重慶市輔仁中學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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重慶市輔仁中學(xué)校高一上學(xué)期中期考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.若，則集合P中元素的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合和元素的概念進(jìn)行求解.【詳解】集合P中元素為，，共2個(gè)．故選：B2.“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充要條件的判定方法，即可得到結(jié)論【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，是成立的，當(dāng)當(dāng)時(shí)，如，而是不成立的，所以是的充分不必要條件，故選:A．3.命題“，都有”的否定為（）A.，使得B.，都有C.，使得D.，使得【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定的知識(shí)求得正確答案.【詳解】原命題的全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，注意到是否定結(jié)論而不是否定條件，所以C選項(xiàng)正確.故選：C4.若函數(shù)的定義域是，，則函數(shù)的定義域是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由解得結(jié)果可得函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)的定義域是，，即，由，解得．函數(shù)的定義域是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，則的解析式為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】換元法求函數(shù)解析式即可.【詳解】設(shè)，則，所以，故，故選：C6.若，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析】利用基本不等式即可得到答案【詳解】解：，， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故選：C7.已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可知開口向上，對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且在閉區(qū)間有最大值3，最小值2，所以.故選：D.8.已知是定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而解不等式.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；對(duì)于不等式，則或，可得或，所以不等式的解集為. 故選：C.二、多選題（每小題5分，共20分，錯(cuò)選得0分，少選得2分）9.設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)x，y的范圍及基本不等關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】對(duì)于A，，即，故A正確；對(duì)于B，，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，即，故C正確；對(duì)于D，由題知，則，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.下列說法中，錯(cuò)誤的有（）A.所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性.B.因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增.C.若在R上是減函數(shù)，則.D.若函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上也單調(diào)遞增.【答案】ABD【解析】【分析】舉反例說明選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤，利用定義判斷選項(xiàng)C正確.【詳解】解：A.不是所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性，如函數(shù)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.因?yàn)?，不能說明函數(shù)在上單調(diào)遞增，如，滿足，但是函數(shù)在上不是單調(diào)遞增，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若在R上是減函數(shù)，則，所以該選項(xiàng)正確；D.若函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，如函數(shù) ，在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD11.下列冪函數(shù)中滿足條件的函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】先明確題目中條件對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，再根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行判斷選擇.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，滿足條件的函數(shù)的圖象是凹形曲線.對(duì)于A，函數(shù)的圖象是一條直線，故當(dāng)時(shí)，；對(duì)于B，函數(shù)的圖象是凹形曲線，故當(dāng)時(shí)，；對(duì)于C，函數(shù)的圖象是凸形曲線，故當(dāng)時(shí)，；對(duì)于D，在第一象限，函數(shù)圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)時(shí)，，故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查綜合分析判斷能力，屬中檔題.12.已知函數(shù)滿足對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A.B.1C.2D.3【答案】CD【解析】【分析】由題意可知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，由分段函數(shù)的單調(diào)性可運(yùn)算求得答案. 【詳解】由對(duì)任意，，可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則，即，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.三、填空題（每小題5分，共20分）13.若函數(shù)是偶函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可求出，根據(jù)偶函數(shù)的即可求出.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)且，所以，又?jǐn)?shù)是偶函數(shù)，，所以，所以，所以對(duì)任意成立，所以，所以，故答案為：1.14.定義在上的奇函數(shù)為減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性，去掉外層函數(shù)，變成一元二次不等式進(jìn)行求解. 【詳解】因?yàn)?，即，根?jù)奇函數(shù)的定義可知原不等式為，且定義域內(nèi)單調(diào)遞減函數(shù)，故，解得或，又因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，解得，綜上，，即的范圍為.故答案為：.15.若方程有一解，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】方程有一解，即與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，畫出圖象可得答案．【詳解】函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把位于軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方得到的，函數(shù)圖象如下圖所示，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有唯一的交點(diǎn)，即方程有一解．故答案為：.16.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則______．【答案】 【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以①，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以②，令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由②得：，所以?dāng)時(shí)，，.故答案為：四、計(jì)算題（共70分，寫出必要的解題過程）17.已知全集，集合，．求：，；【答案】，【解析】【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以?18.已知函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的值域．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）直接代入即可求出值；（2）求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域即可得到答案.【小問1詳解】因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，則，又且，所以．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以的值域?yàn)椋?9.已知集合．（1）若，求；（2）若是成立的充分不必要條件，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出和集合，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)真子集，即可列不等式求解.【小問1詳解】由得，故，由得，因?yàn)?，故，若，則，所以；【小問2詳解】若是成立的充分不必要條件，則ü， 則有解得，此時(shí)滿足ü，所以的取值范圍是．20.已知函數(shù)．（1）若的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得結(jié)果；（2）將所求不等式化為，分別在和的情況下解不等式即可.【小問1詳解】由題意知：在上恒成立，，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問2詳解】由得：；當(dāng)時(shí)，的解為或；當(dāng)時(shí)，的解為或；綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.21.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)?并求最大利潤(rùn).【答案】（1）年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬元；（2）年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860 萬元.【解析】【分析】（1）列出式子，通過基本不等式即可求得；（2）將式子化簡(jiǎn)后，通過二次函數(shù)的角度求得最大值.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取“=”，符合題意；∴年產(chǎn)量為100噸時(shí)，平均成本最低為16萬元.（2）又，∴當(dāng)時(shí)，.答：年產(chǎn)量為110噸時(shí)，最大利潤(rùn)為860萬元.22.已知函數(shù)為定義在的奇函數(shù)，且滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷的單調(diào)性，并利用定義加以證明；（3）若對(duì)，都有對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）增函數(shù)，證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出，，再檢驗(yàn)是否滿足奇函數(shù)的定義即得解；（2）函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明；（3）分析得到對(duì)任意的恒成立，解不等式組即得解.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)， 可得，即，解得：，又因?yàn)?，所以，綜上所述，，所以，因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以為定義在的奇函數(shù)，所以.【小問2詳解】函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：任取，則因?yàn)?，所以，，可得，即，故在上為增函?shù).【小問3詳解】由（2）可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，由于對(duì)恒成立，則，即對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，其中，所以，即，解得：或或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.