重慶市西南大學附屬中學2023-2024學年高三上學期期中數(shù)學 Word版含解析.docx

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西南大學附中2023—2024學年度高三上期期中考試數(shù)學試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效；保持答卷清潔、完整，3、考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學生留存，以備評講）.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶次根號下大于等于零求解集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求解集合B，再利用并集運算求解即可.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以.故選：C.2.已知扇形的圓心角是，半徑為，則扇形的面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積. 【詳解】因為扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為.故選：D.3.如圖，正三棱柱中，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取中點，連接，，易證，所以（或其補角）即為與所成角，在中即可求解.【詳解】取中點，連接，，在正三棱柱中，四邊形為平行四邊形，因為，分別是，的中點，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以（或其補角）即為與所成角，設(shè)，則， 在正三棱柱中，因為是的中點，所以，，，所以，故，在中，，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B4.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】利用充分條件和必要條件定義判斷.【詳解】解：若，則，故不充分；當時，無意義，故不必要，故選：D5.若，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項，利用基本不等式可判斷B選項，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷CD選項.【詳解】因為，，，對于A選項，，則，A錯；對于B選項，， 當且僅當時，即當時，等號成立，故，B對；對于C選項，，當且僅當時，等號成立，C錯；對于D選項，，當且僅當時，等號成立，D錯.故選：B.6.正四棱錐的高為3，體積為32，則其外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正四棱錐和球的幾何性質(zhì)可以判斷出球心在正四棱錐的高線上（或延長線上），最后根據(jù)勾股定理解出球的半徑，最后利用球的表面積公式進行求解即可.【詳解】令正四棱錐的底面棱長為，根據(jù)題意可得，解得.設(shè)是正四棱錐的高，是正四棱錐的外接球的球心，則在上（或的延長線上），則有，設(shè)球的半徑為，因此，顯然（或者），在正方形中，，由勾股定理可知：，因此該四棱錐的外接球的表面積為.故選：C 7.一個蛋糕店制作一個大型蛋糕，蛋糕是由多個高度均為0.1米的圓柱形蛋糕重疊而成，上層蛋糕會覆蓋相鄰下層蛋糕的上底面一半的面積，最底層蛋糕的半徑為1米.若該蛋糕的體積至少為0.6立方米，則蛋糕至少需要做的層數(shù)為（）（其中）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)蛋糕需要做層，則每層圓柱形蛋糕的底面半徑組成首項為1，公比為的等比數(shù)列，求出層蛋糕的體積，由求出的范圍即可．【詳解】設(shè)蛋糕需要做層，則每層圓柱形蛋糕的底面半徑組成首項為1，公比為的等比數(shù)列，每層圓柱形蛋糕的高都是0.1米，各層的體積也構(gòu)成等比數(shù)列，所以這層蛋糕的體積為，因為該蛋糕的體積至少為0.6立方米，所以，所以，由于單調(diào)遞增，且，而，解得，，所以蛋糕至少需要做的層數(shù)為5層．故選：C．8.設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若存在實數(shù)a使得恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得，令，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直線下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，即可得出答案．【詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，所以，令，由題意知，函數(shù)和函數(shù)的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價于一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，由，得，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以，沒有最小值，由，得，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有最大值，無最小值，不合題意，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以， 所以即，所以，即m的取值范圍為．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.復數(shù)，其共軛復數(shù)為，則下列敘述正確的是（）A.對應(yīng)的點在復平面的第四象限B.是一個純虛數(shù)C.D.【答案】BCD【解析】【分析】先由復數(shù)的運算求出，共軛復數(shù)的概念求出，即可判斷各選項的正誤．【詳解】由題意得：，對于A項：，對應(yīng)的點在復平面的第一象限，故A項錯誤；對于B項：為純虛數(shù)，故B項正確；對于C項：，故C項正確；對于D項：，故D項正確；故選：BCD.10.下列說法正確的是（）A.等比數(shù)列的公比為，則其前項和為B.已知等差數(shù)列，若（其中），則C.若數(shù)列的通項公式為，則其前項和D.若數(shù)列的首項為1，其前項和為，且，則【答案】BC 【解析】【分析】由等比數(shù)列前項和公式可得當時，才成立，即A錯誤；利用等差數(shù)列性質(zhì)可知B正確，將數(shù)列通過放縮裂項求和即可求得，即C正確；根據(jù)和的關(guān)系式可求得其通項公式，可得D錯誤.【詳解】對于A，當公比時，公式不成立，只有當時，該式才成立，所以A錯誤；對于B，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，則可得，，當時，可得，所以B正確；對于C，易知，當時，，所以可得，即可得C正確；對于D，由可得；兩式相減可得，即，可得，所以，即D錯誤.故選：BC11.下列說法中錯誤的有（）A.已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B.已知向量，，則不能作為平面的一個基底 C.若，，則D.是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【解析】【分析】由向量夾角為銳角，根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求得A選項，由平面向量基本定理以及向量數(shù)量積的運算法則即可判斷BC選項，由已知條件可以判斷出點在角平分線上，故可以判斷出結(jié)論.【詳解】對A選項，，，且與的夾角為銳角，且與不共線，，則且，解得且.故A選項錯誤；對B選項，，則不能作為平面的一個基底，故B選項正確；對C選項，因為向量，所以不一定滿足，故C選項錯誤.對D選項，因為，由可知，垂直與角的外角平分線，所以點在角的平分線上，同理點在角的平分線上，點在角的平分線上，所以是的內(nèi)心.故D選項正確.故選：AC12.如圖，已知矩形中，，.點為線段上一動點（不與點重合），將沿向上翻折到，連接，.設(shè)，二面角的大小為，則下列說法正確的有（） A.若，，則B.若，則存在，使得平面C.若，則直線與平面所成角的正切值的最大值為D.點到平面的距離的最大值為，當且僅當且時取得該最大值【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)翻折前后的幾何關(guān)系，利用面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合余弦定理求解選項A；利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理判斷選項B；利用翻折前后的幾何關(guān)系，結(jié)合線面角的定義求解選項C；利用幾何關(guān)系，以及線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理求解選項D.【詳解】對A，取中點，連接，，,則有,且，所以， 又平面平面，平面平面，平面,所以平面，平面，故，，在直角三角形中，，所以，在中，由余弦定理得：，A正確；對B，同選項A，知，若平面，且平面,則，且平面，所以平面，平面，所以，顯然矛盾，B錯誤；對C，連接交于點,因為幾何關(guān)系可知，,所以,又因為,所以所以,即，則，，平面,所以平面，平面， 所以平面平面，故所求線面角為.又點在以為圓心，為半徑的圓上，從而當直線與圓相切時，最大，故，從而，C錯誤；對D,點到平面的距離，等號成立當且僅當平面，因為平面，所以,從而，且矩形中，平面,所以平面，過作于點.連接，在直角三角形中，由等面積法可得，,所以,所以，因為以平面，平面，,平面，所以平面，由翻折知，故，解得，即. 又由二面角的面積射影知：,D正確；故選:AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于利用翻折前后的幾何關(guān)系，結(jié)合直線與平面、平面與平面的判定定理、性質(zhì)定理證明相應(yīng)的結(jié)論.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.等比數(shù)列中，，，則______________.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列定義即可求得，代入計算可得.【詳解】根據(jù)題意可得設(shè)等比數(shù)列的公比為，則易知，可得，即；而.故答案為：14.已知，，且，，則_____________.【答案】【解析】【分析】先通過角所在象限求出，再利用展開計算即可.【詳解】,,，，又 當時，，，當時，，，，.故答案為：.15.已知向量，，，，與的夾角為，則的值最小時，實數(shù)的值為____________.【答案】##0.2【解析】【分析】根據(jù)向量的模長公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】，由于，故當時，此時取最小值，故答案為：16.已知函數(shù)為奇函數(shù)，的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，且當時，，則______________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性可得關(guān)于點對稱，進而根據(jù)點關(guān)于的對稱點為 ，將代入即可求解.【詳解】由，用替換可得：，所以關(guān)于點對稱，故，設(shè)，由于關(guān)于對稱，又當時，，由于點關(guān)于的對稱點為，則在上，故，所以，解得，故.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，函數(shù).（1）求的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若是的導函數(shù)，，，求函數(shù)的值域.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標表示及三角恒等變換公式化簡求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）首先求出，即可得到的解析式，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【小問1詳解】因為，且，所以 ，令，，解得，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；【小問2詳解】∵，∴，∴，而，則，所以，∴，由得，即.則函數(shù)的值域為.18.已知各項為正的數(shù)列的首項為2，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和，求數(shù)列（其中）前項和的最小值.【答案】（1）（2）最小值為-38【解析】 【分析】（1）將原式進行因式分解，結(jié)合正項數(shù)列以及等差數(shù)列的概念及通項公式可解；（2）首先求出的表達式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得前n項和的最小值.【小問1詳解】因為，所以有，而，∴，所以，則，又∵，，∴，由等差數(shù)列定義知數(shù)列是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列.∴數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】由（1）有，∴，令，有；，有；，有.所以前項和的最小值為，當且僅當時取到.19.如圖，在五面體中，面面，，面，，，，二面角的平面角為.（1）求證：面；（2）點在線段上，且，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】 【分析】（1）先通過線面平行的性質(zhì)得，進而根據(jù)線面平行的判定得結(jié)論；（2）取中點，中點，連結(jié)，，通過證明，，兩兩垂直來建立空間直角坐標系，然后利用向量法求解面面角.【小問1詳解】∵面，又面，面面，∴.又面，面，∴面；【小問2詳解】取中點，中點，連結(jié)，.∵面面，交線為，面，，∴面∴是二面角的平面角.即.∵面，又面，面面，∴.∴.又，∴四邊形是梯形.∴是梯形的中位線.∴.∴面.∵，是中點，∴.以為原點，，，為軸如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，，由，設(shè)面的一個法向量為，由，，得，取，得，，∴. 設(shè)面的一個法向量為，由，，得，取，得，，∴.∴∴二面角的平面角的余弦值為.20.已知內(nèi)角、、的對邊為、、（其中），若.（1）求角的大?。唬?）若點是邊上的一點，，，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，即可求解，進而可求解，（2）根據(jù)余弦定理可得，進而根據(jù)正弦定理得，根據(jù)二倍角公式以及和差角公式，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由正弦定理得，， 即有，∵，∴，則，而，∴.【小問2詳解】由余弦定理有；，而，，∴，，又，所以.又由（1）∴，，設(shè)，，則由正弦定理有，，且，所以，故，當時取到.21.王老師每天早上7：00準時從家里出發(fā)去學校，他每天只會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達學校的時間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當天乘地鐵去學校，則他到校時間在7：35-7：40的概率為0.35.）（1）某天早上王老師通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車.求他當天7：40-7：45到校的概率；（2）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校，從第二天開始，若前一天到校時間早于7：40，則當天他會乘坐地鐵去學校，否則當天他將乘坐汽車去學校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，第11天他都將坐汽車到校. 記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學校前坐地鐵的次數(shù)為，求；（3）已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學校且到校時間早于7：40，則當天他會乘坐地鐵去學校；若他前一天坐地鐵去學校且到校時間晚于7：40，則當天他會乘坐汽車去學校；若他前一天乘坐汽車去學校，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，當天他都會乘坐地鐵去學校.記為王老師第天坐地鐵去學校的概率，求的通項公式.【答案】（1）0.15（2）（3）【解析】【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)可取1，2，3，…，9，10，由題：對于，；，即可求出數(shù)學期望；(3)由題意：，，由遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項.【小問1詳解】記事件“硬幣正面向上”，事件“7：40-7：45到?！眲t由題有，，，故.【小問2詳解】可取1，2，3，…，9，10，由題：對于，；，故，， 以上兩式相減得：，故.所以.【小問3詳解】由題意：，，則，這說明為以為首項，為公比的等比數(shù)列.故，所以.22.已知，其中.（1）求在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義可得；（2）先取特殊值得不等式恒成立的必要條件，再證明充分性.利用與的符號一致性，利用放縮法將不等式轉(zhuǎn)化為三次不等式的證明，再利用主元變換，以為主元轉(zhuǎn)化為二次不等式的證明即可.【小問1詳解】故，又，故在處的切線方程為：， 即：；【小問2詳解】一方面，由在上恒成立，則當，有，解得.另一方面，我們證明若，在上恒成立.注意到當時，由，，，則有恒成立，即恒成立，故只需證，其中，只需證，將上式左邊看作關(guān)于的函數(shù)，令，下面證明：當，時，.①若，則成立；②若，此時，.又為關(guān)于的開口向下的二次函數(shù)，，故，③若，此時為關(guān)于的開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為（i）若對稱軸，又，解得，此時在單調(diào)遞減，所以，又由②知，所以 （ii）若對稱軸，又，解得，則有，注意到此時對應(yīng)的判別式故此時恒成立.綜上，當，時，.故的取值范圍為.