湖南省長沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)（原卷版）.docx

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2023-2024-1長沙市第一中學(xué)高二入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.2.若,則的共軛復(fù)數(shù)為()AB.C.D.3.設(shè)x＞0，y∈R，則“x＞|y|”是“x＞y”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.5.已知，且，，則（）A.B.C.D.6.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，且該圓錐的體積為，則（）A.B.C.D.37.在△ABC中，，則這個(gè)三角形一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形8.已知，，，則的最小值為（）A.7B.C.D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種參保客戶進(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下統(tǒng)計(jì)圖例，則以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）A.周歲人群參?？傎M(fèi)用最少B.30周歲以上的參保人群約占參保總?cè)巳旱腃.54周歲以上的參保人數(shù)最少D.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞10.如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，CD的中點(diǎn)，則（）A.B.平面BEFC.直線AB交平面EFC于點(diǎn)P，則D.點(diǎn)到平面BEF的距離為11.下列各式中，值為是（）A.B.C.D.12.若函數(shù)滿足：①，恒有，②，恒有，③時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（） A.B.，，的最大值為4C.的單調(diào)遞增區(qū)間為，D.若曲線與的圖象有6個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為________．14.如圖，在矩形ABCD中，，AC與BD交點(diǎn)為M，N為邊AB上任意點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為________．15.甲?乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)該隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)以往比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.8，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是__________．16.已知的邊，且，則的面積的最大值為___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）若，求在的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18.如圖，在直三棱柱中，，D是AC的中點(diǎn)，．（1）求證：平面； （2）若異面直線AC和所成角的余弦值為，求四棱錐的體積．19.某校舉行了一次高一年級(jí)數(shù)學(xué)競賽，筆試成績?cè)诜忠陨希òǚ郑瑵M分分）共有人，分成、、、、五組，得到如圖所示頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這次數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到）；（2）為進(jìn)一步了解學(xué)困生的學(xué)習(xí)情況，從數(shù)學(xué)成績低于分的學(xué)生中，通過分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再從這人中任取人，求此人分?jǐn)?shù)都在的概率．20.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，，，已知，．（1）求的面積；（2）若，求c．21.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面，M是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)N使平面平面成立？如果存在，求出 ；如果不存在，說明理由．22.已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍．