重慶市楊家坪中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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高2026屆高一上期半期考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題，，則命題p的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題否定為全稱(chēng)命題即可求解.【詳解】命題，，則命題p的否定是，,故選：B2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)常見(jiàn)數(shù)集，整理集合表示，根據(jù)交集的運(yùn)算，可得答案.【詳解】由集合，則，.故選：A3.正確表示圖中陰影部分的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)圖及集合的關(guān)系和運(yùn)算判斷.【詳解】由圖及集合的關(guān)系和運(yùn)算，通過(guò)韋恩圖判斷，下面四個(gè)圖分別對(duì)應(yīng)選項(xiàng)ABCD,判斷C正確.故選：C.4.設(shè)，，則有（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用作差法可得出、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：B.5.下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素，逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)法則不一致，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，因?yàn)槎x域?yàn)?，而的定義域?yàn)镽，所以?xún)珊瘮?shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對(duì)于C，因?yàn)槎x域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以?xún)珊瘮?shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對(duì)于D，，的定義域均為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，值域也相同，故能表示同一函數(shù).故選：D. 6.已知，則的最小值是（）A.4B.8C.12D.16【答案】D【解析】【分析】由基本不等式可得答案.【詳解】已知，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“”成立，故所求最小值是16.故選：D．7.已知，則函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用換元法可得答案，解題過(guò)程一定要注意函數(shù)的定義域.【詳解】令，則，，因?yàn)?，所以，則.故選：C.8.已知是上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)以及基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可求解. 【詳解】是上的增函數(shù)，所以，故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.給出以下幾組集合，其中是相等集合的有（）A.，B.，C.，D.，【答案】CD【解析】【分析】利用集合相等的定義即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，是點(diǎn)集，是數(shù)集，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，故C正確；對(duì)于D，，，故D正確.故選：CD.10.若“”是“”充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A.5B.6C.7D.8【答案】BCD【解析】 【分析】根據(jù)分式不等式化簡(jiǎn)得，進(jìn)而根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化成子集關(guān)系，即可求解.【詳解】由得，故“”是“”充分不必要條件，所以，故，故選：BCD11.下列說(shuō)法正確的是（）A.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是B.若時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為C.若，，且，則的最小值為18D.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為或【答案】CD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)具體函數(shù)定義域結(jié)合已知得出在上恒成立，即可根據(jù)含參一元二次不等式恒成立的解法分類(lèi)討論，解出答案，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì)得出若時(shí)，，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)已知得出，即可根據(jù)基本不等式1的妙用得出，根據(jù)基本不等式得出答案，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)分段函數(shù)求函數(shù)值判斷a值為或是否滿(mǎn)足題意.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則，解得，故A錯(cuò)誤； 對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于實(shí)數(shù)C：，，且，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，滿(mǎn)足題意，若，則，滿(mǎn)足題意，故D正確；故選：CD.12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.D.設(shè)關(guān)于的方程的解為，則【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合題意可得和為方程的兩根，且，，根據(jù)韋達(dá)定理可得，，從而判斷AB選項(xiàng)；通過(guò)化簡(jiǎn)，進(jìn)而可判斷C選項(xiàng)；令 ，結(jié)合題意可得方程在上的兩個(gè)解為和，進(jìn)而得到，可得，利用作差法即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以和為方程的兩根，且，，所以，即，，又，所以，所以，，故AB正確；而，故C錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于的方程的解為，令，即，所以關(guān)于的方程在上有兩個(gè)解，結(jié)合題意，可得方程在上的兩個(gè)解為和，所以，所以， 又，且，所以，即，所以，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決一元二次不等式解集相關(guān)問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)一元二次方程的根的問(wèn)題，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求解.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是_________________．【答案】【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求得答案【詳解】解：因?yàn)椋?，因所以，所以的取值范圍是，故答案為?4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)________．【答案】【解析】【分析】抽象函數(shù)定義域問(wèn)題，同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則下，括號(hào)內(nèi)的式子取值范圍相同，從而得解.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以?duì)于，有，得，則函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為： 15.設(shè)全集，用U的子集可表示由0，1組成的6位字符串，如表示的是從左往右第1個(gè)字符為1，第3個(gè)字符為1，其余均為0的6位字符串101000，并規(guī)定空集表示的字符串為000000．（1）若，則表示的6位字符串為_(kāi)_____．（2）若，集合表示的字符串為011011，則滿(mǎn)足條件的集合A的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____個(gè)．【答案】①.100110②.4【解析】【分析】（1）先求出，然后根據(jù)字符串的定義求解即可，（2）由已知可求得，而，從而可求出集合A【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以表示?位字符串為100110.（2）因?yàn)榧媳硎镜淖址疄?11011，所以，又，所以集合A可能為，，，，即滿(mǎn)足條件的集合B的個(gè)數(shù)為4.故答案為：（1）100110，（2）416.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，若對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)都有，則不等式的解集為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意分析函數(shù)的奇偶性單調(diào)性求解即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù),則因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù),故為定義域是的偶函數(shù),又對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)都有,即 ,故在上為減函數(shù).又,故.綜上,為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.且.故即.根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造抽象函數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性與零點(diǎn)等求解不等式的問(wèn)題.屬于中檔題.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合中有三個(gè)元素：，，，集合中也有三個(gè)元素：0，1，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）的值為0或（2）的值為【解析】【分析】（1）若，則或，再結(jié)合集合中元素的互異性，能求出的值．（2）當(dāng)取0，1，時(shí)，都有，集合中的元素都有互異性，由此能求出實(shí)數(shù)的值．【小問(wèn)1詳解】集合中有三個(gè)元素：，，，，或，解得或，當(dāng)時(shí)，，，，成立；當(dāng)時(shí)，，，，成立．的值為0或．【小問(wèn)2詳解】 集合中也有三個(gè)元素：0，1，，，當(dāng)取0，1，時(shí)，都有，集合中的元素都有互異性，，，．實(shí)數(shù)的值為．18.已知集合，，．（1）求，．（2）若______，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．請(qǐng)從①，②，③這三個(gè)條件中選一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成（2）問(wèn)的解答．【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式的運(yùn)算得出集合，根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算得出答案；（2）根據(jù)各條件分析可得，即可根據(jù)集合間的包含關(guān)系得出答案.【小問(wèn)1詳解】，，，，或，【小問(wèn)2詳解】若選①：，則，若，則，解得，若，則，解得，綜上，則，若選②：， 若，則，解得，若，則，解得，綜上，則，若選③：，則，若，則，解得，若，則，解得，綜上，則，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為：.19.已知（1）求函數(shù)的值域；（2）用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù).【答案】19.．20.證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形后利用分式的性質(zhì)可求得答案，（2）任取，，且，然后作差變形，判斷符號(hào)，從而可證得結(jié)論，【小問(wèn)1詳解】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以的值域?yàn)椋拘?wèn)2詳解】任取，，且， 則，，，，，即，故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性可去掉符號(hào)，再考慮到定義域即可得解．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，則，由為奇函數(shù)，得，又滿(mǎn)足，所以【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，則由奇函數(shù)的性質(zhì)可知是定義在上的增函數(shù)， 又因?yàn)?，所以，故有，即，解得，所?21.2023年10月11日，連接貴陽(yáng)至廣州的貴廣高鐵正式提速，按最高時(shí)速300公里運(yùn)營(yíng)，并同步加密列車(chē)開(kāi)行頻次，我國(guó)西南地區(qū)至珠三角及粵港澳大灣區(qū)的高鐵運(yùn)行時(shí)間進(jìn)一步壓縮.目前，鐵路部門(mén)將在貴廣高鐵線路上開(kāi)行列車(chē)177列，根據(jù)客流變化在高峰時(shí)段增加高峰線12列；其中，貴陽(yáng)站至廣州南站130列.貴廣高鐵提速將有效提升高鐵運(yùn)輸能力和效率，對(duì)密切西南與華南地區(qū)往來(lái)交流、推動(dòng)成渝地區(qū)雙城經(jīng)濟(jì)圈和粵港澳大灣區(qū)高質(zhì)量發(fā)展具有重要意義.現(xiàn)在已知列車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿(mǎn)足．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車(chē)為滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為720人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客星為396人．記列車(chē)載客量為．（1）求的表達(dá)式；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值．【答案】（1）（2）發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為84元【解析】【分析】（1）由題設(shè)，結(jié)合求得的值，進(jìn)而求解；（2）由題意分和兩種情況求得解析式，進(jìn)而結(jié)合基本不等式及函數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)， 所以，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋援?dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，最大為84元．22.定義：若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使，則稱(chēng)是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；（2）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；（3）在（2）的條件下，若圖象上兩個(gè)點(diǎn)、的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且、的中點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求的最小值.【答案】（1）或（2）（3）【解析】分析】（1）根據(jù)題意解方程即可，（2）由題意可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，得，再由 可求得結(jié)果，（3）設(shè)，，，則，，再由題意可得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得，表示出結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】，由，解得或，所以所求的不動(dòng)點(diǎn)為或.【小問(wèn)2詳解】令，則①，由題意，方程①恒有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，即恒成立，則，故.【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，，又是的不動(dòng)點(diǎn)，∴，，∴、的中點(diǎn)為.又的中點(diǎn)在上∴，∴，而是方程的兩個(gè)根，∴即 ∴，∴當(dāng)，即時(shí)，.