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《浙江省寧波市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
2023學(xué)年高二年級第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，，且，則向量與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.2.雙曲線的漸近線方程是（）A.B.C.D.
【答案】B【解析】【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可直接求得雙曲線的漸近線的方程.【詳解】在雙曲線中，，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.3.在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)距離為3，且與點(diǎn)距離為1的直線共有（）A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意將所求直線轉(zhuǎn)化為為兩圓的公切線，結(jié)合兩圓位置關(guān)系分析求解.【詳解】到點(diǎn)距離為3的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為3的圓，到點(diǎn)距離為1的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為1的圓，則所求直線即為兩圓的公切線，因?yàn)?，且，可知兩圓相離，有4條公切線，所以符合題意的直線有4條.故選：D4.圓和的位置關(guān)系是（）A.外離B.相交C.內(nèi)切D.外切【答案】D【解析】【分析】由圓與圓的位置關(guān)系判斷，【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓可化為，圓心為，半徑為4，而兩圓心的距離為，故兩圓外切，故選：D5.若，求的面積為（）
A.28B.14C.56D.20【答案】A【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)求解出三角形邊長和高，然后根據(jù)面積公式求解即可；【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離解得：AB所在直線方程為：則所以故選：A6.直線的方向向量為，且過點(diǎn)，則點(diǎn)到l的距離為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量為，取直線的一個(gè)單位方向向量為，計(jì)算代入空間中點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)橹本€的方向向量為，所以取直線的一個(gè)單位方向向量為，由，可得，所以，，所以.故選：B.
7.已知點(diǎn)P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】易知圓的圓心是為橢圓的左焦點(diǎn)，利用橢圓的定義得到，然后由求解.【詳解】如圖所示：由，得，則，則圓的圓心是為橢圓的左焦點(diǎn)，則右焦點(diǎn)為，由橢圓的定義得，所以，又，所以，，故選：C8.如圖，矩形ABCD中，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成.在翻折過程中，直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為（）
A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分別取DE，DC的中點(diǎn)O，F(xiàn)，點(diǎn)A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過與平面垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系，利用向量法求出正弦值為，換元后利用基本不等式可得答案.【詳解】分別取DE，DC的中點(diǎn)O，F(xiàn)，則點(diǎn)A的軌跡是以AF為直徑的圓，以為軸，過與平面垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系，則，平面ABCD的其中一個(gè)法向量為=(0,0.1)，由，設(shè)，則，記直線與平面ABCD所成角為，則設(shè)，所以直線與平面ABCD所成角的正弦值最大為，故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量法求線面角，考查了三角函數(shù)的恒的變換以及基本不等式的應(yīng)用，考查了空間想象能力與計(jì)算能力，屬于綜合題.二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.圓，圓，則下列直線中為兩圓公切線的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用圓心到直線距離求圓的公切線，然后逐一判斷即可.【詳解】由題知圓，圓心為，半徑為，圓，圓心為，半徑為，由兩圓圓心和半徑大小知，兩圓公切線的斜率存在，設(shè)公切線方程為l：，則到l的距離到l的距離得，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，，
解得或，即或，故選：BCD10.若方程所表示的曲線為C，則下面四個(gè)命題中正確的是（）A.若C為橢圓，則，且B.若C為雙曲線，則或C.若，則曲線C表示圓D.若C為雙曲線，則焦距為定值【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)各項(xiàng)描述列不等式組求參數(shù)范圍、由參數(shù)值判斷曲線形狀，即可得答案.【詳解】A：C為橢圓，則，可得，且，正確；B：C為雙曲線，則，可得或，正確；C：時(shí)，方程為，即曲線C表示圓，正確；D：若C為雙曲線，則，顯然焦距不為定值，錯(cuò)誤.故選：ABC11.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點(diǎn)，則（）A.B.異面直線與所成角的余弦值為
C.直線與平面所成角的正弦值為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量的方法逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】過作，垂足為，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．則，，，，．因?yàn)?，故選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以直線與所成角的余弦值為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為，則，令，得．設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為，故選項(xiàng)正確；
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)正確，故選：.12.曲率半徑是用來描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度的量，已知對于曲線（）上點(diǎn)處的曲率半徑公式為，則下列說法正確的是（）A.若曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑起大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小B.若某焦點(diǎn)在軸上的橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為（半焦距）則該橢圓離心率為C.橢圓（）上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為D.若橢圓（）上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑最大值為8，最小值為1，則橢圓方程為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)曲率半徑可判斷A；把代入，根據(jù)的范圍可得的最小值，令其等于化簡求出可判斷B；由選項(xiàng)B可知可判斷C；根據(jù)，得出求出可判斷D.【詳解】對于A，曲線上某點(diǎn)處的曲率半徑變大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，所?，因?yàn)?，所以，，若某焦點(diǎn)在軸上的橢圓上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為，可得，解得，故B正確；對于C，由選項(xiàng)B可知，，所以，所以橢圓（）上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為，故C錯(cuò)誤；對于D，若橢圓（）上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑最大值為8，最小值為1，由選項(xiàng)B可得，所以，解得，則橢圓方程為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知空間向量和，則在上的投影向量為________(用坐標(biāo)表示).【答案】【解析】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得在上的投影向量的坐標(biāo).詳解】已知空間向量和，
則在上的投影向量為.故答案為：.14.已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的兩倍，則直線的方程為_________．【答案】或【解析】【分析】當(dāng)縱截距為時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)求得的值，當(dāng)縱截距不為時(shí)，設(shè)直線的截距式方程，代入點(diǎn)求解.【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，設(shè)直線在軸上截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故答案為：或．15.如圖，在三棱錐中，，、分別是的中點(diǎn)、則_____．
【答案】【解析】【分析】連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則由可知異面直線，所成角就是，利用余弦定理解三角形求得，設(shè)與的夾角為，由圖可知與互補(bǔ)，從而得出，最后利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可求出的結(jié)果．【詳解】解：連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，是異面直線，所成的角，，，，，同理得：，又，，，設(shè)與的夾角為，由圖可知與互補(bǔ)，則，.故答案為：.
16.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過作圓的切線分別交雙曲線的左右兩支于點(diǎn)B、C，若，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【詳解】根據(jù)題意，記，則，其中為雙曲線的半焦距，進(jìn)而由雙曲線的焦半徑公式和雙曲線的定義，可得，即，也即，解得，因此雙曲線的離心率．故答案為：.非選擇題部分四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)常數(shù)，已知直線：，：．（1）若，求的值；（2）若，求與之間的距離．
【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由一般式下兩直線垂直的充要條件可得，即可求解；（2）根據(jù)題意，由一般式下兩直線平行的必要條件可求得的值，進(jìn)而由平行線間的距離公式計(jì)算可得答案．【小問1詳解】根據(jù)題意，直線：，：，若，則，解可得a【小問2詳解】根據(jù)題意，若，則有，解可得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，兩直線重合，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線：，：，即，兩直線平行，此時(shí)與之間的距離18.在三棱錐體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè).（1）記，試用向量表示向量；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.
【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算的幾何表示結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律即得.【小問1詳解】由題可知，，所以，即，又，所以，所以，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，所以；【小問2詳解】因?yàn)椋?，所?19.已知圓C：，直線l：.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=時(shí)，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】
【分析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知：圓心到直線的距離，因?yàn)?，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.20.若雙曲線E：的離心率等于，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)．(1)求k的取值范圍；(2)若，點(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn)，且，求k，m的值．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】(1)聯(lián)立直線與雙曲線方程,根據(jù)直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點(diǎn)可求得韋達(dá)定理以及判別式滿足的關(guān)系式即可.(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程,根據(jù)弦長公式求解可得或.再根據(jù)可求得的坐標(biāo)表達(dá)式,再代入雙曲線方程進(jìn)行求解即可.
【詳解】(1)由得故雙曲線E的方程為x2－y2＝1.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.①因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于A,B兩點(diǎn),所以.即,即,即k的取值范圍是．(2)由①得,所以.整理得,所以或,又,所以,所以x1＋x2＝,y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝8.設(shè)C(x3,y3),由得(x3,y3)＝m(x1＋x2,y1＋y2)＝,因?yàn)辄c(diǎn)C是雙曲線上一點(diǎn),所以80m2－64m2＝1,得,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系,重點(diǎn)是聯(lián)立方程求解,根據(jù)條件得出二次方程韋達(dá)定理滿足的關(guān)系式,同時(shí)需要掌握弦長等公式方法等.屬于難題.21.如圖，在直三棱柱中，，，三棱柱的側(cè)面積為.（1）求證：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明詳見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得平面平面；（2）利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】依題意，，所以，所以，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知平面，而平面，所以，由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，故可得.平面的一個(gè)法向量是，由于，所以，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）得平面的法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則.
22.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且焦距為2，動(dòng)弦MN平行于x軸，且．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)A，B為橢圓E的左右頂點(diǎn)，P為直線上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不在x軸上），連AP交橢圓于C點(diǎn)，連PB并延長交橢圓于D點(diǎn)，試問是否存在，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，3【解析】【分析】（1）由橢圓的對稱性得，結(jié)合橢圓的定義可求出，即可求出答案；（2）設(shè)，設(shè)直線AP的方程為：，與橢圓的方程聯(lián)立，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出存在，使得成立.【小問1詳解】因?yàn)榻咕酁?，所以，由橢圓的對稱性得．又因?yàn)?，所以．則，．所以橢圓E的方程為.
【小問2詳解】設(shè)，又，則，故直線AP的方程為：，代入方程并整理得：．由韋達(dá)定理：即，∴同理可解得：，，∴故直線CD的方程為，即，化簡可得：，直線CD恒過定點(diǎn)．∴，因?yàn)?，，所?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量之間的關(guān)系，同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知等量關(guān)系，化簡整理得到所求定點(diǎn).
