《向量的基本關(guān)系》示范公開課教案【高中數(shù)學必修第二冊北師大】.docx

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第二章平面向量及其應用2.1.2向量的基本關(guān)系◆教學目標1．能從物理學和幾何背景中抽象概括出向量的概念；2．通過對向量的基本關(guān)系的探究，體會用類比的思想研究問題；3．經(jīng)歷概念的形成過程，感受舍去物理屬性，得到數(shù)學研究對象的數(shù)學抽象，感受數(shù)學和物理學科的內(nèi)在聯(lián)系．◆教學重難點教學重點：向量的基本關(guān)系．教學難點：向量的基本關(guān)系的探究和理解過程．◆教學過程一、新課導入情景：貓與老鼠一只老鼠和一只貓相距16米，老鼠以每秒4米的速度從B點向正東奔跑，貓以每秒7米的速度從A點向正東追．問題1：貓能否追上老鼠？答案：能追上，因為它們的方向相同，貓的速率大于老鼠的速率．追問：若貓的速度記為v1，老鼠的速度記為v2，那么v1和v2有什么關(guān)系？答案：v1和v2為共線向量．設(shè)計意圖：通過生活中的實例，讓學生感知、了解，進而自主生出向量之間的關(guān)系新概念．提高學生用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題的能力．8 二、新知探究問題2：物理中“兩個物體運動速度相等”是兩個矢量間的相等關(guān)系，是指它們的方向相同、大小相等．觀察方格圖，在數(shù)學上如果是兩個向量，你能“定義”這種相等關(guān)系嗎?根據(jù)是什么？答案：能，根據(jù)兩個向量的大小和方向．追問1：若兩個有向線段方向相同、長度相等，則它們表示的向量相等嗎?若相等，那么代表相等向量的有向線段與起點位置有關(guān)嗎?請舉例說明．答案：相等向量是指它們的大小相等且方向相同，向量a與b相等，記作a＝b．若兩條有向線段方向相同、長度相等，則它們表示的向量是相等的．代表相等向量的有向線段與起點位置無關(guān)．例如圖中：=EF,PQ=MN．追問2：方格圖中，向量a與，CD與，a與CD相等嗎?從方向上看，它們之間形成了怎樣的特殊關(guān)系?答案：向量a與方向相同但大小不等，CD與方向相反且大小不等，a與CD方向相反但大小相等．所以從方向上看，它們之間形成了方向相同或相反的特殊關(guān)系，且它們所在的直線平行或共線．追問3：如果任作一條與向量a所在直線平行的直線l，并在l上任取一點O，以點O為起點作有向線段OR，OS，分別等于向量a，，可行嗎?如果可行，請據(jù)此說明“兩個向量平行或共線”與“兩條線段平行或共線”的區(qū)別與聯(lián)系．答案：可行．“兩個向量平行或共線”只需這兩個向量方向相同或相反，可以在也可以不在同一條直線上；而“兩條線段平行或共線”指平行則不共線，共線則不平行．問題3：我們發(fā)現(xiàn)圖中向量a與CD是特殊的共線向量，特殊之處是什么?能否起個名字并定義它?8 答案：向量a與CD的方向相反且大小相等，類比“實數(shù)中符號相反且絕對值相等的兩個數(shù)叫作相反數(shù)”，我們把這兩個向量叫作相反向量．追問1：作為向量集合中的特殊向量零向量，它與其他向量共線嗎?它有相反向量嗎?答案：由零向量的定義可知，它的長度為零，任何一個方向都可以作為它的方向，所以零向量與任一向量a共線，即0//a．零向量的相反向量仍是零向量．問題4：方格圖中，向量a與b，a與GH是相等向量嗎?是共線向量嗎?它們所在的直線有何關(guān)系?答案：既不是相等向量也不是共線向量．它們所在的直線都相交，但所成角不同．歸納新知：相等向量：相等向量是指它們的大小相等且方向相同，向量a與b相等，記作a＝b．共線向量：若兩個非零向量a與b方向相同或相反，則這兩個向量為共線向量或平行向量，也稱這兩個向量共線或平行．記作a//b．由于任何方向都可以作為零向量的方向，規(guī)定零向量與任一向量a共線．相反向量：若兩個向量的大小相等、方向相反，則稱它們是互為相反的向量．相反向量是共線向量．若其中一個向量為a，則它的相反向量記作?a．由于任何方向都可以作為零向量的方向，規(guī)定零向量的相反向量仍是零向量．向量的夾角：已知兩個非零向量a與b，如圖：作OA=a，OB=b，則θ=∠AOB(0°?θ?180°)稱為向量a與b的夾角．當θ=0°時，a與b同向；當θ=180°時，a與b反向；當θ=90°?時，a與b垂直，記作a⊥b．由于任何方向都可以作為零向量的方向，規(guī)定零向量可與任一向量垂直，即對于任意的向量a，都有0⊥a．設(shè)計意圖：類比直線(段)的基本關(guān)系認識向量的基本關(guān)系，促進學生自主建構(gòu)相等向量、共線向量(平行向量)、相反向量、向量的夾角的概念，引導學生參與概念的定義過程中，使概念成為學生觀察、歸納、概括之后的自然產(chǎn)物．8 【概念辨析】思考辨析，判斷正誤(1)單位向量一定是相等向量．()(2)相等向量的起點必相同．()(3)若AB∥CD，則A，B，C，D一定共線．()(4)零向量與任一向量既平行又垂直．()答案：　(1)×，單位向量方向可能不同．(2)×，只要長度相等、方向相同就是相等向量，與向量起點的位置無關(guān)．(3)×，A，B，C，D可能共線也可能AB∥CD．(4)√．．三、應用舉例（一）平行向量與相等向量例1　如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點．(1)寫出圖中所示與向量長度相等的向量．(2)寫出圖中所示與向量相等的向量．(3)分別寫出圖中所示與向量，共線的向量．解　(1)，，，，，，，；(2)，；8 (3)與共線的向量為：，，；與共線的向量為：，，．方法總結(jié)：判斷一組向量是否相等，關(guān)鍵是看這組向量是否方向相同，長度相等，與起點和終點的位置無關(guān)．對于共線向量，則只要判斷它們是否同向或反向即可．（一）向量的夾角例2　如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，分別求出與，與，與的夾角．解　由題意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA均為等邊三角形．∴與夾角∠DOB＝120°，與夾角∠DOE＝60°，與夾角等于與的夾角，∴與夾角是60°．方法總結(jié)：求向量的夾角要注意：①方向性；②向量夾角的范圍為[0°，180°]．（二）用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)8 例3　已知在四邊形ABCD中，＝，且||＝||，與的夾角為120°，判斷四邊形ABCD的形狀．解　∵在四邊形ABCD中，＝，∴AB綊DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形．∵與的夾角為120°，∴∠ADC＝60°，即∠B＝60°，又∵||＝||，∴△ABC為正三角形，∴||＝||，∴四邊形ABCD為菱形．　方法總結(jié)：利用向量關(guān)系證明或判斷線段平行或相等的方法(1)證明或判斷線段相等，只需證明或判斷相應向量的長度(模)相等．(2)證明線段平行，先證明相應的向量共線，再說明線段不重合．常用的兩個結(jié)論：①若＝，且A，B，C，D四點不共線，則四邊形ABCD為平行四邊形；若四邊形ABCD為平行四邊形，則＝．②若∥，則A，B，C三點共線．四、課堂練習1．如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量與的關(guān)系是(　　)A．＝B．||＝||C．＞D．<8 2．下列說法正確的是(　　)A．∥表示所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫作相等向量C．零向量的長度等于0D．共線向量是在一條直線上的向量3．在等邊三角形ABC中，與的夾角為________．參考答案　1．答案　B解析　||與||表示等腰梯形兩腰的長度，故相等；2．答案　C解析　∥表示所在的直線平行于DC所在的直線，或所在的直線與所在的直線重合；相等向量不僅要求長度相等，還要求方向相同；共線向量也稱為平行向量，它們可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，所以A，B，D均錯誤，故選C；3．答案　120°解析　如圖，根據(jù)向量夾角的概念與的夾角為∠ABC的補角即120°．五、課堂小結(jié)1．牢記2個概念(1)共線向量(平行向量)；(2)向量的夾角．2．掌握1個關(guān)系相等向量、相反向量都是共線向量；反之，不成立．3．辨清2個易錯點8 (1)共線向量所在的直線可以平行或者重合；(2)求向量夾角時，要把兩向量的起點移到同一點處．六、布置作業(yè)教材第77頁練習題．8