《直線與平面垂直(2)》示范公開課教案【高中數(shù)學必修第二冊北師大】.docx

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第六章立體幾何初步6.5.1直線與平面垂直(2)◆教學目標1.理解和掌握直線與平面垂直的判定定理并能簡單應用；2.通過直觀感知，操作確認，歸納直線與平面垂直判定的定理，進一步培養(yǎng)學生的空間觀念；3.通過對線面垂直的判定定理的證明，培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)．◆教學重難點◆教學重點：直線與平面垂直的判定定理．教學難點：直線與平面垂直的判定定理的應用．◆教學過程一、新課導入回顧：如何判定一條直線與一個平面平行？答案：方法一，定義法：線面無交點；方法二，線面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.其中，定義法在實際使用時并不方便，故常用判定定理.而判定定理即是用“線線平行”來推出“線面平行”．追問1：類似的，應該如何判定一條直線與一個平面垂直呢？答案：可以用定義法：直線與平面內(nèi)所有直線垂直．同線面平行的判定類似，定義法是用“線線垂直”來推出“線面垂直”，但是顯然，定義法并不方便，因為這里需要證明無數(shù)組“線線垂直”.那么我們能用有限組“線線垂直”來推出“線面垂直”嗎？ 設(shè)計意圖：通過復習線面平行的判定，來引出對線面垂直判定的探究，方便知識的遷移，也引導學生用“降維”的思路思考問題．二、新知探究問題1：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？追問1：如圖，長方體中，直線B′C⊥CD，直線B′C與底面ABCD垂直嗎？答案：不垂直．問題1答案：不能．問題2：如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，能否判斷這條直線和這個平面垂直？分析：同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系可能是平行或相交，需分情況討論．答案：①當兩條直線平行時：如圖，長方體中，直線B′C⊥AB，B′C⊥CD，直線B′C與底面ABCD并不垂直；②當兩條直線相交時：如圖，長方體中，直線C′C⊥BC，C′C⊥CD，直線C′C與底面ABCD垂直．思考：結(jié)合問題1和問題2，大家能猜想出如何判定直線與平面垂直嗎？ 答案：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.證明過程較為復雜，這里不做要求．線面平行的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．符號語言：若a?α，b?α，l⊥a，l⊥b，a∩b=A，則l⊥α．注意：此定理共三個條件，在應用時缺一不可，即：①兩線面內(nèi)，“a?α，b?α”；②線線垂直，“l(fā)⊥a，l⊥b”；③兩線相交，“a∩b=A”．作用：在空間中，常用此定理來由“線線垂直”來證明“線面垂直”．【概念鞏固】1.如果一條直線和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直嗎？答案：不垂直，無數(shù)條直線并不能保證有兩條相交直線，判定定理不成立．2.如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意兩條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直嗎？答案：垂直，任意兩條直線肯定能保證有兩條相交直線，判定定理成立.思考：（1）若三條共點的直線兩兩垂直，那么其中的任意一條直線與另外兩條直線確定的平面是什么關(guān)系？（2）過平面外一點可以作幾條直線與已知平面垂直？答案：（1）不妨設(shè)直線a，b，c兩兩垂直，相交于點P，直線b，c確定平面α．∵c?α，b?α，a⊥c，a⊥b，c∩b=P，∴a⊥α．（2）假設(shè)過平面外的一點可以作兩條直線與已知平面垂直，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，這兩條直線平行，不可能相交于一點，故假設(shè)錯誤．故答案為有且只有一條．問題3：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面嗎？分析：根據(jù)問題把文字語言改寫成符號語言并畫出相應的圖形：已知：如圖，l1l2，l1⊥α.求證：l2⊥α. 證明：要證明l2⊥α，只需證明l2與平面α內(nèi)兩條相交直線垂直.在平面α內(nèi)作兩條相交直線a，b.∴l(xiāng)1⊥α，∴l(xiāng)1⊥a，l1⊥b.又∵l1l2，∴l(xiāng)2⊥a，l2⊥b.又∵a?α，b?α，a，b是兩條相交直線，∴l(xiāng)2⊥α.結(jié)論：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．三、應用舉例例1下列說法正確的有.①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直；④若直線l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒有直線與l垂直.解：②.在空間中，與一條直線同時垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確；由線面垂直的定義可知，②正確；這兩條直線也可能平行，并不能保證相交，線面垂直的判定定理不成立，③不正確；如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正確. 規(guī)律方法：（1）對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交；（2）判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.例2如圖所示，Rt△ABC所在平面外一點S，SA=SB=SC，點D為斜邊AC的中點，求證：直線SD⊥平面ABC.解：連接BD，∵SA=SC，點D為AC的中點，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，∵點D為斜邊AC的中點，∴BD=AD.在△SAD與△SBD中SA=SBSD=SDAD=BD∴△SAD≌△SBD（SSS），∴∠SDB=∠SDA=90°，∴SD⊥BD，又SD⊥AC，BD∩AC=C，BD、AC都在平面ABC中，∴SD⊥平面ABC.總結(jié)：應用判定定理證明線面垂直的步驟 例3如圖，長桿l與地面α相交于點O，在桿子上距地面2m的點P處掛一根長2.5m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的點A或點B(A，B，O三點不在同一條直線上.)如果A，B兩點和點O的距離都是1.5m，那么長桿l和地面是否垂直？為什么？解：在△POA和△POB中，∵PO=2m，AO=BO=1.5m，PA=PB=2.5m，∴PO2+AO2=22+1.52=2.52=PA2，PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2.根據(jù)勾股定理的逆定理得PO⊥AO，PO⊥BO.又A，B，O三點不共線，∴PO⊥平面α，即長桿與地面垂直.設(shè)計意圖：通過例題，熟悉線面垂直的判定定理的解題思路，并提醒學生注意判定定理的注意事項和解題步驟．四、課堂練習1.已知平面α，直線l，m且m∥α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)⊥α”的條件．2.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中.求證：AC⊥平面BDD′B′. 3.如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點，則下列關(guān)系中不正確的是（）.A.PA⊥BCB.BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC4.已知：在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證：VB⊥AC.參考答案：1.①討論必要性.當l⊥α時，∵m∥α，∴l(xiāng)⊥m，必要性成立.②討論充分性.當l⊥m時，∵m∥α，則l與α平行相交都有可能，充分性不成立. 故答案為：必要不充分.2.∵BB′⊥平面ABCD，∴BB′⊥AC．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又BD∩BB′=B，BD?平面BDD′B′，BB′?平面BDD′B′，∴AC⊥平面BDD′B′．3.A選項，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．B選項，∵AB是圓的直徑，∴AC⊥BC．又AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．C選項，無法證明，錯誤．D選項，∵BC⊥平面PAC，∴PC⊥BC．故選C選項．4.取AC中點D，連接VD、BD，∵VA=VC，∴VD⊥AC．同理可得BD⊥AC．又VD?BD=D，VD?平面VBD，BD?平面VBD，∴AC⊥平面VBD，∴VB⊥AC．五、課堂小結(jié)線面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直. 注意：此定理共三個條件，在應用時缺一不可，即：①兩線面內(nèi)，“a?α，b?α”；②線線垂直，“l(fā)⊥a，l⊥b”；③兩線相交，“a∩b=A”.作用：在空間中，常用此定理來由“線線垂直”來證明“線面垂直”.六、布置作業(yè)教材第235頁習題6-5A組第5題．