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《湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2022-2023學年高二下學期期末考試數(shù)學Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
2022-2023學年湖南省·三湘名校教育聯(lián)盟·高二下期末考試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合M={x||x?1|≤2}，N={x|y=ln(x+1)}，則M∪N=(????)A.(?1,+∞)B.[?1,+∞)C.[?1,2]D.(?1,2]2.已知復數(shù)z滿足iz=2+i，則z2+3z?1=(????)A.2iB.?2C.?2iD.23.“b2=ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的(????)A.充分不必要條件B.充要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件4.隨著疫情結(jié)束，自行車市場逐漸回暖，通過調(diào)查，收集了5個商家對某品牌的自行車的售價x(百元)和月銷售量y(百輛)之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：售價x9.69，91010.210.3銷售量y10.29.3m8.48.0根據(jù)計算可得y與x的經(jīng)驗回歸方程是y=?3.1x+40，則m的值為(????)A.8.8B.8.9C.9D.9.15.端午節(jié)三天假期中每天需安排一人值班，現(xiàn)由甲、乙、丙三人值班，且每人至多值班兩天，則不同的安排方法有(????)A.18種B.24種C.36種D.42種6.若存在實數(shù)m，使得loga40,b>0)的左、右焦點，P，Q為雙曲線C上兩點，滿足F1P//F2Q，且|F2Q|=|F2P|=3|F1P|，則雙曲線C的離心率為(????)A.105B.52C.153D.102二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.已知函數(shù)f(x)=lg(1?x)+lg(1+x)，則下列說法正確的是(????)A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)為偶函數(shù)C.f(x)的值域為(?∞,1)D.f(x)在(0,1)上是減函數(shù)10.已知平面向量a=(1,1)，b=(?2,1)，c=(2,m)，則下列說法錯誤的是(????)A.若|a+b+c|=10，則m=1B.若(a+b)//c，則m=?1C.若(a+c)⊥b，則m=?6D.?m∈R且m≠1，則=45°或135°11.已知圓O:x2+y2=4和圓C:(x?3)2+(y?3)2=4，P，Q分別是圓O，圓C上的動點，則下列說法正確的是(????)A.圓O與圓C有四條公切線B.|PQ|的取值范圍是[32?4,32+4]C.x?y=2是圓O與圓C的一條公切線D.過點Q作圓O的兩條切線，切點分別為M，N，則存在點Q，使得∠MQN=90°12.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x)，則下列說法正確的是(????)A.當ω=1時，若g(x)為奇函數(shù)，則φ=π4B.當φ=π4時，若f(x)在區(qū)間(π2,π)上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是[12,54]C.當φ=π4時，若
g(x)在x=x0處取得最大值為5，則f(x0)=55D.若將f(x)的圖象向左平移π4個單位長度所得的圖象與g(x)的圖象的所有對稱軸均相同，則ω=1三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知事件A發(fā)生的概率為0.4，事件B發(fā)生的概率為0.5，若在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率為0.6，則在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為??????????．14.已知拋物線C:y=14x2的焦點為F，P是拋物線C上的一點，O為坐標原點，若|PO|=23，則|PF|=??????????．15.已知α，β均為銳角，tanα+tanβ=2sin(α+β)，且cos(α+β)=13，則cos2(α?β)=??????????．16.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球圍成的幾何體，如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長為1，若一個正方體能夠在勒洛四面體中隨意轉(zhuǎn)動，則正方體的棱長的最大值為??????????．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=an+2an?1(n≥3且n∈N?).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)記dn=Sn+1?54Sn，求數(shù)列{dn}的前n項和Tn．18.(本小題12.0分)某中學舉行春季研學活動，為了增加趣味性，在研學活動中設(shè)計了一個摸獎獲贈書的游戲，在一個不透明的盒子中有質(zhì)地、大小相同的球5個，將5個球編號為1～5，其中紅球2個，黃球2個，藍球1
個，每次不放回地隨機從盒中取一個球，當三種顏色的球都至少有一個被取出時，停止取球，游戲結(jié)束，取球次數(shù)最少將獲得獎勵．(1)求當游戲結(jié)束時盒子里恰好只剩下一個球且為紅球的概率;(2)停止取球時，記盒子中所剩球的個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．19.(本小題12.0分)如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，平面A1BC⊥平面ABB1A1．(1)證明：AB⊥BC;(2)若AA1=AC=2BC，E為BB1上一點，且BE=3EB1，求二面角E?A1C?B的余弦值．20.(本小題12.0分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=sin(B?C)b?c，且b≠c.(1)證明：a2=b+c;(2)若△ABC為銳角三角形，且B=2C，求a的取值范圍．21.(本小題12.0分)已知函數(shù)f(x)=e1?x+alnx.(1)若f(x)在定義域上單調(diào)遞增，求a的取值范圍;(2)若f(x)≤x3恒成立，求實數(shù)a的值．22.(本小題12.0分)已知P為橢圓C:x24+y23=1上一點，且點P在第一象限，過點P且與橢圓C相切的直線為l．
(1)若l的斜率為k，直線OP的斜率為kOP，證明：k?kOP為定值，并求出該定值;(2)如圖，PQ，RS分別是橢圓C的過原點的弦，過P，Q，R，S四點分別作橢圓C的切線，四條切線圍成四邊形ABCD，若kOP?kOS=?916，求四邊形ABCD周長的最大值．
答案和解析1.【答案】B?【解析】【分析】本題考查并集運算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：M={x|?1≤x≤3}，N={x|x>?1}，所以M∪N=[?1,+∞)，故選B．??2.【答案】D?【解析】【分析】本題考查了復數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：因為iz=2+i，則z=1?2i，所以z2+3z?1=(1?2i)2+31?2i?1=?4i?2i=2．??3.【答案】C?【解析】【分析】本題考查充分必要條件判定，等比數(shù)列性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：若a，b，c成等比數(shù)列，則b2=ac;若b2=ac，令a=b=0，滿足b2=ac，但此時a，b，c不構(gòu)成等比數(shù)列，故選C．??4.【答案】D?【解析】【分析】本題考查了回歸直線方程，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】解：售價平均x=15×(9.6+9.9+10+10.2+10.3)=10，則y=40?3.1×10=9，銷售量y=15(10.2+9.3+m+8.4+8.0)=9.0，解得m=9.1．故選D.：??5.【答案】B?【解析】【分析】本題考查了排列與組合的綜合應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：若甲乙丙三人每人值班一天，則不同安排方法有A33=6種．若三人中選兩個人值班，則有C32C21C32=18種，因此，一共有6+18=24種．??6.【答案】B?【解析】【分析】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，組合函數(shù)單調(diào)性，屬于中檔題．【解答】解：依題意可知，2a?1>loga4.當01時，由2a?1?loga4=2a?1?ln4lna，注意到f(x)=2x?1?ln4lnx為遞增函數(shù)，且f(2)=0，因此f(a)>0=f(2)，即a>2，綜上可知，a∈(0,1)∪(2,+∞).故選B．??7.【答案】A?【解析】【分析】本題考查了指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】解：依題意，f(x+2)+12f(x)=0，可得f(x+4)=?12f(x+2)=14f(x)，則f(2023)=14505f(3)，而f(3)=?12f(1)=?1，故f(2023)=?14505．故選A．??8.【答案】D?【解析】【分析】本題考查了求雙曲線的離心率、雙曲線的定義等知識，屬中檔題．【解答】解：延長QF2與雙曲線交于點P′，因為F1P//F2P′，根據(jù)對稱性可知，F(xiàn)1P=F2P′，設(shè)F2P′=F1P=t(t>0)，則F2P=F2Q=3t，從而2a=F2P?F1P=2t，即t=a，故P′Q=4t=4a，而QF1=QF2+2a=5a，而F1P′=F2P=3a，從而∠F1P′Q=∠F1PF2=90°，在△P′F1F2中，由勾股定理得4c2=a2+(3a)2，即5a2=2c2，則e=ca=102．??9.【答案】BD?【解析】【分析】本題考查對數(shù)運算，對數(shù)函數(shù)值域，奇偶性判斷，復合函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】解：由題意可知f(x)=lg(1?x2)，故f(x)為偶函數(shù)，又f(x)的定義域為(?1,1)，值域為(?∞,0)，且在(0,1)上為減函數(shù)，故選BD．??10.【答案】ABC?【解析】【分析】本題考查了平面向量的相關(guān)運算，屬于中檔題．【解答】解：∵平面向量a=(1,1)，b=(?2,1)，c=(2,m)，∴a+b+c=(1,2+m)，則|a+b+c|=1+(2+m)2=10，解得m=1或m=?5，故A錯誤;若(a+b)//c，a+b=(?1,2)，則?m=4，得m=?4，故B錯誤;若(a+c)⊥b，a+c=(3,m+1)，則?6+m+1=0，得m=5，故C錯誤;由b+c=(0,m+1)，可得=?45°或?135°，故D正確．故選ABC．??11.【答案】ABD?【解析】【分析】本題考查了圓的公切線、圓與圓位置關(guān)系中的最值問題等，屬中檔題．【解答】解：對于A選項，由題意可得，圓O的圓心為O(0,0)，半徑r1=2，圓C的圓心C(3,3)，半徑r2=2，因為兩圓圓心距|OC|=32>2+2=r1+r2，所以兩圓外離，有四條公切線，A正確;對于B選項，|PQ|的最大值等于|OC|+r1+r2=32+4，最小值為|OC|?r1?r2=32?4，B正確;對于C選項，因為兩圓的半徑相等，則外公切線與圓心連線平行，設(shè)直線為y=x+t，則外公切線與圓心連線段所在的直線間的距離為2，即t2=2，故y=x±22，故C不正確;對于D選項，當|QO|=22時，∠MQN=90°，故D正確．??12.【答案】BC?
【解析】【分析】本題考查正弦型函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最值、對稱性、圖象平移，屬于拔高題．【解答】解：g(x)=sin(ωx+φ)+ωcos(ωx+φ)=1+ω2sin(ωx+φ+θ)，其中tanθ=ω，對于A，g(x)=2sin(x+π4+φ)，因為g(x)為奇函數(shù)，故φ=?π4，故A錯誤;對于B，由題意可知(π2,π)為f(x)=sin(ωx+π4)單調(diào)遞減區(qū)間的子集，所以π?π2?πωπ2ω+π4?π2+2kππω+π4?3π2+2kπ解得12≤ω≤54，故B正確;對于C，依題意1+ω2=5，故ω=2，此時g(x)=5sin(2x+π4+θ)，且2x0+π4+θ=π2+2kπ，即2x0=π4+2kπ?θ，因此f(x0)=sin(2x0+π4)=sin(π2?θ)=cosθ=55，故C正確;對于D，將f(x)向左平移π4個單位長度，此時方程為y=sin(ωx+φ+π4ω)，它與g(x)的對稱軸完全一致，則θ?π4ω=kπ，若取ω=2，k=2，此時y=sin(2x+φ+π2)=cos(2x+φ)，g(x)=5sin(2x+φ+π2+2π)=5cos(2x+φ)，二者對稱軸相同，故D錯誤．故選BC．??13.【答案】0.75?【解析】【分析】本題考查了條件概率的計算，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：P(A|B)=P(AB)P(B)，即P(AB)=P(B)P(A|B)=0.5×0.6=0.3，故P(B|A)=P(AB)P(A)=0.30.4=0.75．??14.【答案】3?【解析】【分析】
本題考查了拋物線的定義、拋物線的準線方程等知識，屬基礎(chǔ)題．【解答】解：設(shè)P(m,n)，則m2=4n，由題意m2+n2=23，且n?0，故n2+4n?12=0，則n=?6(舍)或n=2，又拋物線C:y=14x2即x2=4y的準線方程為y=?1，故|PF|=n+1=3．??15.【答案】?19?【解析】【分析】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，兩角和差正弦、余弦公式、二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．【解答】解：2sin(α+β)=tanα+tanβ=sinαcosβ+sinβcosαcosαcosβ=sin(α+β)cosαcosβ，因為cos(α+β)=13，則sin(α+β)≠0，因此cosαcosβ=12，而cos(α+β)?=cosαcosβ?sinαsinβ=13，從而sinαsinβ=12?13=16，因此cos(α?β)=cosαcosβ+sinαsinβ=12+16=23，則cos2(α?β)?=2cos2(α?β)?1=?19．??16.【答案】233?22?【解析】【分析】本題考查了球的切接問題，屬于較難題．【解答】解：若正方體能在勒洛四面體中任意轉(zhuǎn)動，則正方體的外接球能夠放入勒洛四面體，因此，求正方體的棱長最大值，即求其外接球半徑最大值，也即勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑，此時該球與勒洛四面體的四個曲面均相切，該球的球心即為正四面體ABCD的中心，設(shè)M是底面BCD的中心，O是四面體的中心，外接球半徑為R，AM是高，
如圖.BM=23×32=33，AM=AB2?BM2=63，由BO2=BM2+OM2，得R2=(63?R)2+(33)2，解得R=64，設(shè)E為正方體的外接球與勒洛四面體的一個切點，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B，O，E三點共線，且BE=1，OB=64，因此OE=1?64，此即正方體外接球半徑的最大值，此時正方體的棱長的最大值為23×(1?64)=233?22．??17.【答案】解：(1)依題意，Sn=an+2an?1(n≥3)，當n≥3且n∈N?時，Sn=Sn?Sn?1+2an?1，即Sn?1=2an?1，此時，Sn=2an也成立，于是Sn?Sn?1=2an?2an?1，即an=2an?1，因此，數(shù)列{an}從第二項起成公比為2的等比數(shù)列，又當n=3時，由S2=2a2，可知a2=a1=1，則當n≥2且n∈N?時，an=a2×2n?2=2n?2，因此，an=1,n=1,2n?2,n?2;(2)由(1)可知，S1=1，S2=2，當n≥3且n∈N?時，Sn=an+2an?1=2n?2+2×2n?3=2n?1，因此，Sn=2n?1(n∈N?)，故dn=Sn+1?54Sn=2n?54×2n?1=34×2n?1(n∈N?)，故數(shù)列dn的前n項和Tn=34×(20+21+?+2n?1)=34×1?2n1?2=34×(2n?1)．?
【解析】本題考查了利用數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系求通項公式、等比數(shù)列的判定、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和公式等知識，屬中檔題．18.【答案】解：(1)依題意，設(shè)事件A:盒子恰好剩下一個紅球，前三次只能取兩種顏色的球，第四次取第三種顏色的球，因此第四次取球只能是紅球或者藍球，從而P(A)=C21C21A32A54=15;(2)X的所有可能取值為0，1，2，P(X=0)=A44A54=15，P(X=1)=2P(A)=25，P(x=2)=C21C21A33A53=25，∴X的分布列為：x012P152525E(X)=0×15+1×25+2×25=65．?【解析】本題考查古典概型概率計算，隨機變量分布列，離散型隨機變量期望，屬于中檔題．19.【答案】證明：(1)過A作AD⊥A1B于D，∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，且平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，∴AD⊥平面A1BC，故AD⊥BC，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，故BC⊥AA1，由AD∩AA1=A可知，BC⊥平面AA1B1B，故BC⊥AB;
(2)以B為坐標原點，BC，BA，BB1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設(shè)|BC|=2，則C(2,0,0)，A(0,23,0)，B1(0,0,4)，A1(0,23,4)，E(0,0,3)，則CA1=(?2,23,4)，BA1=(0,23,4)，CE=(?2,0,3)，設(shè)平面A1EC的法向量為m=(x1,y1,z1)，則m?CA1=0,m?CE=0,即?2x1+23y1+4z1=0,?2x1+3z1=0,令z1=23，則x1=33，y1=?1，即m=(33,?1,23)，設(shè)平面A1BC的法向量為n=(x2,y2,z2)，則n?CA1=0,n?BA1=0,即?x2+3y2+2z2=0,3y2+2z2=0,令z2=3，則x2=0，y2=?2，即n=(0,?2,3)，則cos?=?|m?n||m||n|=?87?40=?470=?27035，二面角E?A1C?B的余弦值為27035．?【解析】本題考查了線線垂直的判斷，面面角的向量求法，屬于中檔題．20.【答案】解：(1)證明：依題意，(b?c)sinA=sinBcosC?sinCcosB，即(b?c)a=bcosC?ccosB，由余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac，cosC=a2+b2?c22ab，代入可得a(b?c)=a2+b2?c22a?a2+c2?b22a=b2?c2a，因為b≠c，所以a=b+ca，即a2=b+c;(2)由(1)知，a2=b+c，則a=b+ca，由正弦定理得
a=sinB+sinCsin(B+C)=sinB+sinCsinBcosC+cosBsinC=2sinCcosC+sinC2sinCcosCcosC+(2cos2C?1)sinC=sin?C(2cos?C+1)(4cos2?C?1)sin?C=12cosC?1(其中C為銳角，所以2cosC+1≠0，sinC≠0)，因為B=2C，A+B+C=π且△ABC為銳角三角形，所以00恒成立故G(′x)<0，故g′(x)單調(diào)遞減，而g′(1)=0，因此x∈(0,1)時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當x∈(1,+∞)時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減．即g(x)≤g(1)=0，證畢．?【解析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究恒成立問題，屬于中檔題．22.【答案】解：(1)設(shè)P(x0,y0)，設(shè)l:y=kx+m，其中y0=kx0+m，
聯(lián)立橢圓方程得，x24+y23=1,y=kx+m?(4k2+3)x2+8kmx+4m2?12=0，由△=(8km)2?4(4k2+3)?(4m2?12)?=0得m2=4k2+3，即(y0?kx0)2=4k2+3，即k2x02?2kx0y0+y02=4k2+3，(x02?4)k2?2kx0y0+y02?3=0，即?43y02k2?2kx0y0?34x02=0，即(4ky0+3x0)2=0，即ky0x0=?34，即k?kOP=?34;?(2)由(1)可知，kAB?kOP=?34，kAD?kCS=?34，則kAB?kOP?kAD?kCS=916，又因為kOP?kas=?916，因此kAB?kAD=?1，因此四邊形ABCD為矩形，由(1)可知，若直線AB的方程為y=kx+m，則m2=4k2+3，因為AB與CD關(guān)于原點對稱，因此可設(shè)直線CD的方程為y=kx?m，直線AB，CD的距離為d1=2|m|k2+1=2m2k2+1=24k2+3k2+1，因為AB與AD垂直，故AD的斜率kAD=?1k，同理可計算AD，BC的距離為d2=24k2+31k2+1=24+3k2k2+1，，L2=47+7k2+2(3+4k2)(4+3k2)k2+1=28+812k4+25k2+12k4+2k2+1=28+812+k2k4+2k2+1=28+812+1k2+1k2+2≤28+812+14=56，因此L≤214，當且僅當k=±1時等號成立，因此矩形ABCD的周長L的最大值為2L=414．?
