四川省宜賓市興文縣第二中學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)題 Word版含解析.docx

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興文二中2023年秋期高一第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解對(duì)數(shù)不等式求得集合，由此求得兩個(gè)集合的交集.【詳解】由得，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查交集的概念和運(yùn)算，考查指數(shù)不等式的解法.2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A.3B.C.9D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)冪函數(shù)，求出的值，寫出函數(shù)解析式，再計(jì)算的值．【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，，，．故選：A． 3.函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出使函數(shù)式有意義的自變量的范圍即可．【詳解】由題意，解得或．故選：D．4.若不等式的解集是，則A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知方程的根為，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得出，從而得出的值.【詳解】由題意可知方程的根為由根與系數(shù)的關(guān)系可知，解得即故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)的值，屬于中檔題.5.某小學(xué)為落實(shí)雙減，實(shí)現(xiàn)真正素質(zhì)教育，在課后給同學(xué)們?cè)鲈O(shè)了各種興趣班.為了了解同學(xué)們的興趣情況，某班班主任對(duì)全班女生進(jìn)行了關(guān)于對(duì)唱歌?跳舞?書法是否有興趣的問(wèn)卷調(diào)查，要求每位同學(xué)至少選擇一項(xiàng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)有21人喜歡唱歌，17人喜歡跳舞，10人喜歡書法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞的有12 人，同時(shí)喜歡唱歌和書法的有6人，同時(shí)喜歡跳舞和書法的有5人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為（）A.27B.23C.25D.29【答案】A【解析】【分析】借助韋恩圖處理集合運(yùn)算的容斥問(wèn)題.【詳解】作出韋恩圖，如圖所示，可知5人只喜歡唱歌，2人只喜歡跳舞，1人只喜歡書法，同時(shí)喜歡唱歌和跳舞但不喜歡書法的有10人，同時(shí)喜歡唱歌和書法但不喜歡跳舞的有4人，同時(shí)喜歡跳舞和書法但不喜歡唱歌的有3人，三種都喜歡的有2人，則該班女生人數(shù)為.故選：A6.若a＞0,b＞0,a＋b＝1,則的最小值為A.B.C.2D.4【答案】D【解析】【分析】利用a+b=1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】∵a+b=1，∴=（a+b）（）=2+（）≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=時(shí)取等號(hào)．∴的最小值4．故選D．【點(diǎn)睛】熟練“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.17世紀(jì)初，約翰·納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算而發(fā)明了對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始?微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就. 在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)，經(jīng)常會(huì)把原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)后再進(jìn)一步處理，之所以這樣做是基于對(duì)數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，且取對(duì)數(shù)后不會(huì)改變數(shù)據(jù)的相對(duì)關(guān)系，也可以將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)換成加法運(yùn)算，將乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，據(jù)此可判斷數(shù)(取)的位數(shù)是（）A.108B.109C.308D.309【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，選令，再兩邊取對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)、計(jì)算、分析后就可以確定其位數(shù).【詳解】記.因?yàn)?，所以，于是，又因?yàn)槭且粋€(gè)309位數(shù)，是最小的310位數(shù)，且為整數(shù)，所以數(shù)的位數(shù)是309.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：事實(shí)上，任何一個(gè)正實(shí)數(shù)都可以表示成形式，此時(shí)).當(dāng)時(shí)，是位數(shù).8.已知函數(shù)，若，，使得恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意得：，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求得，，代入不等式即可求得答案.【詳解】由題意得：，∵對(duì)恒成立，∴在單調(diào)遞減，∴；∵在單調(diào)遞增，∴，∴.故選：C. 【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)易邏輯中“任意”問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.“不等式在上恒成立”的一個(gè)充分不必要條件是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】先計(jì)算已知條件的等價(jià)范圍，再利用充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椤安坏仁皆谏虾愠闪ⅰ保缘葍r(jià)于二次方程的判別式，即.所以A選項(xiàng)是充要條件，A不正確；B選項(xiàng)中，不可推導(dǎo)出，B不正確；C選項(xiàng)中，可推導(dǎo)，且不可推導(dǎo)，故是的充分不必要條件，故C正確；D選項(xiàng)中，可推導(dǎo)，且不可推導(dǎo)，故是的充分不必要條件，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．10.若，則下列結(jié)論可能成立的是（　?。〢.B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】分與同正、同負(fù)和異號(hào)三種情況討論即可.【詳解】若與同號(hào)，則由得，即，∴，當(dāng)與同為正時(shí)，，故C正確；當(dāng)與同為負(fù)時(shí)，，故A錯(cuò)，B正確；若，則，故D正確．故選：BCD.11.已知第一象限的點(diǎn)在直線上，則下列正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意，明確的取值范圍，對(duì)于A,B,C，采用作差法，可得答案，對(duì)于D，根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由題意，，且，則，即，對(duì)于A，，由，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD. 12.已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，，當(dāng)時(shí)，；③．則下列選項(xiàng)成立的是（）AB.若，則C.若，則D.，，使得【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意可函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，作出大致函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐一判斷即可．【詳解】解；因?yàn)楹瘮?shù)定義在上函數(shù)，所以由①：，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因?yàn)橛散谥海?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，作出函?shù)的大致圖象，如圖所示：對(duì)于A：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，因此，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增且連續(xù)，且，所以，即，解得，即，故B正確；對(duì)于C、因?yàn)?，?因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，在單調(diào)遞增，所以由或，解得或，即，因此C正確；對(duì)于D、由C知是函數(shù)的最小值，因此，，使得，因此D正確，故選：BCD．第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】【分析】利用代入可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】令，解得，則，即定點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：14.若“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的定義和一元二次不等式的恒成立問(wèn)題求解.【詳解】因?yàn)椤?，使得”是假命題，所以“，使得”是真命題，所以，解得，故答案為:.15.已知函數(shù)，若，則_________. 【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可.【詳解】設(shè)，則，則因?yàn)椋?，則.故答案為：16.已知函數(shù)函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則________.【答案】##0.5【解析】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，求解即可.【詳解】有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，即方程有四個(gè)不同的解，即的圖象與直線有四個(gè)交點(diǎn)．在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出與的圖象，如圖所示，由二次函數(shù)的對(duì)稱性可得，.因?yàn)?，所以，? 故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（1）計(jì)算：；（2）已知，且，求m的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和根式運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；（2）將指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化，結(jié)合換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所以，由換底公式可得：，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所?18.已知集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）由解方程求出的值，再檢驗(yàn)或時(shí)是否成立，從而得出實(shí)數(shù) 的值；（2）由得出，結(jié)合子集的定義得出可能為，，，，分別討論這四種情況，得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）∵，∴，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，，滿足當(dāng)時(shí)，，滿足∴所求實(shí)數(shù)的值是或．（2）∵，∴，即可能，，，當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)集合中只有一個(gè)元素時(shí)，，解得，此時(shí)，即集合不可能為或當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)的關(guān)系可知方程組無(wú)解，則不可能為∴所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題二的關(guān)鍵在于由交集運(yùn)算，推理得出，在判斷不可能為時(shí)，主要是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，列出方程組，由方程組無(wú)解進(jìn)行判斷.19.已知函數(shù)，，.（1）是否存在，，使不等式的解集為?說(shuō)明理由.（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）不存在，理由見(jiàn)解析.（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由不等式的解集，結(jié)合一元二次不等式與二次函數(shù)及方程的關(guān)系有 ，進(jìn)而判斷是否存在，.（2）討論參數(shù)a的范圍，應(yīng)用一元二次不等式的解法求解集即可.【小問(wèn)1詳解】要使的解集為，即且的兩個(gè)解為，∴，可得，顯然與矛盾.∴不存在，，使不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，∴當(dāng)時(shí)有，即；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)有，即或；當(dāng)時(shí)有，即；當(dāng)時(shí)有，即或；20.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）定義域的奇函數(shù)滿足，求出的值并用奇函數(shù)定義驗(yàn)證.（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性. （3）不等式利用奇偶性和單調(diào)性化簡(jiǎn)，得到關(guān)于的不等式，設(shè)，利用函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，.，解得，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故.【小問(wèn)2詳解】是上的增函數(shù).任取且..，，，，即，是上的增函數(shù).【小問(wèn)3詳解】是上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.故即：令，則對(duì)恒成立. 即解得：.實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.杭州亞運(yùn)會(huì)田徑比賽10月5日迎來(lái)收官，在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌.人類長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段.現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行4小時(shí)長(zhǎng)跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段由于體力消耗過(guò)大變?yōu)榈臏p速運(yùn)動(dòng)（表示該階段所用時(shí)間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力已知該運(yùn)動(dòng)員初始體力為不考慮其他因素，所用時(shí)間為（單位：h），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫出該運(yùn)動(dòng)員剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；（2）該運(yùn)動(dòng)員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值，最低值為多少?【答案】（1）（2）時(shí)有最小值，最小值為.【解析】【分析】（1）先寫出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而求出剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值.【小問(wèn)1詳解】由題可先寫出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，代入與公式可得 解得；【小問(wèn)2詳解】①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過(guò)程中最小值；②疲勞階段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，所以疲勞階段中體力最低值為，由于，因此，在時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值.22.若且．（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性（不必證明）；（2）當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間（其中）上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可分類得到結(jié)果；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，通過(guò)分析二次函數(shù)的圖象可知只需即可滿足題意，由此構(gòu)造不等式求得的范圍；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等實(shí)根，通過(guò)分析二次函數(shù)的圖象得到不等式組，由不等式組可求得的范圍.【詳解】（1）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷可知：當(dāng)時(shí)，與均單調(diào)遞增，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，與均單調(diào)遞減，單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知：?jiǎn)握{(diào)遞減；，，即在上恒成立，令，則為開口方向向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，若在上恒成立，則只需，解得：（舍）或，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由（1）知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即，，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等實(shí)根；，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)中的恒成立和根據(jù)值域求參數(shù)范圍的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)蓚€(gè)問(wèn)題都轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的分析問(wèn)題，通過(guò)分析所需的二次函數(shù)圖象得到不等關(guān)系，進(jìn)而由不等關(guān)系求得參數(shù)范圍.