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《考研數(shù)學(xué) 線性代數(shù)講義第4章向量組的線》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室第4章向量組的線性相關(guān)性4．1向量的線性組合與線性表示由n個(gè)實(shí)數(shù)a,a,L,a組成的有序數(shù)組稱12n為n維向量，記作?a1????a2?α=，?M??????an?其中a稱為向量α的第個(gè)分量．這個(gè)向量是一ii個(gè)列向量．行向量記作T()α=a,a,L,a．12n分量全為０的向量稱為零向量，T記作0=()0，0，L，0．T兩個(gè)n維向量α=(a,a,L,a)，12n(Tβ=b,b,
2、L,b)，若它們的對(duì)應(yīng)分量全相等，12n即a=b，i=,1,2L,n則稱向量α和β相等，ii記作α=β．T設(shè)兩個(gè)n維向量α=(a,a,L,a)，12n()Tβ=b,b,L,b，定義12n1水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室()Tα+β=a+b,a+b,L,a+b，1122nn稱為向量α與β的和．T設(shè)α=(a,a,L,a)，12nT稱?α=(?a,?a,L,?a)為向量α的負(fù)向量．12n于是定義向量的減法：α?
3、β=α+（?β）．T設(shè)α=(a,a,L,a)，k是實(shí)數(shù)，定義12n()Tkα=ka,ka,L,ka，12n稱為數(shù)k與向量α的數(shù)量乘法，簡稱數(shù)乘．對(duì)任意n維向量α，β，γ及任意實(shí)數(shù)k,l，向量的加法及數(shù)量乘法滿足以下８個(gè)性質(zhì)：（１）α+β=β+α；（２）()α+β+γ=α+(β+γ)；（３）α+0=α；（４）α+（?α）=0；（５）1?α=α；（６）k(lα)=(kl)α；（７）k(α+β)=kα+kβ；（８）(k+l)α=kα+lα．2水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-627
4、01055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室設(shè)α,α,L,α是n維向量，12sk,k,L,k是數(shù)，則12skα+kα+L+kα1122ss稱為向量α,α,L,α的一個(gè)線性組合．12s若β=kα+kα+L+kα，稱β1122ss可由α,α,L,α線性表示或線性表出．12sTT例1設(shè)α=(),1,23，α=(,0,14)，12()TTα=,2,36，β=(?,1,15)，試用3α,α,α線性表示β．123T例２設(shè)α=(),1,4,02，1()Tα=,2,7,13，2()Tα=,0,1
5、?,12，3(Tβ=,310,a,4)．a(chǎn)取何值時(shí)，β可由α,α,α線性表示？寫出表示式．123４．2向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)α,α,L,α是n維向量，若存在不全為12s零的數(shù)k,k,L,k，使得12skα+kα+L+kα=01122ss成立，則稱向量組α,α,L,α線性相關(guān)．否則12s3水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室稱為線性無關(guān)．只有一個(gè)向量的向量組{α}，如果α=0，則向量組是線性相關(guān)的；如果α≠
6、0，則向量組是線性無關(guān)的．一個(gè)不少于２個(gè)向量的向量組若線性相關(guān)，則必定有一個(gè)向量可以由這個(gè)向量組中的其余向量線性表示．反之，若一個(gè)向量組中，有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示，那么這個(gè)向量組是線性相關(guān)的．這個(gè)命題的等價(jià)命題就是：向量組線性無關(guān)的充分必要條件是向量組中任意向量都不能由其余向量線性表示．按定義，向量組α,α,L,α線性無關(guān)當(dāng)且12s僅當(dāng)向量方程kα+kα+L+kα=01122ss只有零解．將向量α,α,L,α按列排成一個(gè)矩陣，12s記作A，即A＝（α,α,L,α），則向量組12sα,α,
7、L,α線性相關(guān)的充分必要條件是齊次12s線性方程組Ax=0有非零解．4水木艾迪www.etsinghua.org電話：010-62701055/82378805地址：清華同方科技廣場B座503室向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)向量組線性相關(guān)，任何n+1個(gè)n維向量線性相關(guān)．n個(gè)n維向量α,α,L,α線性相關(guān)的充分12n必要條件是由向量排成的行列式等于０．即α,α,L,α＝０．12n向量組的線性相關(guān)性的定理很多，其中最重要的是這幾個(gè)：（１）若α,α,L,α線性無關(guān)，而12sα,α,L,α,β線性相關(guān),則β可由1
8、2sα,α,L,α線性表出，且表示法惟一．12s（２）若α,α,L,α可由β,β,L,β線性12s12t表出，且s>t，則α,α,L,α線性相關(guān)．12s（３）若α,α,L,α線性無關(guān)且可由12sβ,β,L,β線性表出，則s≤t．12t以下這些性質(zhì)也是很有用的：（１）包含零向量的向量組必線性相關(guān)．（２）一個(gè)向量組中如果有部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)．（３）一個(gè)線性無關(guān)的向量組其中任何部分向量組都線性無關(guān)．（４）一個(gè)線性相關(guān)的向量組，如果每一個(gè)向量都刪去同一序號(hào)的分量，得到一
