北京市西城區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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西城區(qū)高三統(tǒng)一測試試卷數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，150分.考試時長?120?分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先對集合化簡，再由交集得定義即可求得.【詳解】，由得故選：B2.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；對于B選項，函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)；對于C選項，函數(shù)在上不單調(diào)；對于D選項，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)， 所以，函數(shù)在上為增函數(shù).故選：D.3.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分別利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性，限定的取值范圍即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知，即；由三角函數(shù)單調(diào)性可知；利用指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增可得；所以.故選：C4.在的展開式中，的系數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二項式定理的性質(zhì).【詳解】設(shè)的通項，則，化簡得，令，則的系數(shù)為，即A正確.故選：A5.已知為所在平面內(nèi)一點，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運算即可得到答案.【詳解】由題意作出圖形,如圖,則，故選：A.6.函數(shù)是（）A.奇函數(shù)，且最小值為B.奇函數(shù)，且最大值為C.偶函數(shù)，且最小值為D.偶函數(shù)，且最大值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知定義域關(guān)于原點對稱，再利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系化簡可得，由三角函數(shù)值域即可得，即可得出結(jié)果.【詳解】由題可知，的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，而，即函數(shù)為偶函數(shù)；所以，又，即，可得函數(shù)最小值為0，無最大值.故選：C7.已知雙曲線的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸．則“的離心率為”是“的一條漸近線為”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D 【解析】【分析】根據(jù)題意，分別從充分性和必要性兩方面進(jìn)行檢驗即可求解.【詳解】若雙曲線的離心率為，則，所以，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的充分條件；反之，雙曲線的一條漸近線為，若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；若雙曲線的焦點在軸上，則漸近線方程為，所以，離心率；所以“的離心率為”不是“的一條漸近線為”的必要條件；綜上：“的離心率為”是“的一條漸近線為”的既不充分也不必要條件，故選：D.8.在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量以及火箭（除燃料外）的質(zhì)量間的關(guān)系為．若火箭的最大速度為，則下列各數(shù)中與最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，求出，近似計算得解.【詳解】由題意，火箭的最大速度為時，可得，即， 因為，所以近似計算可得，故選：B9.設(shè)，函數(shù)若恰有一個零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用函數(shù)與方程的思想，可將圖象平移對參數(shù)進(jìn)行分類討論即可得出其取值范圍.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：函數(shù)可由分段平移得到，易知當(dāng)時，函數(shù)恰有一個零點，滿足題意；當(dāng)時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；當(dāng)時，圖象往下平移，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點；當(dāng)時，恰有一個零點，滿足題意，即；綜上可得的取值范圍是.故選：D10.名學(xué)生參加某次測試，測試由道題組成．若一道題至少有名學(xué)生未解出來，則稱此題為難題；若一名學(xué)生至少解出了道題，則該生本次測試成績合格．如果這次測試至少有 名學(xué)生成績合格，且測試中至少有道題為難題，那么的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得學(xué)生人數(shù)和題目數(shù)必須是3的倍數(shù)，可從進(jìn)行討論即可得出的最小值為9.【詳解】根據(jù)題意可知，不妨設(shè)，所以，若求的最小值，只需最小即可；易知當(dāng)時，即；此時即有3名學(xué)生不妨設(shè)為甲、乙、丙；3道題目設(shè)為；根據(jù)題意可得至少有2名學(xué)生成績合格，這兩名學(xué)生至少做出了4道題，可設(shè)甲同學(xué)做出了兩道題，乙同學(xué)做出了兩道題，丙同學(xué)做出了0道題，此時合格的學(xué)生為甲乙，即有名學(xué)生成績合格，三道題目中有兩道題，有名學(xué)生未解出來，即滿足測試中有道題為難題；所以符合題意.故選：B第二部分（非選擇題共?110?分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)，則__________________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故答案：. 12.已知拋物線的頂點為，且過點．若是邊長為的等邊三角形，則____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)拋物線的對稱性以及等邊三角形的邊角關(guān)系即可代入求解.【詳解】設(shè)，則,即，所以，由于又，所以，因此，故關(guān)于軸對稱，由得,將代入拋物線中得所以，故答案為：113.已知數(shù)列的通項公式為，的通項公式為．記數(shù)列的前項和為，則____；的最小值為____．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）由題可得，根據(jù)等比數(shù)列及等差數(shù)列的求和公式可得，利用數(shù)學(xué)歸納法可得時，，時，，進(jìn)而即得.【詳解】由題可知，所以，， 令，則，當(dāng)時，，即，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，成立，假設(shè)時，成立，當(dāng)時，，即時也成立，所以時，，即，所以時，，時，，由當(dāng)時，有最小值，最小值為.故答案為：；.14.設(shè)，其中．當(dāng)時，____；當(dāng)時，的一個取值為____．【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】將代入計算可得，利用兩點間距離公式可知；由即可得，化簡整理可得，即可寫出一個合適的值.【詳解】根據(jù)題意可得當(dāng)時，可得，所以；當(dāng)時，即，整理可得，即，可得，所以一個取值為.故答案為：,15.如圖，在棱長為的正方體中，點，分別在線段和上． 給出下列四個結(jié)論：①的最小值為；②四面體的體積為；③有且僅有一條直線與垂直；④存在點，，使為等邊三角形．其中所有正確結(jié)論的序號是____．【答案】①②④【解析】【分析】對于①，利用直線之間的距離即可求解；對于②，以為頂點，為底面即可求解；對于③，利用直線的垂直關(guān)系即可判斷；對于④，利用空間坐標(biāo)即可求解.【詳解】對于①，由于在上運動，在上運動，所以的最小值就是兩條直線之間距離，而，所以的最小值為；對于②，，而，所以四面體的體積為；對于③，由題意可知，當(dāng)與重合，與重合時，，又根據(jù)正方體性質(zhì)可知，，所以當(dāng)為中點，與重合時，此時，故與垂直的不唯一，③錯誤；對于④，當(dāng)為等邊三角形時，，則此時.所以只需要與的夾角能等于即可.以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖， 設(shè)，則由題意可得，，，則可得，，則，整理可得，該方程看成關(guān)于的二次函數(shù)，，所以存在使得為等邊三角形.故答案為：①②④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在中，，，平分交于點，．（1）求的值；（2）求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；（2）由（1）可求出，再根據(jù)平分可得為等腰三角形，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解. 【小問1詳解】在中，由正弦定理得，所以，因為，所以；【小問2詳解】由（1）得，由題設(shè)，，即為等腰三角形，所以，，所以的面積．17.根據(jù)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》，高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項等級如下（單位：cm）：立定跳遠(yuǎn)單項等級高三男生高三女生優(yōu)秀及以上及以上良好~~及格~~不及格及以下及以下從某校高三男生和女生中各隨機(jī)抽取名同學(xué)，將其立定跳遠(yuǎn)測試成績整理如下（精確到）：男生女生假設(shè)用頻率估計概率，且每個同學(xué)的測試成績相互獨立．（1）分別估計該校高三男生和女生立定跳遠(yuǎn)單項的優(yōu)秀率；（2）從該校全體高三男生中隨機(jī)抽取人，全體高三女生中隨機(jī)抽取人，設(shè)為這 人中立定跳遠(yuǎn)單項等級為優(yōu)秀的人數(shù)，估計的數(shù)學(xué)期望；（3）從該校全體高三女生中隨機(jī)抽取人，設(shè)“這人的立定跳遠(yuǎn)單項既有優(yōu)秀，又有其它等級”為事件，“這人的立定跳遠(yuǎn)單項至多有個是優(yōu)秀”為事件．判斷與是否相互獨立．（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）（3）與相互獨立【解析】【分析】（1）樣本中立定跳遠(yuǎn)單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，計算頻率得到優(yōu)秀率的估計值；（2）由題設(shè)，的所有可能取值為．算出對應(yīng)概率的估計值，得到的數(shù)學(xué)期望的估計值；（3）利用兩個事件相互獨立的定義判斷即可.【小問1詳解】樣本中立定跳遠(yuǎn)單項等級獲得優(yōu)秀的男生人數(shù)為，獲得優(yōu)秀的女生人數(shù)為，所以估計該校高三男生立定跳遠(yuǎn)單項的優(yōu)秀率為；估計高三女生立定跳遠(yuǎn)單項的優(yōu)秀率為．【小問2詳解】由題設(shè)，的所有可能取值為．估計為；估計為；估計為；估計為．估計的數(shù)學(xué)期望．【小問3詳解】估計為；估計為； 估計為，，所以與相互獨立．18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，．為棱上一點，平面與棱交于點．再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，完成下列兩個問題（1）求證：為的中點；（2）求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）若選條件①，利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理即可得出四邊形為平行四邊形，又即可得為的中位線即可得出證明；若選條件②，利用勾股定理可得為的中點，再利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理即可得，即可得出證明；（2）建立以為坐標(biāo)原點的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量為，易知是平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角與二面角之間的關(guān)系即可求得結(jié)果.【小問1詳解】選條件①：因為，平面，平面，所以平面因為平面平面， 所以又，所以四邊形為平行四邊形．所以且．因為且，所以且．所以為的中位線．所以為的中點．選條件②：．因為平面，平面，所以．在中，．在直角梯形中，由，，可求得，所以．因為，所以為的中點．因為，平面，平面，所以平面．因為平面平面，所以．所以，所以為的中點；【小問2詳解】由題可知因為平面，所以．又，所以兩兩相互垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．所以，，． 設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，．于是．因為平面，且，所以平面，又平面，所以．又，且為的中點，所以．平面，所以平面，所以是平面的一個法向量．．由題設(shè)，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為．19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，證明：在上單調(diào)遞增；（3）判斷與的大小關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）（2）證明見解析（3），證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得切點處的斜率，即可求解直線方程，（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可確定函數(shù)的單調(diào)性，（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，結(jié)合（2）的結(jié)論即可求解.【小問1詳解】,所以，．所以曲線在點處的切線方程為．【小問2詳解】由題設(shè)，．所以． 當(dāng)時，因為，所以．所以在上單調(diào)遞增．【小問3詳解】．證明如下：設(shè)．則．由（2）知在上單調(diào)遞增，所以．所以，即在上單調(diào)遞增．所以，即．20.已知橢圓，點在橢圓上，且（為原點）．設(shè)的中點為，射線交橢圓于點．（1）當(dāng)直線與軸垂直時，求直線的方程；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知點關(guān)于軸對稱且，利用勾股定理可得直線的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，直線的斜率存在時，聯(lián)立直線和橢圓方程再根據(jù)可得，即，再由求出點，代入橢圓方程即可得，即可求得的取值范圍為【小問1詳解】 當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)其方程為．由點關(guān)于軸對稱，且，由勾股定理可知不妨設(shè)，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，得，解得．所以直線的方程為．【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，由（Ⅰ）知．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其方程為．由得．由，得．設(shè)，，則，．因為，所以．所以．整理得．所以．解得，從而．設(shè)，其中．則．將代入橢圓的方程，得．所以，即．因為，所以，即．綜上取值范圍是． 21.給定正整數(shù)，設(shè)集合．對于集合中的任意元素和，記．設(shè)，且集合，對于中任意元素，若則稱具有性質(zhì)．（1）判斷集合是否具有性質(zhì)？說明理由；（2）判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明；（3）若集合具有性質(zhì)，證明：．【答案】（1）具有，理由見解析（2）不存，證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)集合具有性質(zhì)的特征，即可根據(jù)集合中的元素進(jìn)行檢驗求解，（2）假設(shè)集合具有性質(zhì)，分別考慮時，集合中元素，即可根據(jù)的定義求解.（3）根據(jù)假設(shè)存在使得，考慮當(dāng)時以及時，分量為1的個數(shù)即可討論求解.【小問1詳解】因為，同理．又，同理．所以集合具有性質(zhì)．【小問2詳解】當(dāng)時，集合中的元素個數(shù)為．由題設(shè)．假設(shè)集合具有性質(zhì)，則①當(dāng)時，，矛盾．②當(dāng)時，，不具有性質(zhì)，矛盾．③當(dāng)時，．因為和至多一個在中；和至多一個在中； 和至多一個在中，故集合中的元素個數(shù)小于，矛盾．④當(dāng)時，，不具有性質(zhì)，矛盾．⑤當(dāng)時，，矛盾．綜上，不存在具有性質(zhì)的集合．【小問3詳解】記，則．若，則，矛盾．若，則，矛盾．故．假設(shè)存在使得，不妨設(shè)，即．當(dāng)時，有或成立．所以中分量為的個數(shù)至多有．當(dāng)時，不妨設(shè)．因為，所以的各分量有個，不妨設(shè)．由時，可知，，中至多有個，即的前個分量中，至多含有個．又，則的前個分量中，含有個，矛盾．所以．因為，所以．所以．【點睛】求解新定義運算有關(guān)的題目，關(guān)鍵是理解和運用新定義的概念以及元算，利用化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，將不熟悉的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解.對于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和計算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析.計算特性，將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律即可利用已學(xué)相關(guān)知識求解.