山東省臨沂市蘭山區(qū)2021-2022學年高二上學期開學考試數(shù)學word版含解析.docx

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2021-2022學年度高二第一學期開學考測試數(shù)學試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考生號、縣區(qū)和科類填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.3.第Ⅱ卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置；如需改動，先劃掉原來的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶.不按以上要求作答的答案無效.第Ⅰ卷選擇題（60分）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，則復數(shù)的虛部為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算，計算出復數(shù)，進而求出其共軛復數(shù)，得答案.【詳解】復數(shù)，所以，所以復數(shù)的虛部為.故選：B.2.下列調(diào)查方式合適的是（）A.2020年我國進行了第七次人口普查，采用抽查方式B.了解一批玉米種子的發(fā)芽率，采用普查方式C.了解一批炮彈的殺傷半徑，采用普查方式D.調(diào)查一批待售袋裝牛奶的細菌數(shù)是否超標，采用抽查方式學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽查和普查的特點，對每個選項逐一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，2020年我國進行了第七次人口普查，采用普查方式，故A不正確；對于B，了解一批玉米種子的發(fā)芽率，采用抽查方式.若采用普查方式，雖然獲得了準確數(shù)據(jù)，但所有玉米種子都浪費了，不是適合的調(diào)查方式，故B不正確；對于C，了解一批炮彈的殺傷半徑，采用抽查方式.若采用普查方式，雖然獲得了準確數(shù)據(jù)，但所有炮彈都浪費了，不是適合的調(diào)查方式，故C不正確；對于D，調(diào)查一批待售袋裝牛奶的細菌數(shù)是否超標，采用抽查方式，所以D正確.故選：D.3.下列說法正確的是（）A.空間中任意三點確定一個平面B.一個西瓜切3刀可以切成7塊C.垂直同一條直線的兩條直線互相平行D.垂直同一個平面的兩個平面互相垂直【答案】B【解析】【分析】根據(jù)立體幾何的相關知識逐一判斷即可.【詳解】對于A，空間中任意不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；對于B，作西瓜截面如圖所示，一個西瓜切3刀可以切成7塊，故B正確；對于C，垂直同一條直線的兩條直線不一定互相平行，也可以異面、相交、垂直，故C錯誤；對于D，垂直同一個平面的兩個平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故D錯誤.故選：B4.已知向量，，若，則（）A.5B.15C.D.【答案】C【解析】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】由向量平行的坐標表示求出，再由向量的加法和數(shù)量積的坐標運算即可求出答案.【詳解】若，則，解得：.所以，所以，所以.故選：C.5.如圖所示的是一個四邊形用斜二測法畫出的直觀圖，它是一個底角為45°，腰和上底邊長都為2的等腰梯形，則原四邊形的面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直觀圖還原成原圖是一個如圖所示的直角梯形，與軸平行的線段長度不變，與軸平行的線段長度加倍，所以由已知的數(shù)據(jù)可得，從而可求得答案.【詳解】由直觀圖還原成原圖是一個如圖所示的直角梯形，如圖所示，因為在直觀圖中，,所以在原圖中,學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以原四邊形的面積為,故選：B6.算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠、十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設事件“表示的四位數(shù)含2個數(shù)字5”，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知基本事件總數(shù)為，然后列舉出四位數(shù)含2個數(shù)字5的情況，再利用古典概型的概率公式求解即可.【詳解】現(xiàn)將算盤的個位、十位、百位、千位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，每個珠子有兩種情況：1和5，所以共有種情況，其中四位數(shù)含2個數(shù)字5的有：1155，1515，1551，5511，5115，5151，共6種，所以，故選：C7.若在中，角的對邊分別為，則（）A.或B.C.D.以上都不對【答案】C【解析】【分析】在中，根據(jù)，利用正弦定理求解.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】在中，已知，由正弦定理得：，所以，因為，所以，所以，故選：C8.先把一正六面體六個面分別寫上數(shù)字1到6，然后任意拋擲一次，把它與地面接觸的面上的數(shù)字記為X，則，定義事件：，事件：，事件：，則下列判斷正確的是（）A.B.C.D.A，B，C兩兩相互獨立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型求解概率判斷A，B，C選項，利用相互獨立的公式驗證D選項【詳解】由題意，，，，所以，同理，，由，則，故A錯誤；由，則，而，故B錯誤；由，則，故C正確；由A選項中，所以事件A，B，C不兩兩相互獨立，故D錯誤.故選：C學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.為提高生產(chǎn)效率，某汽車零件加工廠的甲乙兩個車間進行比賽，下表是對甲乙兩個車間某天生產(chǎn)零件個數(shù)的統(tǒng)計，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論正確的是（）車間參加人數(shù)中位數(shù)方差平均數(shù)甲55149191135乙55151110135A.甲、乙兩車間這一天生產(chǎn)零件個數(shù)的平均數(shù)相同B.甲車間這一天生產(chǎn)零件個數(shù)的波動比乙車間大C.乙車間優(yōu)秀的人數(shù)多于甲車間優(yōu)秀的人數(shù)（這一天生產(chǎn)零件個數(shù)個為優(yōu)秀）D.甲車間這一天生產(chǎn)零件個數(shù)的眾數(shù)小于乙車間零件個數(shù)的眾數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對各選項依次判斷即可.【詳解】對于A，甲、乙兩車間這一天生產(chǎn)零件個數(shù)的平均數(shù)都是135，故A正確；對于B，甲車間方差191大于乙車間的方差110，甲車間這一天生產(chǎn)零件個數(shù)的波動比乙車間大，故B正確；對于C，在平均數(shù)相同的情況下，乙的中位數(shù)大于甲的中位數(shù)，所以乙車間優(yōu)秀的人數(shù)多于甲車間優(yōu)秀的人數(shù)，故C正確；對于D，根據(jù)表中數(shù)據(jù)無法判斷甲乙兩車間的眾數(shù)的大小，故D不正確.故選：ABC10.下列命題正確的是（）A若，，，則B.若，則當，時，為純虛數(shù)C.若，則的最大值為3D.若實數(shù)與對應，則實數(shù)集與純虛數(shù)集可建立一一對應關系【答案】BC【解析】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】對各選項依次判斷即可.【詳解】對于A，令，，則，但不滿足，故A不正確；對于B，若，則當，時，為純虛數(shù)，故B正確；對于C，的幾何意義是復數(shù)對應的點到的距離為1，則的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則的最大值為，故C正確；對于D，當時，不滿足，故D不正確.故選：BC11.已知平面單位向量，，滿足，，，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】由已知條件可得，，.對于A，由向量的數(shù)量積計算即可判斷；對于B，采用反證法驗證即可判斷；對于C，根據(jù)向量的模的公式計算即可判斷；對于D，根據(jù)向量的模的公式計算即可判斷.【詳解】解：因為，，所以，，又因為，所以得.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對于A，，故正確；對于B，假設，則有，與是單位向量矛盾，故錯誤；對于C，因為，所以=1，故錯誤；對于D，因為，所以，故正確.故選：AD.12.如圖，正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為棱上的點，且，則（）A.當時，平面B.當時，點C到平面BDN的距離為C.當時，三棱錐外接球的表面積為D.對任意，直線與都是異面直線【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，對于A，直接求解平面的法向量，判斷與法向量是否垂直即可，對于B，直接求解平面的法向量，利用距離公式求解，對于C，連接交于，過作平面的垂線，則外接球球心在此垂線上，然后利用勾股定理可求出球的半徑，從而可求出表面積，對于D，利用異面直線的定義判斷即可.【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對于A，，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以，所以與不垂直，所以與平面不平行，所以A錯誤，對于B，，設平面的法向量為，則，令，則，所以點C到平面BDN的距離為，所以B正確，對于C，連接交于，過作平面的垂線，則外接球球心在此垂線上，設三棱錐外接球的半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積為，所以C正確，對于D，對任意，因為在平面內(nèi)，點在平面外，且直線與平面交于點，直線不經(jīng)過點，所以直線與都是異面直線，所以D正確，故選：BCD第Ⅱ卷非選擇題（90分）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13.某中學高二各班三分鐘跳繩比賽的成績?nèi)缦拢?57，311，267，301，279，296，246，287，257，323，266，293，304，269，332，270，則第75百分位數(shù)為______.【答案】302.5【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求第75百分位數(shù)即可．【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序如下，246，257，257，266，267，269，270，279，287，293，296，301，304，311，323，332共16個數(shù)據(jù)，，第12、13個數(shù)據(jù)分別為301、304，則其第75百分位數(shù)為，故答案為：302.514.已知一個圓錐的底面半徑為，其側(cè)面積，則該圓錐的體積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可得母線長，進而可得圓錐的高及體積.【詳解】由圓錐側(cè)面積，解得母線，所以圓錐的高，圓錐體積，故答案為：.15.在如圖所示珊瑚群島上取兩點C，D，且A，B，C，D四點共面，測得，，，，則A，B兩點間的距離為______.【答案】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】【分析】在中易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：在中，因為，所以，所以，則．在中，因為，所以由正弦定理，得．在中，因為，所以由余弦定理得，故．故答案為：16.在中，是邊的中點，若，向量在向量上的投影向量為______，若點為線段上的動點，且滿足，則的最大值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)已知得到為的平分線，即，再利用平面向量的投影的概念即可得投影向量，又三點共線，設，，再根據(jù)已知可得為關于的函數(shù)，進而可得最值.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】如圖所示，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量，又，所以為的平分線，又因為為的中線，所以，所以向量在向量的投影向量為，即向量在向量的投影向量為，因為在上，即，，三點共線，設，，又因為，所以，因為，則，，令，所以當時，取最大值為，故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 17.已知復數(shù)（i是虛數(shù)單位）.（1）求復數(shù)z的共軛復數(shù)和模；（2）若.求a，b的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用復數(shù)運算化簡，從而求得的共軛復數(shù)以及模.（2）根據(jù)復數(shù)相等列方程，化簡求得的值.【小問1詳解】，所以z的共軛復數(shù)，.【小問2詳解】因為，即，也即，所以，解得.18.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角A的值；（2）若邊上的高為3，求a的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理對原式邊化角即可；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）根據(jù)的兩個面積公式得到，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求解即可.【小問1詳解】因為，由正弦定理知，所以，因為，所以，所以，因為，所以【小問2詳解】由（1）知，且邊上的高為3，所以的面積，即.又因為中，由余弦定理得，當且僅當b=c時取等號，所以，又因為，所以，所以a的最小值為19.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，E為側(cè)棱的中點.設平面與側(cè)棱交于點F，且.（1）求證：四邊形為直角梯形；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】（1）設平面平面，，則由線面平行的性質(zhì)可得∥，則由三角中位線定理結(jié)合正方形的性質(zhì)可得四邊形為梯形，再由面面垂直的的性質(zhì)可得，從而可證得結(jié)論，（2）由已知條件可求出直角梯形的面積，由平面，可得，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，所以平面，從而可求出四棱錐的體積.【小問1詳解】因為是正方形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，因平面，設平面平面，，所以∥，因為E為的中點，所以F為的中點，∥且，在正方形中，∥且，所以∥，，則四邊形為梯形，因為側(cè)面底面，平面底面，平面，，所以平面，又平面，可得，而∥，所以，所以四邊形為直角梯形.【小問2詳解】由（1）知四邊形為直角梯形，則，，所以，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由平面，平面，得，因為∥，所以，在正三角形中，E是的中點，則，又，、平面，所以平面，因為，所以20.為了解市民對疫苗接種工作的滿意度，從本市居民中隨機抽取若干居民進行評分（滿分100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成表格和頻率分布直方圖（如下圖所示），已知評分在的居民有300人.滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，估計樣本的中位數(shù)（保留小數(shù)點后一位）；（3）定義滿意度指數(shù)（滿意程度的平均分）/100，若，則疫苗接種工作需要進行調(diào)整，否則不需要調(diào)整，根據(jù)所學知識判斷該市疫苗接種工作是否需要進行調(diào)整？【答案】（1），1200人（2）82.9（3）不需要進行調(diào)整.【解析】學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】（1）由頻率分布直方圖的面積和為1可求得，由的居民有300人，結(jié)合頻率分布直方圖的頻率可求得所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；（2）根據(jù)小于中位數(shù)的頻率和為0.5計算中位數(shù)即可；（3）根據(jù)所給計算公式，結(jié)合頻率分布直方圖數(shù)據(jù)直接計算即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，即，解得，設總共調(diào)查人，則，解得.即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為1200人.【小問2詳解】由頻率分布直方圖得：的頻率為：，的頻率為，設樣本的中位數(shù)為，則，解得.所以樣本的中位數(shù)約為82.9.【小問3詳解】由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，∴，∴該市疫苗接種工作不需要進行調(diào)整.21.在如圖所示的半圓柱中，為上底面直徑，為下底面直徑，為母線，點F在上，點G在上且，P為的中點.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求直線與直線所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正切值；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何法利用線線平行找異面直線所成的角為或其補角，借助余弦定理即可求解.（2）根據(jù)線面垂直，可得為直線與平面所成的角，在三角形中利用邊長即可求解角的正切值.（3）根據(jù)，，可得為二面角平面角，利用三角形即可求解正弦值.【小問1詳解】過F點作圓柱的母線交于H，因為與均為圓柱的母線，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，所以為正三角形.又因為為正三角形，所以，，所以，所以或其補角為直線與所成的角.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在中，，，，所以由余弦定理知：，所以直線與直線所成角的余弦值為.【小問2詳解】因為平面，平面，所以又因為，，平面,所以平面，所以為直線與平面所成的角，在中，，.【小問3詳解】由（2）知平面,平面,所以，，因此為二面角的平面角，在中，，，.所以二面角的正弦值為.22.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）證明：；（2）記的面積為S，點P是內(nèi)一點，且，證明：.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將原式切化弦，結(jié)合正弦定理和余弦定理進行化簡即可；（2）根據(jù)題意將分為三個小三角形，在各小三角形里結(jié)合三角形面積公式和余弦定理得到等式，最后相加即可.【小問1詳解】由，得，所以，由正弦定理得，再由余弦定理得，所以【小問2詳解】，，，，，的面積分別為，，，在中，由余弦定理得，所以，而，所以，在，中，同理可得，所以，，，所以，所以學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 學科網(wǎng)（北京）股份有限公司