遼寧省北鎮(zhèn)市第二第三高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023～2024學(xué)年度高三第一學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)試卷考試時間120分鐘試卷滿分150分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.3.若圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖的面積為，則這個圓錐的體積為（）A.B.C.D.4.已知，是單位向量，若，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.5.設(shè),若直線與直線平行,則的值為A.B.C.或D.或6.已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是A.B.C.D.7.折扇（圖1）是具有獨特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．圖2中的扇形為一把折扇展開后的平面圖，其中，，設(shè)向量，，若，則實數(shù)的值為（）A.1B.3C.7D.14 8.若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A.B.C.D.10.已知、、是三條不重合直線，，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若、是異面直線，，，且，則11.在等比數(shù)列中，，，則（）A.公比為4B.的前20項和為170C.的前10項積為D.的前n項和為12.已知定義在上的函數(shù)滿足，在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（????）A.B.C.D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知銳角滿足，則_______________.14.數(shù)列的前n項和為，若，，則______．15.在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面，若P，A，B，C四點都在表面積為的球的球面上，則三棱錐的體積為______．16.中，三內(nèi)角所對邊分別為，已知，，則角的最大值是_______________ 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是首項為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.18.已知函數(shù)（，，）圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為．函數(shù)的最大值為2，且______．請從以下3個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時；③是函數(shù)的一條對稱軸．并解答下列問題：（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，、，分別是角，，對邊，若，，的面積，求的值．19.如下圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，.（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的余弦值.20.設(shè)數(shù)列的前n項和為，．（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式． （2）若數(shù)列的前m項和，求m的值，21.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若外接圓的半徑為，求的取值范圍.22.已知（1）若有兩個零點，求取值范圍；（2）若方程有兩個實根、，且，證明：. 2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期第四次月考高三數(shù)學(xué)試卷考試時間120分鐘試卷滿分150分一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解指數(shù)不等式化簡集合，用列舉法表示集合，再進(jìn)行并集運算即可.【詳解】由題意知，，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算，求出復(fù)數(shù)，然后利用即可求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)滿足，所以，所以.故選：B.3.若圓錐的母線長為6，其側(cè)面展開圖的面積為，則這個圓錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根據(jù)圓錐母線即側(cè)面展開圖可求得底面圓半徑，再利用勾股定理可求得圓錐的高為，由體積公式即可得結(jié)果.【詳解】由題可知圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑，設(shè)底面圓的半徑為，則，解得，所以圓錐的高，所以該圓錐的體積.故選：D.4.已知，是單位向量，若，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知可推得，進(jìn)而即可求出投影向量.【詳解】根據(jù)已知可得，所以，.所以，在上投影向量為.故選：D.5.設(shè),若直線與直線平行,則的值為A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．經(jīng)過驗證即可得出．【詳解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1．經(jīng)過驗證：a=﹣2時兩條直線重合，舍去．∴a=1．故選B．【點睛】本題考查了兩條直線平行的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題． 6.已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先把化成，求出的零點的一般形式為，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點可得關(guān)于的不等式組，結(jié)合為整數(shù)可得其相應(yīng)的取值，從而得到所求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，令，則有即.因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，故存在整數(shù)，使得，即，因為，所以且，故或，所以或，故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)在給定范圍上的零點的存在性問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為不等式組的整數(shù)解問題，本題屬于難題.7.折扇（圖1）是具有獨特風(fēng)格的中國傳統(tǒng)工藝品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣．圖2中的扇形為一把折扇展開后的平面圖，其中，，設(shè)向量，，若，則實數(shù)的值為（） A.1B.3C.7D.14【答案】D【解析】【分析】先利用題意算出，然后利用數(shù)量積的運算律對進(jìn)行化簡，即可求解【詳解】因為，，所以，因為向量，，，所以，即，解得故選：D8.若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將變形為，通過構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得到在區(qū)間單調(diào)遞增，從而得到，進(jìn)而將恒成立轉(zhuǎn)化成恒成立，也即恒立，構(gòu)造函數(shù)，再對進(jìn)行求導(dǎo)，求出的單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】易知，，由， 得到，可變形為，即，所以恒成立，即恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時，，時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，所以恒成立，也即恒成立，又，所以恒立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點晴：將變形為，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，得到恒立，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值即可解決問題.二、多選題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】根據(jù)所給條件，逐一分析各選項中函數(shù)的奇偶性及其在區(qū)間上的增減性即可.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為R，是增函數(shù)，A不對；對于B，函數(shù)的定義域為R，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞減，B對；對于C，函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，并且在上單調(diào)遞減，C對；對于D，函數(shù)的定義域為R，且，是奇函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，即，解得，所以遞減區(qū)間是.D不對．故選：BC10.已知、、是三條不重合的直線，，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若、是異面直線，，，且，則【答案】ACD【解析】【分析】由線面、面面的位置關(guān)系對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】若，，由面面平行的性質(zhì)定理可得成立，故A正確；兩個平行平面內(nèi)的兩條直線位置是平行或異面，即不一定正確，故B錯誤；若，且，則，故C正確；如圖，因為，所以存在直線，且滿足，又，所以，同理存在直線，且滿足，又，所以，因為、是異面直線，所以與相交，設(shè)，又，，所以，故D正確.故選：ACD. 11.在等比數(shù)列中，，，則（）A.的公比為4B.的前20項和為170C.的前10項積為D.的前n項和為【答案】ABC【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式計算即可.【詳解】由題意可知，所以，所以，，A對；由上可知：，所以，B對；而，C對；記的前n項和為，則的前n項和，D錯，故選：ABC.12.已知定義在上的函數(shù)滿足，在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（????）A.B.C.D.【答案】AD 【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞減，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】因，所以令，則，因為，，所以，所以在R上單調(diào)遞減，，即，即，故A正確，B錯；，即，即，故C錯，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知銳角滿足，則_______________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及倍角公式變形計算即可.【詳解】因為，所以，又為銳角，所以，即，所以.故答案為：14.數(shù)列的前n項和為，若，，則______．【答案】96【解析】【分析】根據(jù)求出，，求出，從而得到答案.【詳解】①，②， 兩式相減得，故，，令中得，，所以.故答案為：9615.在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，平面，若P，A，B，C四點都在表面積為的球的球面上，則三棱錐的體積為______．【答案】##【解析】【分析】由題意確定三棱錐外接球球心位置，根據(jù)外接球表面積求得外接球半徑，即可求得PA的長，利用三棱錐體積公式即可求得答案.【詳解】設(shè)為正的中心，M為的中點，過點作平面的垂線l，由于平面，故，在確定的平面內(nèi)作，垂足為O，則四邊形為矩形，連接，則，故，則O即為三棱錐外接球的球心，因為P，A，B，C四點都在表面積為的球的球面上，設(shè)外接球半徑為R，故，是邊長為2的等邊三角形，故, 故，所以三棱錐的體積，故答案為：16.中，三內(nèi)角所對邊分別為，已知，，則角的最大值是_______________【答案】##【解析】【分析】由題意，利用正弦定理將角化邊，再結(jié)合余弦定理可得，代入消去，利用基本不等式求出的范圍，得解；或利用三角恒等變換結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】解法一：，由正弦定理得，由余弦定理得，將代入，可得，而，消去可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.在上單調(diào)遞減，.解法二：，又，，為銳角，且，即，為鈍角，為銳角，而， 在上單調(diào)遞增，.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知是首項為1的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知根據(jù)等差中項的性質(zhì)列出關(guān)系式，求解即可得出；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出，，然后根據(jù)錯位相減法求和，即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，因，，成等差數(shù)列，所以，即，化簡可得，解得.又，所以數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】因為，所以， 則，①，，②①-②得，所以.18.已知函數(shù)（，，）的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為．函數(shù)的最大值為2，且______．請從以下3個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面橫線上，①為奇函數(shù)；②當(dāng)時；③是函數(shù)的一條對稱軸．并解答下列問題：（1）求函數(shù)的解析式；（2）在中，、，分別是角，，的對邊，若，，的面積，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由最大值確定A，根據(jù)相鄰兩條對稱軸間的距離為確定最小正周期，從而確定，選①，可得，求解即可；選②，，求解即可；選③，整體思想，求解即可.（2）利用面積公式求出，結(jié)合余弦定理即可求解.【小問1詳解】由題意得，∴最小正周期，則， ∴.若選①，為奇函數(shù)，則，∴，即∵，即，∴即，∴.若選②，當(dāng)時，∴即，∵，∴，∴.若選③，是函數(shù)的一條對稱軸，∴即∵，∴，∴.【小問2詳解】∵，∴,即， ∵即，∴，即，又∵，的面積，∴得，在中，由余弦定理得：，解得.19.如下圖，在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，.（1）求三棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為底面，為高，可求得三棱錐的體積；（2）利用坐標(biāo)法求線面夾角正弦值，進(jìn)而可得余弦值.【小問1詳解】三棱柱為直三棱柱，平面平面，且平面平面，即平面為矩形， ，，且點為中點，，且為直角三角形，，平面，又點為中點，，，，，即，所以；【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，即， 所以，即直線與平面所成角的余弦值為.20.設(shè)數(shù)列的前n項和為，．（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．（2）若數(shù)列的前m項和，求m的值，【答案】（1）證明見解析，（2）7【解析】【分析】（1）利用數(shù)列中與的關(guān)系，得，可證明數(shù)列為等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項公式．（2）利用裂項相消求數(shù)列的前m項和，由求m的值.【小問1詳解】因為，所以當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，則，整理得，故，，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以【小問2詳解】，數(shù)列的前m項和， 則，則，則，解得，故m的值為7．21.在銳角中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若外接圓的半徑為，求的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由正弦定理以及兩角和的正弦公式可得，即可得，結(jié)合角的范圍可得；（2）利用正弦定理可得，，，代入表達(dá)式利用三角恒等變換可得，再根據(jù)角的范圍由三角函數(shù)值域即可得.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，又，所以.【小問2詳解】由正弦定理得，所以，，， 所以，因為是銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍是.22.已知（1）若有兩個零點，求的取值范圍；（2）若方程有兩個實根、，且，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）解法一：由參變量分離法可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可求得實數(shù)的取值范圍；解法二：直接對函數(shù)求解，通過對參數(shù)的分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性與極最值，通過分析原函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)的取值范圍.（2）解法一：首先通過同構(gòu)，將等式整理成，再令，通過已知條件，假設(shè)，是的兩個零點，進(jìn)而可得，要證 ，即證，即證，令，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明即可；解法二：首先根據(jù)已知條件、是的兩個零點，證，即證，然后分和兩種情況進(jìn)行分類討論，最終構(gòu)造函數(shù)（）進(jìn)行證明.【小問1詳解】解法一：函數(shù)的定義域為，由可得，令，其中，則，令可得，列表如下：＋0－增極大值減且當(dāng)時，，作出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，因此，實數(shù)的取值范圍是. 解法二：當(dāng)時，∴恒成立得在上遞增，則函數(shù)不可能存在兩個零點，故該情況不成立；當(dāng)時，得在遞增；在遞減，要使有兩個不同零點，必須且極大值（和時），∴.【小問2詳解】解法一：方程令，由有兩個實根、，則，是的兩個零點，由且，可得，由可得，要證，即證，即證，∵，∴，∴即證.令，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，即證，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增， ∴，故原不等式成立.解法二：方程令，由有兩個實根、，則、是的兩個零點由可得為減函數(shù)，要證，即證，由的圖象，不妨設(shè)（，分布在的極值點兩側(cè)）要證，只需證①當(dāng)時，因，故上式顯然成立②當(dāng)時，，又，由在遞增，即證明構(gòu)造函數(shù)（），∴在為增函數(shù)，，所以要證的不等式成立.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).