山西省朔州市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)，滿足，，則A．B．C．D．63．已知一個(gè)足球場(chǎng)地呈南北走向．在一次進(jìn)攻時(shí)，某運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)處開始帶球沿正北方向行進(jìn)16米到達(dá)B處，再轉(zhuǎn)向北偏東60°方向行進(jìn)了24米到達(dá)C處，然后起腳射門，則A，C兩點(diǎn)的距離為A．米B．米C．32米D．米4．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)在C上，過P作l的垂線，垂足為O，若（O為原點(diǎn)），則F到l的距離為A．1B．2C．4D．65．有一個(gè)棱柱形狀的石料，底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，該石料側(cè)棱垂直于底面，若可以將該石料打磨成四個(gè)半徑為的石球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為A．B．C．D．6．已知向量，，其中．若，則A．B．C．D．7．現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3．若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為A．3.5B．4C．4.5D．58．已知橢圓M：的上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A且不與y軸重合的直線l與M的另一個(gè)交點(diǎn)為 （其中），過B作l的垂線，交y軸于點(diǎn)C．若，則l的斜率k=A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)積為，若，則A．B．C．D．10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且存在，使得在上單調(diào)遞增，則下列選項(xiàng)正確的是A．的最小正周期B．在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)在內(nèi)不存在極值點(diǎn)11．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（其中A在B的左側(cè)），記面積為S，則A．B．時(shí)，C．S的最大值為D．當(dāng)時(shí)，12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是A．若在R上單調(diào)遞增，則B．若，設(shè)的解集為，則C．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，則D．若，則過僅能做曲線的一條切線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．A，B兩籃球運(yùn)動(dòng)員在球衣號(hào)分別為6，8，9，18的四件球衣中各隨機(jī)選一件，則A選的是偶數(shù)號(hào)球衣的不同選法共有種．14．已知直線過定點(diǎn)，則的最小值為． 15．若在圓C：上存在一點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P作圓M：的切線長(zhǎng)為，則r的取值范圍為．16．若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的周長(zhǎng)為6．（1）證明：；（2）求△ABC面積的最大值．18．（12分）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，且．（1）若，求的前n項(xiàng)和；（2）若為等比數(shù)列，且不為等比數(shù)列，求的值．19．（12分）一對(duì)夫要計(jì)劃進(jìn)行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛，且約定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人駕車，另一人休息；②若前一天由丈夫駕車，則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為，由妻子駕車的概率為；③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．（1）求在剛開始的三天中，妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)在第n天時(shí)，由丈夫駕車的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．20．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，，，．（1）證明：；（2）求二面角A-PC-B的余弦值．21．（12分） 已知雙曲線C：的焦距為8．過左焦點(diǎn)F的直線與C的左半支交于A，B兩點(diǎn)，過A，B作直線l：的垂線，垂足分別為M，N，且當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，．（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，判斷是否存在，使得為定值？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．22．（12分）設(shè)函數(shù)，其中，．（1）若，且在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，求t的最小值：（2）證明：對(duì)任意正數(shù)a，b，僅存在唯一零點(diǎn)．絕密★啟用前（新高考卷）數(shù)學(xué)參考答案1．【答案】A【解析】易知，因?yàn)椋?，所以?．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?．【答案】D【解析】由題意可知，，則．4．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，即，所以F到l的距離為4．5．【答案】B【解析】易知該石料底面內(nèi)切圓半徑為，所以打磨而成的石球，與該石料的各個(gè)側(cè)面均相切，因?yàn)樽疃啻蚰コ伤膫€(gè)，所以該石料的高度最小值為，所以該石料的體積，又四個(gè)石球的總體積，所以至少需要打磨掉的體積為． 6．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，即，其中，，所以，所以．【另解】易解得，，則．7．【答案】D【解析】設(shè)甲組數(shù)據(jù)為，，…，，乙組數(shù)據(jù)為，，…，，則，，，，所以新的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新數(shù)據(jù)的方差．8．【答案】C【解析】由條件得直線AB的斜率，設(shè)，直線CB的斜率，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)锽在橢圓上，所以，即，所以，又因?yàn)?，則消去，解得，即點(diǎn)C坐標(biāo)為，所以，將代入，整理得，解得，即，所以．9．【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以?又，所以，所以，即，即A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即C正確，D錯(cuò)誤．10．【答案】AC【解析】因?yàn)?，所以，即A正確；因?yàn)?，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以在上不是單調(diào)遞增，即B錯(cuò)誤；因?yàn)椋遥?，所以函?shù)的圖象不可能關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即C正確；當(dāng)，，又，且，所以函數(shù)在內(nèi)存在極小值，即D錯(cuò)誤．11．【答案】ACD【解析】由對(duì)稱性可知，，所以，即A正確；設(shè)，，則x，，，且，所以，解得，即B錯(cuò)誤；易知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上述等號(hào)成立，即C正確；設(shè)，，則， 由余弦定理，可知，所以，所以，所以，即，代入橢圓，解得，所以，即D正確．12．【答案】ACD【解析】，則，令，解得，易知，若在R上單調(diào)遞增，則，所以，即A正確；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，又，所以存在，使得，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，所以，所以，即B錯(cuò)誤；由B項(xiàng)過程可知，當(dāng)時(shí)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)，不符題意，當(dāng)時(shí)，易知在上恒成立，且當(dāng)時(shí)，，由A項(xiàng)過程可知，，所以，即，此時(shí)存在，，使得，即，設(shè)，則，所以，解得， 設(shè)，由可知，，所以單調(diào)遞減，且，，所以，所以，所以，即C正確；當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)榍芯€過，所以，即，設(shè)，則，令，解得或，易知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以存在唯一的，使得，所以過僅能做曲線的一條切線，即D正確．13．【答案】9【解析】A選的是偶數(shù)號(hào)球衣的不同選法種數(shù)是，B只能從剩下的三件球衣中選取，有種不同選法，所以A，B所選球衣中A選的是偶數(shù)號(hào)球衣的不同選法為．14．【答案】【解析】因?yàn)橹本€過，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，上述等號(hào)成立．15．【答案】【解析】因?yàn)榍芯€長(zhǎng)為，所以，所以圓C與以M為圓心，以為半徑的圓有公共點(diǎn)，又，所以，解得． 16．【答案】【解析】設(shè)公切線與曲線的切點(diǎn)為，與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以在處的切線方程為，同理可得，在處的切線方程為，由題意可知，，即，因?yàn)?，所以，所以，即，消去，整理得，設(shè)，，則，令，解得，易知，又，所以．17．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，展開整理得，命題得證；（2）因?yàn)?，所以?所以或，即或，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即△ABC面積的最大值為．18．【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，即?shù)列為等差數(shù)列，公差，所以；（2）設(shè)的公比為q，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椴粸榈缺葦?shù)列，所以不是常數(shù)，所以，．19．【解析】（1）設(shè)妻子駕車的天數(shù)為隨機(jī)變量X，則X可能取值為0，1，2，則，，，則； （2）【方法一】易知，，且，所以，又，所以，由累加法可知，【方法二】根據(jù)題意有，，即，設(shè)，則，所以，故20．【解析】（1）如圖，作，垂足為O，連接CO，因?yàn)?，且，所以△PBO是等腰直角三角形，又，所以，又，，，由余弦定理可知，所以，即，又，OP，平面POC，所以O(shè)B⊥平面POC，又平面POC，所以，即；（2）【方法一】因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABC，且平面平面，，平面PAB，所以PO⊥平面ABC，又平面ABC，所以，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz， 則，，，，所以，，，設(shè)平面APC的法向量為，則，取，則，所以，設(shè)平面BPC的法向量為，則，取，則，所以，設(shè)二面角B-PC-A為θ，由圖可知，θ為銳角，所以【方法二】設(shè)線段PC中點(diǎn)為D，分別連接OD，AD，BD．由（1）知，，∴．根據(jù)條件可得，，∴，∴． ∵，∴．∴∠ADB就是二面角A-PC-B的平面角．又，，在△ABD中，由余弦定理得，所以，二面角A-PC-B的余弦值為．21．【解析】（1）由題意可知，，即，所以，設(shè)，，則，，當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，因?yàn)?，則，所以，解得，，即雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，，，設(shè)直線AB：，因?yàn)橹本€AB與雙曲線左支相交于兩點(diǎn)，所以，與C的方程聯(lián)立，，消去x，整理得，所以，，所以，因?yàn)?，所以，且，所以?同理可得．所以，整理得，所以，整理得，因?yàn)闉槎ㄖ担曰?，解得?2．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，設(shè)，則，令，解得或，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時(shí)，存在，，，使得，及，易知在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增， 即不符題意，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則存在，使得，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即符合題意，又，則，綜上，t的最小值為．（2）易知，設(shè)，則，所以，①當(dāng)，即時(shí)，，則單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，所以存在，使得，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，所以存在唯一的，使得，即，②當(dāng)，即，存在，，使得，且，易知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，， 且時(shí)，，所以存在，使得，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，所以存在唯一的，使得，即；綜上，對(duì)任意a，b＞0，僅存在唯一零點(diǎn)．