四川省宜賓市敘州區(qū)第一中學校2023-2024學年高二上學期期中數學 Word版含解析.docx

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敘州區(qū)一中2023年秋期高二期中考試數學試題本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．第I卷選擇題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若復數滿足，其中為虛數單位，則的共軛復數（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用復數的除法計算求出，進而可得的共軛復數．【詳解】解：由得，∴．故選：C2.已知點，點，則直線的傾斜角為（）A.30°B.60°C.120°D.135°【答案】B【解析】【分析】先由，求斜率，再求傾斜角.【詳解】設直線的斜率為k,則.令直線的傾斜角為，則，，.故選：B3.甲，乙兩人獨立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為，則謎題被破解的概率為（）AB.C.D.1【答案】C【解析】 【分析】利用對立事件即可求得概率.【詳解】設甲，乙兩人破解出謎題分別為事件，則有，則，謎題被破解的對立事件是甲乙都沒有破解謎題，則故選：C.4.某公園對“十一”黃金周天假期的游客人數進行了統(tǒng)計，如下表：日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日旅游人數（萬）則該公園“十一”黃金周天假期游客人數平均數和第百分位數分別是（）A.萬?萬B.萬?萬C.萬?萬D.萬?萬【答案】D【解析】【分析】利用平均數的公式求出平均數，再將數據由小到大排列，根據，即可求出第75百分位數．【詳解】解：游客人數的平均數為，將數據由小到大排列0.6，1.4，1.5，2.2，2.2，2.3，3.8，，這組數據的第75百分位數是2.3，故選：．5.若直線（）經過第一、二、三象限，則系數滿足的條件為（）A.同號B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】將直線方程轉化為斜截式，再利用直線斜率與截距的意義即可得出.【詳解】由題意得，直線，即，直線經過第一、二、三象限，所以,，即，，故選：B.6.已知點，，直線與線段相交，則實數的取值范圍是（）A.或B.或C.D.【答案】B【解析】【分析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或， 所以實數的取值范圍是或，故選：B7.已知圓關于直線對稱，則的最大值為（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】【分析】由圓的方程求出圓心坐標，將圓心坐標代入直線方程，由基本不等式即可求出的最大值.【詳解】解：由題意在圓中，∴圓心為，半徑為1在直線中，圓關于該直線對稱∴直線過圓心，∴，即：∵解得：當且僅當時等號成立∴的最大值為.故選：D.8.已知、是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，以為直徑作圓，直線與圓交于點（點不在橢圓內部），則A.B.4C.3D.1【答案】C 【解析】【分析】利用向量的數量積運算可得，利用，進一步利用橢圓的定義可轉化為，進而得解.【詳解】連接,設橢圓的基本量為，,故答案為：3.【點睛】本題考查橢圓的定義與平面向量的數量積的運算，屬中檔題，關鍵是利用向量的數量積運算進行轉化，并結合橢圓的定義計算.二．選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.連續(xù)兩次拋擲一枚質地均勻的骰子，觀察這兩次骰子出現的點數．記事件A為“第一次骰子出現的點數為3”，事件B為“第二次骰子出現的點數為5”，事件C為“兩次點數之和為8”，事件D為“兩次點數之和為7”，則（）A.A與B相互獨立B.A與D相互獨立C.B與C為互斥事件D.C與D為互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】先求出,再利用公式判斷選項AB，利用概念判斷選項CD得解.【詳解】連續(xù)兩次拋擲一枚質地均勻的骰子的結果用有序數對表示，其中第一次在前，第二次在后，不同結果如下： ．共36個．依題意，，事件C包括，共5個，，事件D包括，共6個，．對于選項A，事件只有結果，A與B相互獨立，所以選項A正確；對于選項B，事件只有結果，A與D相互獨立，所以選項B正確；對于選項C，當第一次的點數是3點，第二次是5點時，兩個事件同時發(fā)生了，所以事件不是互斥事件，所以選項C不正確；對于選項D，事件是不可能事件，即C與D是互斥事件，所以選項D正確．故選：ABD10.下列說法中，正確有（）A.過點且在軸，軸截距相等的直線方程為B.直線在軸的截距是2C.直線的傾斜角為30°D.過點且傾斜角為90°的直線方程為【答案】CD【解析】【分析】根據直線的截距、傾斜角、直線方程等知識確定正確答案.【詳解】A選項，直線過點且在軸，軸截距相等，所以A選項錯誤.B選項，直線在軸上的截距是，B選項錯誤.C選項，直線的斜率為，傾斜角為，C選項正確.D選項，過點且傾斜角為90°的直線方程為，D選項正確. 故選：CD11.已知橢圓的左、右焦點分別為，，圓，是橢圓上任意一點，則下列結論正確的是（）A.若，則的面積為B.若為圓上任意一點，則的最小值為0C.橢圓的離心率為D.【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由橢圓的定義、勾股定理及三角形面積公式可求解；對于B，利用橢圓的定義，轉化為圓心到右焦點的距離問題；對于C，直接用離心率公式求解即可；對于D，由可判斷.【詳解】對于A，由橢圓知，，.當時，，因為，所以，所以，所以的面積為，故選項A正確；對于B，由知，所以.因為是圓上的動點，所以，故選項B正確；對于C，橢圓的離心率為，故選項C正確；對于D，顯然，即，故選項D錯誤.故選：ABC.12.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F，G分別為AD，AB，的中點，以下說法正確的是（） A.三棱錐的體積為1B.平面EFGC.過點E，F，G作正方體的截面，所得截面的面積是D.平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為【答案】ABC【解析】【分析】A選項：用頂點轉化法轉換成G為頂點，直接計算體積即可判斷；B選項：建系，用空間向量計算證明垂直即可判斷；C選項：補全完整截面為正六邊形，直接計算面積即可判斷；D選項：用空間向量求平面的法向量再計算二面角的余弦值即可判斷.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，，則，則平面，B正確； 對于C，作中點N，的中點M，的中點T，連接，則正六邊形為對應截面面積，正六邊形邊長為，則截面面積為：，故C正確；對于D，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，設兩個平面夾角為，，故D錯誤．故選：ABC．第II卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.兩條平行直線和的距離為______.【答案】2【解析】【分析】根據平行線間距離公式即可求解.【詳解】根據平行線間距離公式可得，故答案為：214.已知橢圓的左、右焦點為，，橢圓上一點滿足，則______.【答案】【解析】【分析】先計算長軸長2a，再根據橢圓定義，計算即可. 【詳解】橢圓中，，即，，因為，所以.故答案為：.15.若圓與圓外切，則______.【答案】2【解析】【分析】根據圓的方程得出圓心與半徑，根據兩圓外切的計算公式進行計算即可.【詳解】由題意得，，，，，因為圓與圓外切，所以，解得.故答案為：216.點在動直線上的投影為點M，若點，那么的最小值為________.【答案】【解析】【分析】易知直線過定點，再由在動直線上的投影為點M，得到，進而得到的軌跡是以為直徑的圓求解.【詳解】解：因為直線過定點，且，所以的軌跡是以為直徑的圓，且圓心為，半徑，所以，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的三個頂點，，. （1）求邊所在直線的方程；（2）求邊上中線所在直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由直線的兩點式方程求解即可；（2）先由中點坐標公式求出中點的坐標，再結合直線的兩點式方程求解即可.【詳解】（1）因為，，由直線的兩點式方程可得：邊所在直線的方程，化簡可得；（2）由，，則中點，即，則邊上中線所在直線的方程為，化簡可得.【點睛】本題考查了中點坐標公式，重點考查了直線的兩點式方程，屬基礎題.18.已知點，，，H是的垂心．（1）求點C的坐標；（2）求的外接圓的方程．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）先求出直線的斜率，則可求出直線的斜率和直線的傾斜角，求出直線的方程，聯(lián)立方程組求出兩直線的交點C的坐標；（2）先得到邊和邊的中垂線方程，進行聯(lián)立得圓心坐標，再利用兩點距離公式算出半徑，即可得到答案【小問1詳解】因為點，，，H是△ABC的垂心，所以，所以，∴直線的方程為即，又∵，∴所在直線與x軸垂直，故直線BC的方程為，聯(lián)立直線與的方程得點的坐標為；小問2詳解】邊的中垂線方程為，因為，所以邊的中垂線的斜率等于，因為邊的中點為，故邊的中垂線的方程為：，所以聯(lián)立兩條中垂線得解得，所以圓心坐標為，半徑，則的外接圓的標準方程為.19.“星光大道”是觀眾喜愛的央視欄目．現有位周冠軍和甲、乙兩位挑戰(zhàn)者參加月冠軍比賽，比賽規(guī)則是：第一輪甲、乙兩位挑戰(zhàn)者從位周冠軍中各選一位進行比賽，勝者進入第二輪比賽，未被選中的周冠軍直接進入第二輪比賽；第二輪比賽從位選手中淘汰一位，勝者進入第三輪比賽；第三輪比賽勝者為月冠軍．每位選手被淘汰的可能性相同．（1）求周冠軍和挑戰(zhàn)者甲、乙進行第一輪比賽，且至少有一位挑戰(zhàn)者進入第二輪比賽的概率； （2）求月冠軍是挑戰(zhàn)者的概率.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)“周冠軍進入第一輪”和“至少有位挑戰(zhàn)者進入第二輪比賽”是相互獨立的事件，由乘法公式計算概率.(2)月冠軍是挑戰(zhàn)者包括三種情況：恰有一位挑戰(zhàn)者進入第二、三輪比賽并獲得月冠軍，兩位挑戰(zhàn)者都進入第二輪比賽但只有一位進入第三輪比賽并獲得月冠軍，兩位挑戰(zhàn)者都進入第三輪比賽，分別求出概率再求和.【詳解】（1）周冠軍和挑戰(zhàn)者甲、乙進行第一輪比賽的概率為，至少有一位挑戰(zhàn)者進入第二輪比賽的概率為,所以周冠軍和挑戰(zhàn)者甲、乙進行第一輪比賽，且至少有一位挑戰(zhàn)者進入第二輪比賽的概率為.（2）恰有一位挑戰(zhàn)者進入第二、三輪比賽并獲得月冠軍的概率是；兩位挑戰(zhàn)者都進入第二輪比賽但只有一位進入第三輪比賽并獲得月冠軍的概率是；兩位挑戰(zhàn)者都進入第三輪比賽的概率是.故月冠軍是挑戰(zhàn)者的概率是.20.已知圓C經過兩點，圓心在直線上.（1）求圓C的標準方程；（2）若圓C與y軸相交于A，B兩點（A在B上方）.直線與圓C交于M，N兩點，直線，相交于點T.請問點T是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.【答案】（1）（2）是，【解析】 【分析】（1）由已知設出圓心，再由圓心到的距離都為半徑列出方程解出答案即可；（2）聯(lián)立直線與圓的方程并化簡，然后求出直線和的方程，進而結合根與系數的關系得到答案.【小問1詳解】依題意可設圓心，則半徑，解，，故，即圓C的標準方程為.【小問2詳解】設，由（1）可知，，聯(lián)立方程組，消去x并化簡得，容易判斷直線所過定點（0,1）在圓內，即直線與圓一定有兩個交點，所以，直線的方程為…①，直線的方程為…②，由①②可得：，由，化簡得，故點T在定直線上.【點睛】解析幾何壓軸題運算量一般都比較大，這個需要平時加大練習力度.本題涉及定點問題，思路一定要直接一點，需要交點，那就解出交點；另外這種題往往和根與系數的關系聯(lián)系緊密.21.如圖，已知直三棱柱中，，，??分別是??的中點，點在直線上運動，且 （1）證明：無論取何值，總有平面；（2）是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，位置滿足【解析】【分析】（1）以為坐標原點，??所在的直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，計算，可得證；（2）假設存在，由空間向量法求二面角可得．【小問1詳解】證明：如圖，以為坐標原點，??所在的直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，，，，，，由，可得，所以，，又所以，，所以，，.又，平面，所以平面，所以無論取何值，總有平面. 【小問2詳解】解：設是平面的法向量，則，即，令，所以是平面的一個法向量，取平面的一個法向量為假設存在符合條件的點，則，化簡得，解得或（舍去）.綜上，存在點，且當時，滿足平面與平面的夾角為.22.已知橢圓的左右焦點分別是和，離心率為，以在橢圓上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點，若軸上存在點，使得，求點的橫坐標的取值范圍. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先判斷P在短軸端點時，的面積最大，得到，再結合，，即解得參數a，b，得到方程；（2）先聯(lián)立方程得到中點坐標，再利用已知條件得到，設點坐標，得到m，k的關系，討論m的取值范圍，即得結果.【詳解】解：（1）依題意，顯然當P在短軸端點時，的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，故橢圓的方程為；（2）聯(lián)立方程組，得，因為直線l恒過定點，故直線與橢圓必有兩個交點，設，則，設中點為，則，，，設，則，化簡得.當時，當且僅當時，即時等號成立，故；當時，當且僅當時，即時等號成立，故；綜上，點的橫坐標的取值范圍為. 【點睛】解決圓錐曲線中的范圍或最值問題時，若題目的條件和結論能體現出明確的函數關系，則可先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；②利用已知參數的范圍，求出新參數的范圍，解題的關鍵是建立兩個參數之間的等量關系；③利用基本不等式求出參數的取值范圍；