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《天津外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末線上質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)（解析版）》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
天津外大附校2022~2023學(xué)年度高二年級第一學(xué)期期末線上質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷本試卷共150分，用時(shí)120分鐘.一、選擇題（共18小題，每小題5分，共90分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個選項(xiàng)是正確的.）1.雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，直接求出離心率作答.【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長，虛半軸長，因此半焦距，所以雙曲線的離心率.故選：D2.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程，注意焦點(diǎn)所在位置．【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)在x軸正半軸，且，即，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B.3.若數(shù)列中，，，.則（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
1【分析】根據(jù)遞推公式賦值運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則.故選：A.4.直線l：被圓O：截得的弦長為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與圓相交的弦長公式計(jì)算.【詳解】圓O：的圓心，半徑，則圓心到直線l：的距離，∴弦長為.故選：A.5.已知是等差數(shù)列，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，，則（）A.7B.4C.1D.–2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式可求，進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由題意可得：，則，即，解得或（舍去），故.故選：C.6.如圖，在三棱錐中，底面，，，，D為棱第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
2的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】建系，利用空間向量解決異面直線夾角的問題.【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則,∵，則，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.7.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的值是（）A.10B.20C.30D.60【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則.故選：B.第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
38.已知雙曲線（，）的一條漸近線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線漸近線的方程，再利用圓的切線性質(zhì)列式并求出離心率作答.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，即，雙曲線半焦距為c，而圓的圓心為，半徑為1，依題意，，即有，，所以該雙曲線的離心率.故選：C9.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）A.5B.8C.4D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求解作答.【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，令點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，由拋物線定義得，解得，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6.故選：D10.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2023項(xiàng)之和為（）A.B.C.D.【答案】A第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
4【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】數(shù)列中，，則，數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以數(shù)列的前2023項(xiàng)之和.故選：A11.如圖，在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，可取，則，第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
5所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：C.12.如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)，則平面與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建系，求兩平面的法向量，利用空間向量解決面面夾角問題.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
6∵，則，令，則，∴，同理可得：平面的法向量，故，設(shè)平面與平面所成角為，則，故平面與平面所成角的正弦值.故選：B.13.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的公比（）A.B.C.或1D.或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式運(yùn)算求解，注意討論公比是否為1.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，不合題意，舍去；第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
7當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：.故選：B.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)給定條件，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計(jì)算作答.【詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則有，所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和.故選：A15.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，則數(shù)列的前100項(xiàng)之和為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用錯位相減法求和作答.【詳解】令數(shù)列的前n項(xiàng)和為，因?yàn)?，則，則有兩式相減得：，第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
8因此，有，所以數(shù)列的前100項(xiàng)之和為.故選：B16.已知雙曲線H：（），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的面積為，則雙曲線的方程為（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線在第一三象限的漸近線傾斜角正切，再結(jié)合四邊形面積求解作答.【詳解】雙曲線H：的漸近線方程為：，令直線的傾斜角為，則，由對稱性不妨令點(diǎn)分別在第一、四象限，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，則，于是得，而雙曲線的虛半軸長為3，即，顯然四邊形為矩形，其面積，解得所以雙曲線的方程為.故選：B17.過拋物線C：（）的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于兩點(diǎn)A，B，若，則直線l的斜率（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
9【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量關(guān)系求解作答.【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線l的方程為，由消去x并整理得：，設(shè)，則，，由得：，而，則有，因此，解得，則，所以直線l的斜率.故選：A18.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列為遞增數(shù)列，討論n的奇偶性結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】∵，∴數(shù)列為遞增數(shù)列，若對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，則有：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，故，即；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，故，即；綜上所述：實(shí)數(shù)c的取值范圍是.故選：B.二、填空題19.已知拋物線（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則p的值為____________.第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
10【答案】8【解析】【分析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)即可得解.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€（）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即.故答案為：.20.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和，則____________．【答案】11【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解，【詳解】由題意得，得，故，，則，故答案為：1121.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義與方程運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則，∴.故答案為：.22.已知過拋物線C：的焦點(diǎn)F且與x軸垂直的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直接AB的方程，即可計(jì)算作答.第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
11【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，則直線，由得：，所以.故答案為：823.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，，前n項(xiàng)和為，則___________.【答案】800【解析】【分析】利用并項(xiàng)求和法求解即可.【詳解】解：由，得.故答案為：800.24.已知互不相同的三點(diǎn)M、N、P均在雙曲線H：上，，，垂足為D，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】先利用和雙曲線方程求出坐標(biāo)，由于雙曲線的對稱線，取，接著討論直線斜率不存在和存在時(shí)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，推出、的關(guān)系，說明直線過點(diǎn)，即可得到點(diǎn)的軌跡方程為，故設(shè)，利用數(shù)量積，輔助角公式和三角函數(shù)性質(zhì)即可得到答案第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
12【詳解】設(shè)，因?yàn)?，故，所以①，因?yàn)樵陔p曲線上，所以②，由①②可得，由于雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，①直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)，，，，，又，，，解得，，，為垂足，，②直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，整理得，設(shè)，，，，則，，因?yàn)?，所以，得，所以，得，即，?dāng)即時(shí)，直線過定點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)即時(shí)，直線過定點(diǎn)，綜上，點(diǎn)在以為直徑的圓上，，線段的中點(diǎn)為，第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
13所以點(diǎn)的軌跡方程為，故可設(shè)的坐標(biāo)為，所以（其中）所以當(dāng)時(shí)，取得最大值故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.三、解答題（共2題，共30分.）25.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知.（1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè)直線與橢圓有唯一公共點(diǎn)M（M在第一象限中），與軸交于N，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（i）求直線的斜率；（ii）若，求橢圓的方程.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)運(yùn)算求解；（2）先證橢圓在點(diǎn)處的切線為第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
14.（i）設(shè)點(diǎn)M及直線，根據(jù)題意列式運(yùn)算求，進(jìn)而可得斜率；（ii）根據(jù)題意結(jié)合（i）中的坐標(biāo)求，即可得方程.【小問1詳解】由題意可得：，則，∵，則，解得，∴，故橢圓的離心率.【小問2詳解】先證：橢圓在點(diǎn)處的切線為.證明：∵點(diǎn)在橢圓上，則，即，∴點(diǎn)在直線上，聯(lián)立方程，消去得，∴，即方程組只有一個解，故橢圓在點(diǎn)處的切線為.（i）設(shè)點(diǎn)，則直線為，故，∵，則，∴，第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
15由題意可得，解得，故直線：的斜率.（ii）由（i）可得：，∵，解得，∴，故橢圓方程為.26.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）設(shè)，，證明：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差中項(xiàng)列式求出公比q，再求出通項(xiàng)公式作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法分組求和作答.（2）求出，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立，當(dāng)時(shí)，證得第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
16，再利用放縮的方法結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和推理作答.【小問1詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，即有，即，因此，，而，解得，又，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問3詳解】由（1）知，，則，有，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
17，則，，綜上得：，.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的．第19頁/共19頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司
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