江西省九江市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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九江市2023年第三次高考模擬統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（文科）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等內(nèi)容填寫在答題卡上.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.第Ⅰ卷（選擇題60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求解一元二次不等式則得到集合，再利用集合交并補(bǔ)的運(yùn)算即可.【詳解】，，解得，則，.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出 ，然后代入復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)，則，即，，解得，，.故選：.3.已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】借助指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將三個(gè)數(shù)，和中間量0與1來比較，即得大小關(guān)系.【詳解】解析：，，，.故選：C.4.為了強(qiáng)化節(jié)約意識(shí)，更好地開展“光盤行動(dòng)”，某校組織社會(huì)實(shí)踐小組對(duì)某塊稻田的稻穗進(jìn)行調(diào)研，小組隨機(jī)抽取了20株稻穗，并統(tǒng)計(jì)了每株稻穗的粒數(shù)，整理得到如下莖葉圖，則每穗粒數(shù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）A.174，175B.175，175C.175，174D.174，174【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】從小到大排列，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故中位數(shù)為174，先把每個(gè)數(shù)據(jù)減去174， 得到20個(gè)數(shù)據(jù)為，此時(shí)，從而求出平均數(shù)為.故選：A.5.已知，且，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)，，求出，，再利用兩角差的余弦公式求【詳解】解析：，，，，，，故選：A.6.執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的C的值為（） A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由程序框圖可得C是以3為周期的周期數(shù)列，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，輸入，，，執(zhí)行程序框圖，，，，，執(zhí)行循環(huán)體；，，，，執(zhí)行循環(huán)體；，，，，執(zhí)行循環(huán)體；，，，，執(zhí)行循環(huán)體；所以C是以3為周期周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)，執(zhí)行循環(huán)體，，，，，結(jié)束循環(huán)體，所以輸出的C的值為2.故選:C.7.若數(shù)列滿足（q為常數(shù)，且），則稱為差等比數(shù)列，其中q為公差比.已知差等比數(shù)列中，，，且公差比為2，則（）A.1024B.1022C.2048D.2046【答案】D【解析】【分析】由題意證明數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，并求出 的通項(xiàng)，再用累加法求出的通項(xiàng)，從而得到.【詳解】，，，，數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，當(dāng)時(shí)，，.故選：D.8.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，為平面內(nèi)異于，的兩點(diǎn).若的中點(diǎn)在上，且，，則（）A.4B.C.8D.【答案】D【解析】【分析】連接，，依題意可得，分別是和的中位線，即可得到，，再根據(jù)橢圓的定義計(jì)算可得.【詳解】如圖所示，連接，，，，，分別為線段，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，分別是和的中位線，，，在上，，故選：D. 9.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示.若，則的最大值為（）A.2B.C.4D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象先求出，然后根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)和在單調(diào)遞減得到，代入函數(shù)解析式，利用兩角和與差的正弦公式即可求解.【詳解】由圖可知，，，則，，又，且在單調(diào)遞減，，，，，又，，，.故的最大值為.故選：D.10.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，是奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則（） A.在上單調(diào)遞減B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減D.在上單調(diào)遞增【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖像關(guān)于直線對(duì)稱可知為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到在上單調(diào)遞減，再求出函數(shù)的周期性得到答案.【詳解】是奇函數(shù)，，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.由，可得，由圖像關(guān)于直線對(duì)稱可知為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞減，，，是周期函數(shù)，最小正周期為4，∵，，∴在上的單調(diào)性和在上的單調(diào)性相同，在上單調(diào)遞減.故選：C.11.榫卯是一種中國(guó)傳統(tǒng)建筑、家具的主要結(jié)構(gòu)方式，它凝聚了中華文明的智慧.它利用材料本身特點(diǎn)自然連接，既符合力學(xué)原理，又重視實(shí)用和美觀，達(dá)到了實(shí)用性和功能性的完美統(tǒng)一.下圖是榫卯結(jié)構(gòu)中的一種，當(dāng)其合并在一起后，可形成一個(gè)正四棱柱.將合并后的榫卯對(duì)應(yīng)拿開（如圖1所示），已知榫的俯視圖如圖2所示，則卯的主視圖為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由榫與卯為互補(bǔ)結(jié)構(gòu)結(jié)合對(duì)應(yīng)的視圖，再由排除法即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知，榫與卯為互補(bǔ)結(jié)構(gòu)，合并為一個(gè)正四棱柱，故卯需要有兩個(gè)通透的長(zhǎng)方形通道，由于四棱柱擺放角度為直角邊正對(duì)我們，故主視圖必須有一條居中的實(shí)線代表棱，故A錯(cuò)誤；然后對(duì)榫的結(jié)構(gòu)分析并與卯互補(bǔ)可得，卯的兩邊通道中間并不會(huì)連通，故不存在居中的虛線，故BD錯(cuò)誤，綜上所述，只有C滿足要求.故選:C12.從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過另外一個(gè)焦點(diǎn).如圖所示，已知雙曲線（）的左右焦點(diǎn)分別為，，從右焦點(diǎn)發(fā)出的兩條方向相反的光線經(jīng)雙曲線上兩點(diǎn)A，B反射后，其中反射光線BC垂直于AB，反射光線AD滿足，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】連接，，在中，設(shè)，則，，由雙曲線定義可知，，解出，在中用表示出，最后求出離心率.【詳解】如圖，連接，，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，，，設(shè)，則，，由雙曲線定義可知，，，，，，，，.故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22-23題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.中，，，D為BC的中點(diǎn)，則______.【答案】2【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積和直角三角形中余弦的定義求解即可. 【詳解】解析：如圖，.故答案為：2.14.中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則的面積為______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可得，再用余弦定理得，求出，最后使用面積公式即得.【詳解】解析：由及正弦定理，得，，由余弦定理知，，，.故答案為：.15.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)得到是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，然后分離變量，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】，是的兩個(gè)零點(diǎn)，即是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 令，則.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，且.由，得，，，由，即.故答案為：.16.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，P，Q為四邊形內(nèi)的點(diǎn)（包括邊界），且點(diǎn)P到AB的距離等于到平面的距離，點(diǎn)Q到的距離等于到平面ABCD的距離，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義得到P，Q的軌跡，結(jié)合圖像，即可求解.【詳解】當(dāng)P，Q在線段上時(shí)，由P到AB的距離等于到平面的距離知，P到點(diǎn)B的距離等于到的距離，故點(diǎn)P在以B為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上；同理，點(diǎn)Q在以為焦點(diǎn)，BC為準(zhǔn)線的拋物線上.設(shè)這兩條拋物線與的交點(diǎn)即分別為點(diǎn)，（如圖1）.則P，Q的軌跡分別為四邊形內(nèi)過點(diǎn)，且平行于AB的線段（如圖2）.則 的最小值即為.如圖3所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則的坐標(biāo)為，，所在的拋物線方程為，，聯(lián)立方程且，得，，，即的最小值為.故答案為：.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與的關(guān)系證得是等差數(shù)列，求出，再求；（2）使用裂項(xiàng)求和即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，，即，，，，是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，，，，綜上，【小問2詳解】，,（）,，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.18.直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面ABD；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）先證平面，得到①，再借助三角形相似證明②，最后證出平面平面；（2）等體積法求即可.【小問1詳解】為直三棱柱，，又，，平面平面，①設(shè)，則，，，，，，故②由①②，，，且，知平面ABD又平面，平面平面ABD【小問2詳解】由，得，解得的面積由（1）知平面，三棱錐的體積三棱錐的體積19.2023年，國(guó)家不斷加大對(duì)科技創(chuàng)新的支持力度，極大鼓舞了企業(yè)投入研發(fā)的信心，增強(qiáng)了企業(yè)的創(chuàng)新動(dòng)能.某企業(yè)在國(guó)家一系列優(yōu)惠政策的大力扶持下，通過技術(shù)革新和能力提升，極大提升了企業(yè)的影響力和市場(chǎng)知名度，訂單數(shù)量節(jié)節(jié)攀升，右表為該企業(yè)今年1~4月份接到的訂單數(shù)量. 月份t1234訂單數(shù)量y（萬件）5.25.35.75.8附：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，，.（1）試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)r的值判斷訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為y與t的線性相關(guān)性較弱）.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（2）建立y關(guān)于t的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該企業(yè)5月份接到的訂單數(shù)量.【答案】（1）0.96，訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性較強(qiáng)（2），6.05萬件【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求出，即可得出結(jié)論；（2）利用最小二乘法求出回歸方程，再令，即可得解.【小問1詳解】，，，，， ，訂單數(shù)量y與月份t的線性相關(guān)性較強(qiáng)；【小問2詳解】，，線性回歸方程為，令，（萬件），即該企業(yè)5月份接到訂單數(shù)量預(yù)計(jì)為6.05萬件.20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A，B為E上兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，F(xiàn)恰好是的重心.（1）求E的方程；（2）若，P，Q為拋物線上相異的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值.【答案】（1）（2）11【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及重心F的坐標(biāo)表示點(diǎn)B，將B的坐標(biāo)代入拋物線方程可求出，可得拋物線的方程；（2）設(shè)直線PQ的方程為，，，聯(lián)立直線PQ與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理和，求出，再根據(jù)拋物線的定義求出，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【小問1詳解】由已知可得，，設(shè) F恰好是的重心，，解得，將代入，得，，解得，E的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線PQ的方程為，，，由方程組，得，即，且，，，，，，，即，，，或，若，直線PQ過N點(diǎn)，不合題意，舍去，，此時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，有最小值為11. 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21.已知函數(shù)）在處的切線斜率為.（1）求a的值；（2）若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案;（2）由，變形為，從而令，求得其導(dǎo)數(shù)，結(jié)合端點(diǎn)處函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值情況，判斷出m的范圍，并加以證明，即可得答案.【小問1詳解】，， ，，，.【小問2詳解】由（1）可知，，由，得，令，則，，且，存在，使得當(dāng)時(shí)，，，即；下面證明當(dāng)時(shí)，，，且，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，；當(dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，且為單調(diào)遞增函數(shù)，由于，故，僅在是取等號(hào)，故在上單調(diào)遞增，，故，即，則在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，遞增的幅度遠(yuǎn)大于遞增的幅度，， 故必存在，使得，則時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，則，與題意不符；綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)端點(diǎn)處函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值的情況推出m的范圍，再加以證明.請(qǐng)考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為，其中α為傾斜角，且.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率為，，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化；（2）直線的參數(shù)方程應(yīng)用，根與系數(shù)關(guān)系求得斜率和范圍.【小問1詳解】曲線C的普通方程為，由，得，即，，所以，又，故，即， ,所以.【小問2詳解】設(shè)，，將代入直線l方程中，得，則，，，，，.選修4-5：不等式選講23.設(shè)a，b，c均為正數(shù)，已知函數(shù)的最小值為4.（1）求的最小值；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式及基本不等式求目標(biāo)式最小值，注意取值條件，（2）利用基本不等式證明不等式即可.【小問1詳解】，，則， ，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，，即，僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.【小問2詳解】，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，又，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，同理，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即.