四川省成都市成都外國語學校2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學 Word版含解析.docx

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成都外國語學校2023~2024學年度上期半期考試數(shù)學試題（時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.某學校高二年級選擇“史政地”，“史政生”和“史地生”組合的同學人數(shù)分別為210，90和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出12位同學進行項調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的同學人數(shù)為（）A.7B.6C.3D.2【答案】C【解析】【分析】利用抽樣比計算抽取人數(shù)．【詳解】由條件可知，選出“史政生”組合中選出的同學人數(shù)為人．故選：C.2.過點和點的直線傾斜角（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率公式求解斜率，即可根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】過點和點的直線的斜率又，所以.故選：B3.已知點P為橢圓C：上一點，且點和點分別為橢圓C的左、右焦點，若，則（）A.5B.6C.7D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，即可得到結(jié)果. 【詳解】因為橢圓C：，則，由題意定義可得，且，則.故選：B4.從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，下列選項中是互斥而不對立的兩個事件的是（）A.“至少有1件正品”與“都是次品”B.“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”C.“至少有1件次品”與“至少有1件正品”D.“都是正品”與“都是次品”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義進行判斷即可.【詳解】從裝有2件正品和2件次品的盒子內(nèi)任取2件產(chǎn)品，可能的結(jié)果為：1正1次?2正?2次，對于A：“至少有1件正品”與“都是次品”是對立事件，不符合；對于B：“恰好有1件正品”與“恰好有1件次品”是同一個事件，不符合題意；對于C：“至少有1件次品”包括1正1次?2次，“至少有1件正品”包括1次1正?2正，這兩個事件不是互斥事件，不符合題意；對于D：“都是正品”與“都是次品”是互斥事件而不是對立事件，符合題意；故選：D5.已知點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.或C.或D.【答案】C【解析】【分析】由點和圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】因為點在圓外，所以，解得：.，圓要表示圓，則即或， 所以或故選：C.6.平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．下面四幅頻率分布直方圖中，最能說明平均數(shù)大于中位數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】對于單峰頻率分布直方圖來說，如果直方圖的形狀是對稱的，那么平均數(shù)和中位數(shù)大體相等，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總在“長尾巴”那邊.【詳解】對于圖象對稱，平均數(shù)和中位數(shù)相等，中圖象尾巴向右拖，中圖象尾巴靠左拖，故正確.故選：.7.若點在圓的內(nèi)部，則直線與圓C的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由點到直線的距離公式即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】因為點在圓內(nèi)，則，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離.故選：C8.若點和點分別為橢圓的兩個焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最小值為（）A.4B.5C.6D.7 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，且，利用向量的坐標運算表示出，然后消去，進而可得最小值.【詳解】由已知得設(shè)，且，則，代入得，因為，所以，即的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下述關(guān)于頻率與概率的說法中，錯誤的是（）A.設(shè)有一大批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品B.做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是C.隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率D.利用隨機事件發(fā)生的頻率估計隨機事件的概率，即使隨機試驗的次數(shù)超過10000，所估計出的概率也不一定很準確．【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，結(jié)合各選項的描述判斷正誤.【詳解】對于A:從中任取100件，可能有10件，A錯誤；對于B:做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是，不是概率為，B錯誤；對于C:多次重復試驗中事件發(fā)生的頻率在某一常數(shù)附近，此常數(shù)為概率，與描述不符，C錯誤； 對于D:10000次的界定沒有科學依據(jù)，“不一定很準確"的表達正確，試驗次數(shù)越多，頻率越穩(wěn)定在概率值附近，但并非試驗次數(shù)越多，頻率就等于概率，D正確.故選:ABC.10.下列說法正確是（）A.若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的方差為1B.已知隨機事件A和B互斥，且，，則等于0.5．C.“”是直線與直線互相垂直的充要條件D.無論實數(shù)λ取何值，直線恒過定點【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)方差的性質(zhì)判斷；對于B：根據(jù)互斥事件的概率關(guān)系進行計算判斷；對于C：先根據(jù)直線垂直求出，再進行充分性和必要性的判斷；對于D：將直線變形為，然后列方程組，求解即可得定點.【詳解】對于A：若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的穩(wěn)定程度沒有發(fā)生改變，方差還是，A正確；對于B：隨機事件A和B互斥，且，，則，則，B正確；對于C：若直線與直線互相垂直，則，解得或，故“”是直線與直線互相垂直的充分不必要條件，C錯誤；對于D：直線即為，令，解得，即無論實數(shù)λ取何值，直線恒過定點，D正確.故選：ABD. 11.若圓：與圓：的交點為A，B，則（）A.線段AB中垂線方程為B.公共弦AB所在直線方程為C.若實數(shù)x，y滿足圓：，則的最大值為D.過點作圓：的切線方程為圓【答案】BD【解析】【分析】線段AB中垂線即為直線，直接求解可判斷A；圓和圓方程作差可判斷B；令，代入圓的方程，通過方程有解判斷C；通過點在圓上，直接寫出切線方程可判斷D.【詳解】圓：的圓心，圓：的圓心，對于A：線段AB中垂線即為直線，方程為，即，A錯誤；對于B：圓和圓方程作差得，整理得，B正確；對于C：令，則，代入得，整理得，方程有解，故，解得，則的最大值為，C錯誤；對于D：點在圓：上，故切線方程為，即，D正確.故選：BD.12.設(shè)，為橢圓C：的兩個焦點，P為C上一點且，I為的內(nèi)心，則下列正確的是（） A.內(nèi)切圓半徑為1B.C.若點，，則D.若直線l與橢圓C交于M，N兩點，則存在以為線段MN的中點，且直線l的方程為【答案】BC【解析】【分析】利用等面積法求出內(nèi)切圓半徑，可判斷選項A，利用圓的切線相關(guān)知識可判斷B，直接求出，值，得到兩者關(guān)系，可判斷C，利用點在橢圓外，所以不存在滿足條件的直線，可判斷D.【詳解】由橢圓C：，可知，，所以，，因為，所以，對于選項A，由余弦定理可得，即，因為，，，所以，所以，所以設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由，所以，又因為，所以，故選項A錯誤； 對于選項B，如圖：設(shè)內(nèi)切圓與三邊的切點為，，，則有，，，因為，，所以，所以，因為，，所以，在直角中，由，由選項A可知，，所以，即，故選項B正確；對于選項C，由選項A可知，，又因為，則，因為，所以，代入可得，因為，，當時，，，由選項B可知，， 所以，故，由，所以，故，當時，，，，，由，所以，故，綜上，故選項C正確；對于選項D，因為在橢圓外，所以不存在以為線段MN的中點的直線，故選項D不正確.故選：BC.三、填空題：本大題共4小題，每小題分，共20分．13.甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知甲、乙能破譯的概率分別為和，則甲與乙兩人同時破譯密碼的概率為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件概率的乘法公式，即可求解.【詳解】設(shè)甲獨立破解密碼為事件，乙獨立破解密碼為事件，則，兩人同時破譯密碼的概率為.故答案為：14.若橢圓C：的短軸長為2，則橢圓C的離心率為______．【答案】 【解析】【分析】根據(jù)題意，由橢圓性質(zhì)可得，從而可得，再由橢圓離心率公式即可得到結(jié)果.【詳解】因為橢圓，則，，且短軸長為2，則，所以，則，則橢圓C的離心率為.故答案：15.PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.如圖是根據(jù)某中學學生社團某日早6點至晚9點在某中學東、西兩個校區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測點統(tǒng)計的數(shù)據(jù)（單位:毫克/立方米）列出的莖葉圖，則東、西兩個校區(qū)濃度的方差較小的是____.【答案】東校區(qū)【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖，通過觀察數(shù)據(jù)的集中程度，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)莖葉圖可知，東校區(qū)數(shù)據(jù)集中在0.06和0.07之間，數(shù)據(jù)分布比較穩(wěn)定；而西校區(qū)則分布比較分散，不如東校區(qū)集中，所以東校區(qū)濃度的方差較小.故答案為：東校區(qū)16.已知平面內(nèi)兩個定點A，B及動點P，若（且），則點P的軌跡是圓．后世把這種圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，直線：，直線：，若P為，的交點，則的最小值為______．【答案】##【解析】 【分析】先通過直線和過的定點以及垂直關(guān)系求出點軌跡，然后根據(jù)阿波羅尼斯圓的特點找到使恒成立的點，最后根據(jù)兩點之間線段最短求最小值即可.【詳解】直線：即，過定點直線：即，過定點又，故，則點在以線段為直徑的圓上，即點的軌跡為，即，假設(shè)存在點，使恒成立，設(shè)則，整理得，與的軌跡對照得，解得，即存在點，使，即，所以，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知兩直線：和：的交點． （1）求經(jīng)過點和點的直線的一般式方程；（2）求經(jīng)過點且與垂直的直線的斜截式方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意聯(lián)立兩直線組成方程組求得點的坐標，利用兩點坐標求出斜率，由點斜式寫出直線方程，再化成一般式方程；（2）求出直線的斜率，由垂直條件求得所求直線的斜率，由點斜式寫出直線方程，再化成斜截式方程.【小問1詳解】聯(lián)立，解得，又，由斜率公式可得，所求直線的方程為，即.【小問2詳解】因為：，所以直線的斜率為，由垂直條件知所求直線的斜率，故所求直線的方程為，即直線方程：.18.已知圓.（1）若直線l經(jīng)過點，且與圓C相切，求直線l的方程；（2）若圓與圓C相切，求實數(shù)m的值.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）首先設(shè)出過定點直線，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線，不要忘記討論斜率不存在的情況； （2）分內(nèi)切和外切，結(jié)合公式，列式求值.【小問1詳解】若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，與圓C相切，符合題意.若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.【小問2詳解】圓的方程可化為.若圓與圓C外切，則，解得.若圓與圓C內(nèi)切，則，解得.綜上，或.19.某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組[45，55），第二組[55，65），第三組[65，75），第四組[75，85），第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a、b的值；（2）估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和第60百分位數(shù)（精確到0.1）；【答案】（1）（2）平均數(shù)為，第60百分位數(shù)【解析】【分析】（1）由三、四、五組的頻率之和為可求出值，再由所有頻率之和為求出值；（2）根據(jù)平均數(shù)等于每個小矩形面積乘上小矩形底邊中點的橫坐標之和求解，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求解第60百分位數(shù)即可. 【小問1詳解】∵第三、四、五組的頻率之和為0.7，∴，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；【小問2詳解】這100名候選者面試成績的平均數(shù)為，前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，故第60百分位數(shù)為.20.已知半徑為4的圓與直線相切，圓心在軸的負半軸上.（1）求圓的方程；（2）已知直線與圓相交于兩點，且的面積為8，求直線的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切,根據(jù)點到直線距離公式求出圓心,再應(yīng)用圓的標準方程即可;（2）根據(jù)幾何法求弦長,再結(jié)合面積公式計算即可.小問1詳解】由已知可設(shè)圓心，則，解得或（舍），所以圓的方程為.【小問2詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，解得，又，所以，解得， 所以直線的方程為或.21.袋中裝有大小完全相同的3個紅球，2個藍球，其中有2個紅球和1個藍球上面標記了數(shù)字1，其他球標記了數(shù)字2．（1）每次有放回地任取1個小球，連續(xù)取兩次，求取出的2個球恰有1個紅球且兩球的數(shù)字和為3的概率；（2）從袋中不放回地依次取2個小球，每次取1個，記事件{第一次取到的是紅球}，事件{第二次取到了標記數(shù)字1的球}，求，，并判斷事件A與事件B是否相互獨立．【答案】（1）（2），，事件A與事件B不相互獨立【解析】【分析】（1）先設(shè)事件，然后求出抽到紅1藍2或者紅2藍1的概率和抽到的是藍2紅1或者藍1紅2的概率，然后相加即可；（2）分別求出“第一次取到的是紅球”的概率和“第二次取到了標記數(shù)字1的球”的概率，然后通過判斷是否成立來判斷相互獨立性.【小問1詳解】記事件C“取出的2個球恰有1個紅球且兩球的數(shù)字和為3”事件D“第一次取到的是紅球，第二次取到的是藍球且兩球的數(shù)字和為3”，即抽到紅1藍2或者紅2藍1的概率：，事件E“第一次取到的是藍球，第二次取到的是紅球且兩球的數(shù)字和為3”即抽到的是藍2紅1或者藍1紅2的概率，則所求的概率為【小問2詳解】記3個紅球分別為，，其中，表示紅球標數(shù)字1，表示紅球標數(shù)字2，記2個藍球分別為，其中表示藍球標數(shù)字1，表示藍球標數(shù)字2則從袋中不放回地依次取2個小球，每次取1個共有20個結(jié)果的樣本空間 其中事件共12結(jié)果；其中事件共12個結(jié)果；其中事件共7個結(jié)果，“第一次取到的是紅球”的概率，“第二次取到了標記數(shù)字1球”即取到的是數(shù)字2，1或者1，1概率，“第一次取到紅球且第二次取到了標記數(shù)字1的球”即抽到的為紅1數(shù)字1或者紅2數(shù)字1，概率．因為成立，所以事件A與事件B不相互獨立22.已知，為橢圓C：的左、右頂點，且橢圓C過點．（1）求C的方程；（2）過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中點D在x軸上方），試求的取值范圍．（其中與分別表示和的面積）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先直接得到，再把帶入橢圓方程可得，則橢圓方程可求；（2）設(shè)l：，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及求出的范圍，然后帶入求解即可.【小問1詳解】 由題意得，把代入，解得，所以C的方程為；【小問2詳解】由（1）知：，，明顯直線l的斜率不為零，設(shè)l：，，，由，得，顯然，所以，，因為，，所以，因為，當時，，解得，此時，當時，，所以．又，設(shè)，則，，解得且， 所以，綜上所述可得的取值范圍為．