湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)(解析版).docx

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雅禮教育集團(tuán)2023年高一下學(xué)期期中考試試卷數(shù)學(xué)試題一、單選題(本大題共8小題,共40分)1.設(shè),,則()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式可得集合,再根據(jù)集合間的運(yùn)算可得解.【詳解】由,又,所以,所以,故選:A.2.下列函數(shù)中在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A.y=x+1B.y=-x2C.y=x3D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)奇偶性和單調(diào)性依次判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】y=x+1是非奇非偶函數(shù),y=-x2是偶函數(shù),y=x3由冪函數(shù)的性質(zhì),是定義在R上的奇函數(shù),且為單調(diào)遞增,在定義域?yàn)?,不是定義域上的單調(diào)增函數(shù),故選:C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性的判斷,要求對(duì)奇偶性和單調(diào)性的判斷方式熟練掌握,是簡單題目.3.設(shè),則下列命題正確的是()A.若,,則B.若,則C.若,則D.若,則 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除判斷ABC,由不等式的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】當(dāng)時(shí),不成立,故A錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),不成立,故B錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),不成立,故C錯(cuò)誤;,由不等式性質(zhì)知,故D正確.故選:D4.對(duì)于函數(shù),“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“=是奇函數(shù)”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【詳解】由奇函數(shù),偶函數(shù)的定義,容易得選項(xiàng)B正確.5.若,,,則()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,且,所以,所以,故選:C.6.函數(shù)在的最小值是() A.1B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】設(shè),得到,進(jìn)而得到,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),設(shè),因?yàn)?,則,則函數(shù),當(dāng)時(shí),取得最小值.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì),以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),以及結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查運(yùn)算與求解能力.7.已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先可求出,再由得,由得,將其轉(zhuǎn)化為、與的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解:由得,,由得,由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象,由圖象知,,.故選:B 【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)方程思想,對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用,屬于中檔題.8.已知是定義在R上的奇函數(shù),若對(duì)任意,均有.且,則不等式的解集為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性綜合解抽象函數(shù)不等式.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,設(shè)函數(shù),則函數(shù)在單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于,即,即,解得,又因?yàn)槭嵌x在R上奇函數(shù),所以,所以當(dāng)時(shí),不等式無解,因?yàn)槭嵌x在R上奇函數(shù),所以為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),不等式等價(jià)于,即,即,解得,綜上不等式的解集為,故選:D. 二、多選題(本大題共4小題,每小題全對(duì)5分,選對(duì)不全對(duì)得2分,共20分)9.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】把函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】如圖,作出函數(shù)和的圖象,觀察交點(diǎn)可得交點(diǎn)在和區(qū)間上,故選:BC.10.下列說法正確的是()A.若函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)锽.若函數(shù)過定點(diǎn),則函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)C.冪函數(shù)?在是減函數(shù)D.圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域判斷A;根據(jù)函數(shù)圖像平移判斷BD;根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】解:對(duì)于A,若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?,故錯(cuò)誤; 對(duì)于B,函數(shù)向右平移1個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)圖像,由于過定點(diǎn),故函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn),正確;對(duì)于C,冪函數(shù)在是減函數(shù),由于,定義域?yàn)?,,為偶函?shù),故冪函數(shù)在是增函數(shù),故錯(cuò)誤;對(duì)于D,,其圖像由向左平移2個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位得到,且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,正確.故選:BD11.符號(hào)表示不超過的最大整數(shù),如,,定義函數(shù):,則下列命題正確的是()A.B.當(dāng)時(shí),C.函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)镈.函數(shù)是增函數(shù)?奇函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】將代入解析式,即可判斷A項(xiàng);當(dāng)時(shí),,得出,從而判斷B項(xiàng);由表示不超過的最大整數(shù),得出,從而判斷C項(xiàng);取特殊值,判斷D項(xiàng).詳解】對(duì)于A項(xiàng),,則A正確;對(duì)于B項(xiàng),當(dāng)時(shí),,得出,則B正確;對(duì)于C項(xiàng),函數(shù)的定義域?yàn)?,因?yàn)楸硎静怀^的最大整數(shù),所以,則C正確;對(duì)于D項(xiàng),,,函數(shù)既不增函數(shù)也不是奇函數(shù),則D錯(cuò)誤; 故選:ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查了求函數(shù)值,解析式,定義域,值域,判斷函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性,屬于中檔題.12.函數(shù)的定義域?yàn)?,若存在區(qū)間使在區(qū)間上的值域也是,則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是()A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意,可知若在區(qū)間上的值域也是,則存在“和諧區(qū)間”,且,則或,再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算求解,即可判斷該函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間”.【詳解】解:由題得,若在區(qū)間上的值域也是,則存在“和諧區(qū)間”,可知,,則或,A:,若,解得:,所以存在“和諧區(qū)間”;B:,若存在和諧區(qū)間,則,故在為增函數(shù),故,解得:,所以存在“和諧區(qū)間”;C:,若存在和諧區(qū)間,則,若,則,故在上為增函數(shù), 故,得,故無解;若,則,故在上為增函數(shù),同上,無解.所以不存在“和諧區(qū)間”;D:,函數(shù)在單調(diào)遞減,則,不妨令,所以存在“和諧區(qū)間”;綜上得:存在“和諧區(qū)間”的是ABD.故選:ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題以函數(shù)的新定義為載體,考查函數(shù)的定義域、值域以及零點(diǎn)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解“和諧區(qū)間”的定義,考查運(yùn)算能力以及函數(shù)與方程的思想.三、填空題(本大題共4小題,共20分)13.函數(shù)的定義域?yàn)開_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0、分母不為0可得答案.【詳解】要使函數(shù)有意義,只需,解得且,所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為:.14.設(shè),,若,則實(shí)數(shù)組成的集合_____. 【答案】【解析】【分析】先求出A的元素,再由B?A,分和B≠φ求出a值即可.【詳解】∵A={x|x2﹣8x+15=0},∴A={3,5}又∵B={x|ax﹣1=0},∴①時(shí),a=0,顯然B?A②時(shí),B={},由于B?A∴∴故答案為{}【點(diǎn)睛】本題主要考查由集合間基本關(guān)系求參數(shù)值或范圍的問題,屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=log2x,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)的表達(dá)式為_________________.【答案】f(x)=-log2(-x)【解析】【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的表達(dá)式即可.【詳解】設(shè),則,結(jié)合奇函數(shù)的定義可知:.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式的方法,屬于基礎(chǔ)題.16.古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底曾研究過如下圖的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,.若以斜邊為直徑的半圓面積為,則以,為直徑的兩個(gè)半圓的弧長之和的最大值為______.【答案】【解析】 【分析】設(shè),,所以,由以斜邊為直徑的半圓面積為可求得,再由基本不等式即可求得的最大值,即可求得弧長之和的最大值.【詳解】設(shè),,所以,即,因?yàn)橐孕边厼橹睆降陌雸A面積為,所以,所以,因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以以,為直徑的兩個(gè)半圓的弧長之和為,即以,為直徑的兩個(gè)半圓的弧長之和的最大值為.故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分,其中第17題10分,其它每題12分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計(jì)算下列各式:(1);(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,由指數(shù)冪的運(yùn)算,即可得到結(jié)果;(2)根據(jù)題意,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算,即可得到結(jié)果.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.求下列式子的最值. (1)已知,求的最小值;(2)已知,,且,求的最小值.【答案】(1)(2)9【解析】【分析】(1)利用基本不等式求解;(2)利用基本不等式“1”妙用求解.【小問1詳解】因?yàn)?,所以,,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),所以函數(shù)的最小值為.【小問2詳解】,當(dāng)且僅當(dāng),即,即時(shí)取得等號(hào),所以的最小值為9.19.已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)增區(qū)間為,減區(qū)間為【解析】【分析】(1)當(dāng)時(shí),可得出,求出 的取值范圍,再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)的值域;(2)當(dāng)時(shí),求出函數(shù)的定義域,再利用復(fù)合函數(shù)法可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【小問1詳解】解:當(dāng)時(shí),,則,所以,,即函數(shù)的值域?yàn)?【小問2詳解】解:當(dāng)時(shí),,由可得或,所以,函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)閮?nèi)層函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),在上為增函數(shù),外層函數(shù)在上為增函數(shù),所以,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為.20.已知且滿足不等式.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,并解不等式.(2)若函數(shù)在區(qū)間有最小值為,求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1),解集為.(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式求得,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式;(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求參數(shù)的值.【小問1詳解】由且滿足不等式可得,,解得,由可得, ,解得,所以原不等式的解集為.【小問2詳解】因?yàn)?所以函數(shù)在定義域單調(diào)遞減,所以函數(shù)在區(qū)間有最小值為,解得.21.已知為偶函數(shù),為奇函數(shù),且滿足.(1)求,;(2)若,且方程有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1),(2)或【解析】【分析】(1)結(jié)合函數(shù)奇偶性將代入條件中可得答案;(2)轉(zhuǎn)化為、共有三個(gè)解求的取值范圍,結(jié)合圖象可得答案.【小問1詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),為奇函數(shù),所以,,由①,得即②,①②可得,①②可得;【小問2詳解】 由(1),方程,可得或,即或,當(dāng)時(shí),由下圖可得與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),所以要使方程有三個(gè)解,只需有一解即可,即與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)即可,由圖象可得或,解得或.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第二問的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為,有三個(gè)解求的取值范圍,結(jié)合圖象求答案. 22.為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè),有效遏制涉校案件的發(fā)生,保障師生安全,某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體,建造一間墻高為3米,底面為24平方米,且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室.由子此警務(wù)室的后背靠墻,無需建造費(fèi)用,甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為:屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元,左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米300元,屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)14400元,設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米.(1)當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時(shí),甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低?并求出最低報(bào)價(jià).(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo),其給出的整體報(bào)價(jià)為元,苦無論左右兩面墻的長度為多少米,乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功,試求的取值范圍.【答案】(1)當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時(shí),甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為28800元;(2).【解析】【分析】(1)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為元,求出,再利用基本不等式求解;(2)由題意可得對(duì)任意的恒成立,化簡得恒成立,利用基本不等式求函數(shù)的最小值得解.【詳解】(1)甲工程隊(duì)的總造價(jià)為元,則,.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時(shí),甲工程隊(duì)的報(bào)價(jià)最低為28800元.(2)由題意可得,對(duì)任意的恒成立.即,從而恒成立, 令,,故.所以.

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