四川省德陽(yáng)市什邡市什邡中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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什邡中學(xué)高2022級(jí)平實(shí)部第三學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的虛部是，故選:C.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域得出集合，即可根據(jù)集合的交集運(yùn)算得出答案.【詳解】，則，解得，則，，，故選：B.3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式計(jì)算可得答案.【詳解】平均數(shù)為，方差為，故選：C.4.已知空間向量，，（其中x、），如果，則（）A.1B.2C.-2D.-1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量共線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂?，故選：B5.已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先通過(guò)三角函數(shù)的定義求出，代入求出，繼而求出的值.【詳解】角的終邊上一點(diǎn) ，解得..故選：B.6.正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1B.2C.4D.8【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)已知得，再利用基本不等式求解.【詳解】由已知得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：B7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.b＜a＜cD.b＜c＜a【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出，，進(jìn)而即可得到，，的大小關(guān)系．【詳解】由，且，即，又，所以c＜b＜a．故選：A． 8.已知三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，證明平面，再確定球心O的位置，求出球半徑作答.【詳解】在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點(diǎn)D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A二．多選題（共4小題，每小題5分，共20分）9.給定組數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.中位數(shù)為3B.方差為 C.眾數(shù)為2和3D.第85%分位數(shù)為4.5【答案】AC【解析】【分析】先將這組數(shù)從小到大排序，易判斷AC；先求平均數(shù)再求方差，從而判斷B；利用百分位數(shù)的求解即可判斷D.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，，，，，，，，，，故中位?shù)為，故A正確；平均數(shù)為，則方差為，故B錯(cuò)誤；眾數(shù)為和，故C正確；這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，不是整數(shù)，故取第9個(gè)數(shù)字，第9個(gè)數(shù)字為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于中心對(duì)稱C.在上單調(diào)遞減D.把的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象【答案】AD【解析】 【分析】由圖象可得函數(shù)周期，可得，由在處取最大值，可確定.A選項(xiàng)，由圖象可得函數(shù)周期；BC選項(xiàng)，由A分析，可得.由在處取最大值，可確定，后由正弦函數(shù)對(duì)稱性，單調(diào)性可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，判斷平移后所得函數(shù)的奇偶性即可判斷選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，由圖可得，的半個(gè)最小正周期為，則的最小正周期為，故A正確；BC選項(xiàng)，，由在處取最大值，則，.則，取，則.即.將代入，得，則不是對(duì)稱中心；，，因在上遞減，在上遞增，則不是的單調(diào)遞減區(qū)間，故BC錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由BC選項(xiàng)分析可知，，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得，為奇函數(shù)，故D正確.故選：AD11.如圖，為正方體，下面結(jié)論正確的是（）A.平面B.與平面所成的角的正弦值為C.平面 D.異面直線與所成角為【答案】ACD【解析】【分析】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可逐個(gè)證明.【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，為正方體，設(shè)邊長(zhǎng)為1，則，，，，，，，，對(duì)A，，，又∵平面，∵平面，∴平面，A對(duì)；對(duì)B，，，，由得為平面的法向量，，故與平面所成的角的正弦值為，B錯(cuò)；對(duì)C，由B得，同理可證為平面的法向量，故平面，C對(duì)；對(duì)D，，，∴異面直線與所成的角的余弦值為，故所成角為，D對(duì).故選：ACD12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說(shuō)法正確的有（）A.的一個(gè)周期為4B.是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C.時(shí)，D. 【答案】ABD【解析】【分析】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可求得的周期為4，即可判斷函數(shù)的對(duì)稱性，由為奇函數(shù)，可得，結(jié)合，可求得，的值，從而得到時(shí)，的解析式，再利用周期性從而求出的值．【詳解】對(duì)于A，為奇函數(shù)，，且，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，，即，，令，則，，，故的一個(gè)周期為4，故A正確；對(duì)于B，則直線是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸，故B正確；對(duì)于C、D，∵當(dāng)時(shí)，，，，又，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；，故D正確.故選：ABD三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.若函數(shù)，且的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】 【分析】因?qū)?shù)函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)，令，求出，再將所求值代入表達(dá)式求，即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】令，得.又，所以的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故答案為：14.如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知，利用正弦定理以及直角三角形的性質(zhì)計(jì)算求解.【詳解】如圖，在中，，，所以，又，由正弦定理有：，即，解得，又是直角三角形，且，所以， 所以此山的高度m.故答案為：.15.下圖，M是三棱錐的底面的重心．若，則______．【答案】1【解析】【分析】方法一：根據(jù)三角形重心的性質(zhì)結(jié)合空間向量基本定理求解即可，方法二：利用空間向量共面定理的推論求解.【詳解】方法一：由于M是三棱錐的底面的重心，連接AM，所以，則，所以．方法二：因?yàn)镸與A，B，C四點(diǎn)共面，所以．故答案為：116.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，關(guān)于直線軸對(duì)稱，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則______. 【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性和圖像的對(duì)稱性，求函數(shù)解析式，再求.【詳解】函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于直線軸對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故，其中，而在上單調(diào)遞減，故，故，故，故，所以，故，故，而，結(jié)合可得，故，則有.故答案為：四．解答題（共6小題，共60分，）17.某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)并分成五組：第一組[45，55），第二組[55，65），第三組[65，75），第四組[75，85），第五組[85，95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a、b的值； （2）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第60百分位數(shù)（精確到0.1）；【答案】（1）（2）平均數(shù)為，第60百分位數(shù)【解析】【分析】（1）由三、四、五組的頻率之和為可求出值，再由所有頻率之和為求出值；（2）根據(jù)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形面積乘上小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和求解，再根據(jù)百分位數(shù)的定義求解第60百分位數(shù)即可.【小問(wèn)1詳解】∵第三、四、五組的頻率之和為0.7，∴，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以；【小問(wèn)2詳解】這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為，前兩個(gè)分組頻率之和為0.3，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，設(shè)第60百分位數(shù)為，則，解得，故第60百分位數(shù)為.18.如圖,在三棱錐中,,D,E分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面;（2）求證：平面．【答案】（1）見(jiàn)解析,（2）見(jiàn)解析.【解析】 【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行;(2)根據(jù)線面垂直的判定定理證明線面垂直.【小問(wèn)1詳解】證明：由題知D,E分別是的中點(diǎn),,平面平面平面,得證;【小問(wèn)2詳解】證明：由題知,D是的中點(diǎn),,平面,平面且,故平面得證.19.如圖，在平面四邊形中，.（1）若，求的面積；（2）若，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，先利用余弦定理求得，再利用三角形面積公式求解即可；（2）先在在中利用正弦定理求得，再在中利用余弦定理即可得解.【小問(wèn)1詳解】在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去）， 所以的面積.【小問(wèn)2詳解】在中，，由正弦定理得，，又，所以，，在中，，由余弦定理得，所以的長(zhǎng)為.20.已知函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是2.（1）求的值；（2）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求不等式中的取值范?【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分和兩種情況利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性列方程可求出的值；（2）由函數(shù)的定義域?yàn)?，可得，再結(jié)合（1）可求出，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，即，因此.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，即，因此.故或.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，則，即，代入不等式，得，則，解得，因此的取值范圍是.21.在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的射影為棱的中點(diǎn)，且與底面所成角為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，且點(diǎn)為的中點(diǎn)【解析】 【分析】（1）證明出，，利用線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）分析可知，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明：連接，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，則平面，平面，，，、平面，平面，平面，.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫妫?，與底面所成的角為，則、、，設(shè)點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則， ，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由已知可得，可得，，解得，即點(diǎn).因此，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為．22.已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位得的圖象.（1）求的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）或.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)的解析式，然后根據(jù)圖象的平移變換得到的解析式，最后求最小正周期和單調(diào)區(qū)間即可；（2）利用換元思想令，將方程在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，然后分和兩種情況討論即可.【小問(wèn)1詳解】， 所以，所以的最小正周期，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】因得，所以且單調(diào)遞增，設(shè)，所以，所以原方程等價(jià)于在有且僅有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，，合題意，②當(dāng)時(shí)，（i）若，得，由方程解得，合題意，（ii）若，得，由方程解得，合題意，（iii）若，則或，解得或或，綜上所述：或.