四川省閬中中學(xué)校2023屆高三第五次檢測（二模）數(shù)學(xué)（理）Word版含解析

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閬中中學(xué)校高2020級高考模擬測試（五）數(shù)學(xué)試題（理科）（滿分：150分時間：120分鐘）第I卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題只有一項(xiàng)是正確的.）1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合，然后計(jì)算，再由正弦函數(shù)的值域計(jì)算集合，與求交集即可求解.【詳解】或，所以，，所以，故選：D.2.為落實(shí)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校高二年級體育組教師在高二年級隨機(jī)抽取部分男生，測試了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)測試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)以上成績?yōu)榧案?，以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級男生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的及格率和優(yōu)秀率分別是（）

1A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可直接求出.【詳解】由頻率分布直方圖可得,優(yōu)秀率為，及格率，故選：C3.設(shè)△的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若3a=b，，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先利用正弦定理求得值，再利用二倍角的余弦公式即可求得的值.【詳解】由正弦定理可知，故選：B.4.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線與圓相交的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與圓相交列出不等式即可得到的范圍，再結(jié)合概率的計(jì)算公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A心，半徑，直線與圓相交，所以圓心到直線的距離，解得，所以所求的概率為，

2故選：B.5.如圖所示，給出的是某幾何體的三視圖，其中正視圖與側(cè)視圖都是邊長為2的正三角形，俯視圖為半徑等于1的圓．則這個幾何體的側(cè)面積與體積分別為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】該幾何體是一個圓錐，求出圓錐底面圓的半徑、母線及高的長，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和體積公式求得結(jié)果.【詳解】如圖根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是一個圓錐，底面圓的半徑，母線，高．則它的側(cè)面積，體積．故選：C．6.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則是直線與直線平行（）條件A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法及純虛數(shù)的概念求出，再由直線平行的充要條件判斷即可得解.

3【詳解】是純虛數(shù)，且，解得，此時與直線平行，當(dāng)時，且，解得.所以是直線與直線平行的充要條件，故選：A7.如圖四棱錐中，底面為正方形，且各棱長均相等，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】連接與交于點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量和的坐標(biāo)，結(jié)合向量的夾角公式，即可得解.【詳解】連接與交于點(diǎn)，連接，由題意得，，且平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

4設(shè)四棱錐各棱長均為2，則，，可得，則，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A．8.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有.若，則（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最大值是D.的最大值是【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和公式可化簡已知不等式得到數(shù)列為遞增的等差數(shù)列；結(jié)合可確定當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，由此可得結(jié)論.詳解】由得：，即，數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，，，，當(dāng)且時，；當(dāng)且時，；有最小值，最小值為.故選：A.9.已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線交左支交于

5兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由為圓心，為半徑為徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，得，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理可得解．【詳解】解：由題意得，設(shè)，則，，，，在中，由勾股定理得，解得，則，，在中，由勾股定理得，化簡得，所以的離心率，故選：B10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A.在單調(diào)遞增

6B.直線是曲線的一條對稱軸C.直線是曲線的一條切線D.在有兩個極值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，求出及函數(shù)解析式，A選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)得到在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；B選項(xiàng)，求出，得到直線是曲線的對稱中心；C選項(xiàng)，求導(dǎo)，求出斜率等于1時的值，求出函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率及方程，得到C正確；D選項(xiàng)，求出，數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)極值點(diǎn)情況.【詳解】由題意得，，所以，即．又，所以．故，選項(xiàng)A，當(dāng)時，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯；選項(xiàng)B，當(dāng)時，，故，所以直線不是曲線的對稱軸，故選項(xiàng)B錯誤；選項(xiàng)D，當(dāng)時，，

7由函數(shù)的圖象知：只有一個極值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，由，可得極值點(diǎn)為，故選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)，令，得，解得：或，從而得：或，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，故在的切線方程為，即，故選項(xiàng)C正確．故選：C11.，則a，b，c的大小順序?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而比較，，的大小，若有兩個解，則，，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)確定，進(jìn)而得到，即可判斷a、c的大小，即可知正確選項(xiàng).【詳解】令，則，，，

8而且，即時單調(diào)增，時單調(diào)減，又，∴，.若有兩個解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當(dāng)時，，故，綜上：.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定a，b，c的大小.12.定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)]時，，若關(guān)于x的方程至少有8個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可得出函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出，

9的圖象，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，原問題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)時兩函數(shù)圖象至少有4個交點(diǎn)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)所以，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，作出，在同一坐標(biāo)系的圖象，如圖，因?yàn)榉匠讨辽儆?個實(shí)數(shù)解，所以，圖象至少有8個交點(diǎn)，根據(jù)，的圖象都為偶函數(shù)可知，圖象在y軸右側(cè)至少有4個交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)時，只需，即，當(dāng)時，只需，即，當(dāng)時，由圖可知顯然成立，綜上可知，.故選：B【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．第II卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上）13.已知為單位向量，且滿足，則______.

10【答案】【解析】【分析】將兩邊平方可得，進(jìn)而可得.【詳解】為單位向量，且滿足，所以，即，解得，所以.故答案為：.14.在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】135【解析】【分析】令從而求出值，再對二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)進(jìn)行展開整理，令的指數(shù)為0即可得到答案.【詳解】在的展開式中，令，得各項(xiàng)系數(shù)和為，即，得，展開式通項(xiàng)為，其中，令，得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：135.15.不等式組，表示的平面區(qū)域?yàn)镸，一圓面可將區(qū)域M完全覆蓋，則該圓面半徑最小時圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____.【答案】【解析】【分析】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)槿切危髨A為該三角形的外接圓.【詳解】不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，

11將分別代入，得，，聯(lián)立解得，則，故A，B，C三點(diǎn)共圓時，圓半徑的最小.設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，，所以圓的方程為故答案為：.16.已知，若存在，使得，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】先討論、與1的大小關(guān)系確定、，進(jìn)而確定的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】①當(dāng)時，則，，又由，得，所以，則；

12②當(dāng)時，因?yàn)?，，所以不存在，使得；③?dāng)時，則，，又由，得，則，，令，則在上單調(diào)遞增，所以，則；綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.三、解答題（本大題共7小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17—21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22—23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分17.已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）當(dāng)時，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時，分別得到，作差化簡可得，又當(dāng)時，可得，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列（2）由（1）及，得，∴，由錯位相減法可得數(shù)列的前項(xiàng)和【小問1詳解】當(dāng)時，有

13∴，∴又∵，∴當(dāng)時，有∴，又∴∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列【小問2詳解】由（1）及，得，∴，則，∴18.中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日至22日在北京人民大會堂順利召開．某部門組織相關(guān)單位采取多種形式學(xué)習(xí)宣傳和貫徹黨的二十大精神．其中“學(xué)習(xí)二十大”進(jìn)行競賽．甲、乙兩單位在聯(lián)合開展主題學(xué)習(xí)及知識競賽活動中通過此欄目進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對或者都沒有全部答對則均記0分；一單位全部答對而另一單位沒有全部答對，則全部答對的單位記1分，沒有全部答對的單位記－1分，設(shè)每輪比賽中甲單位全部答對的概率為，乙單位全部答對的概率為，甲、乙兩單位答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響．（1）經(jīng)過1輪比賽，設(shè)甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；（2）若比賽采取3輪制，試計(jì)算第3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的概率．【答案】（1）分布列見解析；期望為（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，X的取值可能為－1，0，1，分別寫出每一個概率，列表格，用可計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.(2)第3輪比賽后，甲單位累計(jì)得分低于乙單位的3

14輪計(jì)分有四種情況（不按先后順序）：－1，－1，－1；－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0，分別計(jì)算出概率相加.【小問1詳解】由題意X的取值可能為－1，0，1，則，，那么X的分布列為：X－101P【小問2詳解】第3輪比賽后，甲單位累計(jì)得分低于乙單位的3輪計(jì)分有四種情況（不按先后順序）；－1，－1，－1;－1，－1，0；－1，－1，＋1；－1，0，0．所以．19.如圖，平面是圓柱的軸截面，是圓柱的母線，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．

15【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系求出平面、平面的一個法向量利用向量夾角公式可得答案．【小問1詳解】由題意知，平面平面，所以平面，因?yàn)椋云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫妫?，又平面，平面，所以平面；【小?詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，在中，由，得，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，令，得，設(shè)平面的一個法向量為，則

16由，得，令，得，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值．20.已知橢圓的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，是底邊長為2的等腰三角形．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)，若，求的值．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由是底邊長為2的等腰三角形，得，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立方程，得，，由，得，列出方程，解出k的值.【小問1詳解】因?yàn)槭堑走呴L為2的等腰三角形，所以且，又，所以．所以，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立，消去得，

17則，解得或．設(shè)，則，，則，，由，得，即得，整理得，代入，，得，化簡得，所以，解得，都滿足或綜上，的值為或．21.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求、的值；（2）如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）（-，0]【解析】【詳解】（1）由于直線的斜率為，且過點(diǎn)，故即解得，．

18（2）由（1）知，所以．考慮函數(shù)，則．(i)設(shè)，由知，當(dāng)時，，h(x)遞減．而故當(dāng)時，，可得；當(dāng)x（1，+）時，h（x）<0，可得h（x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)00,故(x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾．（iii）設(shè)k1.此時，（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾．綜合得，k的取值范圍為（-，0]點(diǎn)評：求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進(jìn)行求解．若求導(dǎo)后不易得到極值點(diǎn)，可二次求導(dǎo)，還不行時，就要使用參數(shù)討論法了．即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看是否符合題意．求的答案．此題用的便是后者．（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，若多做則按所做的第一題計(jì)分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的圓心坐標(biāo)為且過原點(diǎn)，橢圓的參數(shù)方程為

19（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）若曲線與圓相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)，是橢圓上的動點(diǎn)，求面積的最大值.【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）求出圓的普通方程，再利用普通方程與極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系可得出圓的極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可求得曲線的普通方程；（2）求出的值，設(shè)點(diǎn)，求出點(diǎn)到直線的最大距離，由三角形的面積公式可求得面積的最大值.【詳解】（1）依題意：圓的半徑，所以，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，得，由，，，得的極坐標(biāo)方程為，由，得的普通方程為；（2）由（1）知的極坐標(biāo)方程為，的普通方程為，將代入得，.設(shè)，則到的距離（其中）,，當(dāng)時，等號成立，

20.【點(diǎn)睛】在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．23.已知，，且．（1）證明：；（2）若不等式對任意恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，代入運(yùn)算整理，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性求最值；（2）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合和運(yùn)算求解.【小問1詳解】∵，則，可得，∴，又∵開口向上，對稱軸為，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.【小問2詳解】∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立；∴，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)

21時等號成立，∴，解得或，故m的取值范圍為.

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