—1)(2工一91兀+(2兀一1)"~1]—珂+2亠邁￡+3"口圧+…+并‘心產(chǎn)1令x=l得1廿+2亠口*+3’氐+___+□"%=4/—2n13.設(shè)F(n)=ai-a?Cn■a3C；—a4CJ++(—1)nan屆：(n^2,n^N*).(1)若數(shù)列訂僉的各項均為1,求證：F(n)=0；(2)若對任意大于等于2的正整數(shù)n,都有F(n)=0恒成立，試證明數(shù)列1a「是等差數(shù)列.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)由二項式定理得(1x)^C°CnxC2x2CnX^-Cnnxn，令x=-1,即可得0=C：-cn+C：-d3H+(-1)nC：，所以F(n)=0得證；(2)使用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.試題解析：(1)因數(shù)列｛務(wù)｝滿足各項為1,即鞏莎二Cj-U+G—U十…由(1+x)n=+C：尤+C：h+C^+■■■+，令兀二一13貝膽YY即鞏禱=0.(2)當(dāng)n=2時，F(xiàn)(2)-a2C；a3C；=0,即卩2a2-a1a3，所以數(shù)列GJ的前3項成等差數(shù)列.假設(shè)當(dāng)n=k時，由F(k)=a“-azC：+a3C：-aqCkH+(—1)^+2；=0,可得數(shù)列23兩式相減得,
24-a2(Ck+1—Ck)*a3(Ck+1—Cf?1■(-1)ak+i(Ck+i—'Ck)■(-1)ak+2Ck+1=0，因cm,vm,所以~a2Cka3Ck—a4CkH■(-1)ak+1Ck■(-1)ak2Ck-0，即a2Ck-aC：+a4CkH+(-疔屯+心二+(-1)^/：=0,由假設(shè)可知a2,a3|a4l,ak+1,ak2也成等差數(shù)列，從而數(shù)列祐丿的前k2項成等差數(shù)列.綜上所述，若F(n)=0對任意n_3恒成立，則數(shù)列:a/f是等差數(shù)列.14.已知(x2)n=a0a1(x-1)a2(x-1)2+an(x—1)n(nN*).n⑴求a。及Snq;i4⑵試比較Sn與(n-2)3n2n2的大小，并說明理由.n【答案】(1)a°=3naj=4n-3n；(2)當(dāng)n=1時，Sn,n-2)3n+2n2;當(dāng)n=2或3時,i壬Sn(n-2)3n+2n2；當(dāng)n>4時，Sn(n-2)3n+2n2.【解析】試題分析：(1)本題是二項式定理的應(yīng)用，求二項展開式中的系數(shù)，一般用賦值法，本題中令x=1可得冼，令x=2可得a0a^H-an;(2)由(1)知題意就是要比較4n與(n-1)3n+2n2的大小，它們都是增函數(shù)，但從增速上看，當(dāng)n較大時，4n增速較大，取特殊值觀察結(jié)論，分別取n=1,2,3,4,5，猜想當(dāng)n_4時有4n?(n，1)?3n，2n2，可試用數(shù)學(xué)歸納法證明?試題解折：⑴令歸，則兔=3篤令22,則匕產(chǎn)4篤所以匕嚴(yán)半—班；■0L*1⑵要比較工與(旳-2)3"+2/的大小，只要比較$與5-1妙+緒的大小.當(dāng)n-lR也4a>(n-l)3*+2n3,當(dāng)曲或列寸』斗刊C(M—1)于+2才'當(dāng)或5時』鄆A?—1)護(hù)+2才猜想：當(dāng)n>4時，4n?(n-1)3n+2n2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
25①由上述過程可知，當(dāng)n=4時，結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)n二k(k>4,k?N*)時結(jié)論成立，即4k.(k-1)3k+2k2,兩邊同乘以4，得4k+1.4(k-1)3k+2k2=k3k+1+2(k+1)2+[(k_4)3k+6k2_4k_2],k2k2而(k-4)3+6k—4k—2=(k—4)3+6(k—k—2)+2k+10=(k-4)3k+6(k-2)(k+1)+2k+100，所以4k+1[(k+1)-1]3k+1+2(k+1)2，即n=k+1時結(jié)論也成立.由①②可知，當(dāng)n>4時，4n?(n-1)3n+2n2成立.綜上所述，當(dāng)n=1時，Sn,n-2)3n+2n2；當(dāng)n=2或3時，Sn,n-2)3n+2n2；當(dāng)n>4時，Sn(n-2)3n+2n2.15?設(shè)a,b,nN,且a=b,對于二項式(_ai“；b)n.(1)當(dāng)n=3,4時，分別將該二項式表示為?.，p-、.、q(p,q?N)的形式；(2)求證：存有p,q?N,使得等式(、、a---b)n=q與(a-b)n=p-q同時成立.【答案】(1)(.a-.b)3=a(a3b)2-b(b3a)2(a—b)4=.(a2—6ab—b2)2-.16ab(a—b)2；(2)見解析.【解析】試題分祈：由二項式定理展開整理艮阿，(羽分和為奇偶數(shù)討論，用待定系數(shù)法求之.試題解析：(1〉當(dāng)nN時』(由-盪尸=他+刃)@-(方亠衍)曲」=&廳-少(b+3d)：*2幷.當(dāng)n=4時#(血-逓$-a*-Aasjab+站占-4b^jab-ir-6ab+f=^(a1+6ab+b1-6ab(a-bf.n
26(2)證明：由二項式定理得(：a-、b)n(T)kC：(?a)n"('b)k,k=6
27若n為奇數(shù)，則(?-a一..b)n=[C0(、..a)nC2(.a)2(.b)^6心(2)3(小)心C：%a)(.b)n」]4C；(.a)n1(b)C3(..a)2(..b)3"cy.a)2(.b嚴(yán)Cnn(b)n],分析各項指數(shù)的奇偶性易知，可將上式表示為(?.、a-b)n=52-w.一b的形式，其中Ui,w?N，也即(..a_、b)n=.u；a「Jvjb二..p_q，其中p=u2a，q=v；b，p,qN*，若n為偶數(shù)，則C.a-、.b)n珂CCa)"C2(、a)n'(.b)2C：".、a)2C.b)n，C：(.b)n]■[cn(掐嚴(yán)(陽+擴(kuò)(掐)心(拓屮+C；-S''a)3b/b)n-+Cnn\;a^b)n-]類似地，可將上式表示為c、a一?、.b)n=u2-v2?.ab的形式，其中u2,v2?N*，也即(■■.a-?.b)=..U2-jab=、p-....q，其中p=u2，q=v?ab，p,qN.所以存有p,qN*，使得等式C.a-』b)n=_P-二9.同理可得(?、a?b)n可表示為(?-a■b)nq,從而有p-q=(,p..q)C.p-q)=(、、a、b)n(、a-、b)n=(a-b)n,綜上可知結(jié)論成立.16.已知X-12)n(n?N*)展開式中各項的二項式系數(shù)和比各項的系數(shù)和大256;x(I)求展開式中的所有無理項.的系數(shù)和；(n)求展開式中系數(shù)最大的項.【答案】(I)-128(n)70x°【解析】試題分析：首先由已知得到n=8,寫出二項展開式的通項公式(I)由通項公式易知當(dāng)r=1,3,5,7時，為無理項，故無理項的系數(shù)和為—(C8+C3+C5+C7)=T28(n)考慮展開式的奇數(shù)，可知當(dāng)r=4時，系數(shù)最大
28試題解析：由題意展幵式中各項的二項式系數(shù)和為2J令x=l可得到旨項的系數(shù)和為0,則由條件得2"-0=256,貝iJb=8,貝皿-與的第十+1項為x口二C；(&)1/二4(Ty廣IF二①12??」(1)由通項公式易知當(dāng)“1657時，為為無理項故無理項的系數(shù)和為-(G+盂+Q?=-128(2)T當(dāng)r=1,3,5,7時，系數(shù)為—c；；當(dāng)r=0,2,4,6,8時，系數(shù)為C當(dāng)r=4時，系數(shù)最大，故系數(shù)最大的項為T5二住(-1)?"=70x^n17.在數(shù)學(xué)上，常用符號來表示算式，如記7aj=兔?a?a2?*3|*'an,其中iN,n?N'.iz0n("若a。,ai,還，…，an成等差數(shù)列，且a。=0，求證：》(aCn)=an，2n」;02nnn(2)若7(1x)k=a0aixazXMIa2nX2n,bn八a?i，記dn=1…二［(-1)匕曲，且不等式77i二t(dn-1)—g恒成立，求實數(shù)t的取值范圍?5【答案】(1)詳見解析(2)［-1,3］3【解析】kk1試題分析：(1)利用kCn=nCnd，將和項轉(zhuǎn)化為符合二項式展開定理條件，本題也可利用倒nnn序相加法求和(2)本題關(guān)鍵在于求和bna2i及dn=1中瓦［(-1)bcn］，對于bna2i，可i^07i二0n利用賦值法求偶數(shù)項的系數(shù)和得到；對于dn=1+瓦［(-1)^4］，則需構(gòu)造符合二項式展開定1理條件，實行求和，最后根據(jù)恒成立，利用變量分離法，求最值得參數(shù)取值范圍
29試題解析：＜1)設(shè)等差數(shù)列的通項公式為％叨，其中加為公差則］=%+0)C；+ir;C*斗…+縱C：=兔0+G十…+c：x”(c：十2C：+-?C；)i?D因為kC：=nC/：｝所以cj農(nóng)+…泌：1】+C]“+…+C；；)所以.Z@C)=a.-r+nd2叫巴2小.注：第(。問也可汰用倒序相加法證明*22n2(1—4n)=24n_2-12n(2)令x=1，則vai=22223H2n令x=_1，則、［(-1)應(yīng)=0,i-0n1所以bna2i(24n-2)=：4n-1i02(42根據(jù)已知條件可知，dn二C；-(4-1)Cn1_1)C：_(43—1)d；H(_1)n(4n-1)C；nn01234l.n^nCn(—4)］-［Cn-CnCn-CnCn川’型1()lOn］1012233二［Cnd(V)Cn(4)Cn(4)=(1_4)n一(1_1)n1=(_3)n1,所以dn-(-3)n1將bn=4"-1、dn=(-3)n1代入不等式t(dn-1)一R得，t(-3)"乞4“-14141c5當(dāng)n為偶數(shù)時,t一(一)-㈠n，所以t一(一)-(一)333334n1n4〔1〔當(dāng)n為奇數(shù)，t亠｛(J-(3)］，所以t亠｛(J-(3)］=-1；33335綜上所述，所以實數(shù)t的取值范圍是［-1,］.318?已知數(shù)列注［通項公式為a^AtnJBn，1，其中代B,t為常數(shù)，且t1,n?N”?等.210-x2*20式(x2+2x+2)=b+b(x+1)+b2(x+1)++b20(x+1)，其中b(i=0,1,2,,20)為實常數(shù).10(1)若A=0,B=1，求aanb2n的值；nd10
30(2)若A=1,B=0，且2an-2nb2n-211-2，求實數(shù)t的值.ng【答案】(1)6143;(2)2;【解析】試題分析：(1)由二項式定理求出b2n的通項，再利用分組求和法、二項式系數(shù)的性質(zhì)、倒序相加法求和；(2)對所給等式的左邊先分組，而后利用二項式定理求和而將方程實行化簡，再利用方程所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性以及估算求解方程；試題解析：(1)102102420x22x21亠〔X1C00C；0x1i亠G：x1i亠C；0x-1220=b0b|x1dx1i亠亠b20x1比較可知b2nn=1,2,,10)；而A=0,B=1時an二AtnABn1二n1,10101010所以anb2n八，n-1C1；=-nC1；C：。，n妊n=1nTn=110設(shè)T八，門％=0€101G；2G：?…10C；0，n4T也能夠?qū)懗蒚二10G1?2C2010^00C10，相加得2T=10210即T=5210，101010所以vanb2n=?nCw■、C10-5-210-210-1=6143-n±n二n*(2)當(dāng)A=1,B=0時，an=Atn，?Bn^tnJ1，結(jié)合(1)中結(jié)論可知1010101010(2an-2n)b2n=2、anb2n-、2nb2nQ(嚴(yán)“C；?！?*②n吐n經(jīng)n經(jīng)n經(jīng)n經(jīng)=2[；((1t)10-1)210-1]-[(12)10—1]=j(1t)1°—j211—2—31°1=211—2，即2(1t)10-2-3101=0③，因為②為關(guān)于t的遞增的式子，所以關(guān)于t的方程最多只有一解，而觀察③可知，有一解t=2,綜上可知：t=2.
3119?已知數(shù)列：a「通項公式為an二Atn「Bn，1，其中代B,t為常數(shù)，且t1,n，N”.等
32、2IO220式x2x2i；=0Dx1[亠b2x1i亠亠b20x1，其中bi=0,1,2,,20為實常數(shù).10(1)若A=0,B=1，求vanb2n的值；n410(2)若A=1,B=0，且v2an-2nb2n=2仆-2，求實數(shù)t的值.【答案】(1)6143;(2)t=2【解析】試趣分析：⑴由二項式定哩易知口+2丫+2匸=|l+(x-ir)1'=C^Cll0(x+l)；+C^(x-Hl)4-…+4帝("1)血=瓦+吐工十1)+鳥(工+1)、…+抵(時1)”比較可知瓦=邙心=口-「10)而臨寸10務(wù)=/尸+恥+1=川+1所臥￡%瓦=￡(川+1心：=2>*+￡久設(shè)丁=￡?煜=0-皤肚I?3-1Al414l105>久丸空+1?G；+2?饑4■…+10?佬，利用倒序相加法可得1=52l33ngngnJnJ1010設(shè)T門％=0■C1001G；2G：九…伯0C；0,T也能夠?qū)懗蒚ng二01C；。2C20--n4n4ng-0G0,1C；02G^o■■■--10C；0，相加得2T=10210即T=5210，所以n4101010'、?oAn=二nC10■、、C；0=5210-210一1=6143.nn=1n弓(2)當(dāng)A=1,^=0時，an=AtnABn?1=tn‘1，結(jié)合(2)中結(jié)論可知1010101010、'2an—2nb2n=2^anb2n八2^0=27tn_1g八2nC；②n生n4n^ngnJ=2l((1+tj0-1)+210-J-[(1+2「-1】=彳(1+tj0-彳+211-2-310+1=2"-2，即2(1+tj。_2—310+1=0③，tt因為②為關(guān)于t的遞增的式子，所以關(guān)于t的方程最多只有一解，而觀察③可知，有一解t=2，綜上可知：t=2.20.已知(x1)n=a0a(x-1)a2(x-1)2a3(x-1)3an(x-1)n,(其中nN*)nas=為a(1)求a°及i1;(2)試比較Sn與(n-2)2n2n2的大小，并說明理由.【答案】(1)a°=2n,Sn=3n-2n(2)當(dāng)n=1時，3n(n-1)2n2n2；當(dāng)n=2,3時，3n：：：(n_1)2n2n2；當(dāng)n_4,nN時，3n(n-1)2n2n2---7分【解析】試題分析：(1)賦值法求二項展開式的項的系數(shù)：令x=1，則a0=2n，令x=2,n貝ya=3n,???Sn=3n-2n；(2)要比較Sn與(n-2)2n2n2的大小，即比較：3n與i=0(n-1)2n2n2的大小，這需先歸納：當(dāng)n=1時，3n.(n-1)2n2n2；當(dāng)n=2,3時，3n：：：(n-1)2n?2n2；當(dāng)n=4,5時，3n(n-1)2n2n2；再猜想當(dāng)n_4時，3n(n-1)2n2n2，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵將n二k
341時的式子與n二k(k_4)情形建立關(guān)系：3k13[(k-1)2k2k2]=k2k12(k1)2[(k—3)2k4k2—4k一2]試題解析：解：(I)令x=1，則a。=2n，令x=2,n則、a=3n,???Sn=3n—2n；i衛(wèi)(n)要比較Sn與(n-2)2n2n2的大小，即比較：3n與(n-1)2n2n2的大小，---1分當(dāng)n=1時，3n(n—1)2n2n2；當(dāng)n=2,3時，3n:::(n")/2n2；當(dāng)n=4,5時，3n(n-1)2n2n2；猜想：當(dāng)n_4時，3n?(n-1)2n2n2，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：由上述過程可知，n=4時結(jié)論成立，假設(shè)當(dāng)n=k(k_4)時結(jié)論成立，即3k(k-1)2k-2k2,兩邊同乘以3得：3k13[(k-1)2k2k2]=k2k12(k1)2[(k-3)2k4k2-4k-2]而(k-3)2k4k2-4k-2=(k-3)2k4(k2-k-2)6=(k-2)2k4(k-2)(k1)60?3k1[(k1^1]2k12(k1)2即n=k1時結(jié)論也成立，???當(dāng)n一4時，3n(n-1)2n2n2成立.綜上得，當(dāng)n=1時，3n(n-1)2n-2n2；當(dāng)n=2,3時，3n(n-1)2n2n2；當(dāng)n_4,nN時，3n(n-1)2n2n2【一年原創(chuàng)真預(yù)測】h已知(x+—)n的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列.
35(1)求n的值；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.7【答案】(1)8;(2)T3=7x5,T4=7x2n；(2)【解析】試題分析：(1)利用二項展開式的通項公式求出展開式前三項的系數(shù)，列出方程求出設(shè)出系數(shù)最大的項，根據(jù)最大的系數(shù)大于等于它前一項的系數(shù)同時大于等于它后一項的系數(shù),列出不等式組求出r，進(jìn)而求出系數(shù)最大的項.試題解析：⑴豐躍題創(chuàng)得C^+Ac；=2xlxC^即朋-張+8=0,解得”8或”1(舍去X⑵設(shè)第尸+1項的系數(shù)最尢則,2r1解得—2或r=3.所以系數(shù)最大的項為￡=7；八1\=7^.【入選理由】本題考查二項式定理等基礎(chǔ)知識，意在考查基本運算水平，二項展開式的通項公式的使用是高考考查的重點內(nèi)容，一般用以求展開式中的特定項，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，本題系數(shù)字母的值，立意新穎，考查全面，故押此題n2.已知數(shù)列｛an｝為aoG^,%…,an(n?N),ga表示a。?a「a??*3“'an,j=0iN.n⑴若數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列an=2n(nN)，求(bC)；i=an⑵若數(shù)列｛a.｝為等差數(shù)列a.=2n(n?N)，求(biQ).i=1【答案】(1)23n-2n,(2)(n2-3n)?2n「【解析】n試題分析：(1)注意到瓦(bicn^b1C°+b2cn+b3Cn^■■+bncn1,只需求出｛bj代入相對應(yīng)i=0位置，整理即可得到其值，但要注意二項式定理及二項式系數(shù)和的應(yīng)用；(2)此小題中nbn=n(n+1)，則送(bd)=「2c1+23&+34C；+…+n(n+1)C；，以下采用構(gòu)造i=0
36關(guān)系式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法與賦值法求得其值試題解析：⑴bn=20■21-22……：-2n=2n1-1，所以n、(biCn^(21-1)0°(22一1應(yīng)(2‘一1)C；(2n1—1)C：i4de0-1Cn22cn-1Cn-23c：-1u…2n1c：-1cnn=2(C°-21C：22c；…2nCnn)-(C0onC；…C：)=2(12)n-2n=23n-2n；⑵bn=024宀茫2n=n(n1)，n7(bCn^12Cn■23Cn34C；n(n1)C：，i=0因為(1+x)n=cn+C,x+C2x2+C；x3+…+cnixn，兩邊同乘以x，則有x(1+x)n=C0x+cnx2+c：x3+c；x4+…+Cnnxn*，兩邊求導(dǎo)，左邊=(Vx)nnx(1?x)nJ，右邊二CO-2C：x3C2x24c3x3…?(n1)C：xn，即(1x)nnx(1x)n4=Cr02C：x3c2x24C；x3(n1)Cnnxn(*)，對(*)式兩邊再求導(dǎo)，得2n(1+x)n_L+n(n—1)x(1+x)n^=21C：+32■c2^43C；x2+…+(n+1)nC：xn_1取x=1，則有(n2+3n)2n，=12cn+23C；+34Cn3+…+n(n+1)C；n所以V(ben)=(n23n)-2n^.i=1【入選理由】本題考查二項式定理，數(shù)列中的等差數(shù)列和導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，意在考查分析問題、解決問題的水平、基本運算水平及推理水平，本題是由一道高考題演化而來，它與數(shù)列、函數(shù)交匯命題，立意新穎、考查全面，綜合性較強，難度中等，符合高考的方向，故押此題
