江蘇省南京市六校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023-2024學(xué)年高一第一學(xué)期期中六校聯(lián)合調(diào)研試題數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.2.下列各組表示同一函數(shù)的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)法則不同，BD選項(xiàng)，定義域不同，C選項(xiàng)，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.【詳解】A選項(xiàng)，，故不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故不是同一函?shù)，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，且的定義域都為，故是同一函數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，D錯(cuò)誤.故選：C3.已知函數(shù)，則=（）A.1B.3C.-3D.-1【答案】B【解析】【分析】計(jì)算出，從而求出.【詳解】，.故選：B4.“”是“”的（）條件A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)可判斷充分性，舉反例可判斷必要性.【詳解】由不等式性質(zhì)可知，若，則有， 取，顯然，但不滿足，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B5.已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：.6.函數(shù)的圖象大致是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)值求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函數(shù)為偶函數(shù)，C,D錯(cuò)誤；又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤，B滿足題意；故選:B.7.設(shè)是偶函數(shù)，且對(duì)任意的、，有，，則的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的單調(diào)性，由可得，分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出原不等式的解集.【詳解】對(duì)任意的、，有，不妨設(shè)，則，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則該函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，則，由知，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得， 所以，不等式的解集為.故選：D.8.任何正實(shí)數(shù)N可以表示成，此時(shí)，則在小數(shù)點(diǎn)后第（）位開始出現(xiàn)非零數(shù)字？（參考數(shù)據(jù)：）A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】計(jì)算的值,由此確定的位數(shù).【詳解】在小數(shù)點(diǎn)后第7位開始出現(xiàn)非零數(shù)字.故選：D.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，若，，，則下列不等式正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】依題意可得且，再根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以且，則，故A、C正確；所以，所以，故D正確；當(dāng)，時(shí)滿足且，但是，故B錯(cuò)誤；故選：ACD10.設(shè)函數(shù)、的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是（） A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)【答案】BD【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以，函?shù)是偶函數(shù)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，令，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為奇函數(shù)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，則該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，是偶函?shù)，D對(duì).故選：BD.11.下列選項(xiàng)中正確的有（）A.若集合，且，則實(shí)數(shù)的取值所組成的集合是.B.若不等式的解集為，則不等式的解集為.C.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是. D.已知一元二次方程的兩根都在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，利用分類討論思想，建立方程，可得答案；對(duì)于B，根據(jù)一元二次不等式與方程的關(guān)系，利用韋達(dá)定理，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)函數(shù)定義域的定義，建立不等式，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)一元二次方程的根的判別式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，方程無解，則；當(dāng)時(shí)，由方程，解得，可得或，解得或，綜上所述，解集為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可知：方程的解為，且，由韋達(dá)定理可得，，則，，解得，，則不等式為由，則不等式變?yōu)?，解得，故B正確；對(duì)于C，由題意可得，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則，解得，所以其定義域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，由題意可得，解得或，設(shè)，其對(duì)稱軸為，則，解得，，，解得，綜上所述，的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.12.已知定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，下列說法正確的是（????） A.的值域?yàn)锽.在上為減函數(shù)C.在上有唯一的零點(diǎn)D.若方程有4個(gè)不同的解，且，則的取值范圍是【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意作出函數(shù)圖象，借助數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】由知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)且時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下：由圖象知，的值域?yàn)?，故選項(xiàng)A正確；在上為增函數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；是在上的唯一零點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，作出函數(shù)的圖象如圖所示，要使方程有4個(gè)不同的解，則.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，所以.由得，其關(guān)于直線的對(duì)稱值為，故，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 故答案為：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷選項(xiàng)A,B,C關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，因?yàn)榈膱D象關(guān)于關(guān)于直線對(duì)稱，所以只需分析并作出時(shí)的函數(shù)圖象再關(guān)于直線對(duì)稱即可；判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和確定的取值范圍，先求解在上的根，再根據(jù)對(duì)稱性變換即可.第II卷（非選擇題共90分）三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若命題“，使得”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】或【解析】【分析】分析可得出，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)槊}“，使得”是真命題，則，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或.14.函數(shù)的值域是_____.【答案】【解析】【分析】利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.【詳解】換元法：令，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減， 所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋春瘮?shù)的值域是，故答案為:.15.若實(shí)數(shù)滿足，且，則實(shí)數(shù)值為__________.【答案】【解析】【分析】現(xiàn)結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化公式，表示出，再結(jié)合換底公式表示出，最后結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解【詳解】由可得，又，即，求得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化，換底公式的用法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題16.已知函數(shù)，，若，，使得，則的取值范圍是______.【答案】##【解析】【分析】由題意可得.后確定最小值，通過討論確定函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而確定最小值，計(jì)算即可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，若，，使得，所以，，令，因?yàn)?，所以?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上的最小值為，的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，解得；當(dāng)時(shí)，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最小值為，所以，解得；當(dāng)時(shí)，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)槌闪?，所以；綜上所訴：的取值范圍是.故答案為：.四?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.計(jì)算下列各式：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、根式的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)恒等式計(jì)算可得出所求代數(shù)式的值；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得所求代數(shù)式的值.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】 原式.18.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2），，若是的必要且不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求出集合，利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合；（2）求出集合，分析可知，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，則或，又因?yàn)?，?【小問2詳解】因?yàn)?，則，則，所以，，因?yàn)槭堑谋匾也怀浞謼l件，則，所以，，解得當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上所述，.19.已知.（1）求的最小值 （2）求的最小值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到，從而利用基本不等式“1”的妙用即可得解；（2）法一：利用換元法，結(jié)合基本不等式即可得解；法二：用表示，再利用配湊法，結(jié)合基本不等式即可得解.【小問1詳解】由得，即，，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得“=”，所以的最小值為.【小問2詳解】法一：令，則，，故由可得，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取“=”，所以的最小值為2. 法二：由可得，又，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得“=”，所以的最小值為2.20.從以下三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)條件，“①設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且；②已知；③若是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，”，并解答問題：（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．）（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并用定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）條件選擇見解析，答案見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）選①，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得出關(guān)于、的方程組，即可解得函數(shù)的解析式；選②，由，得出，即可解出函數(shù)的解析式；選③，由，得，可求出的表達(dá)式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)在時(shí)解析式，即可得出函數(shù)的解析式；（2）任取、且，作差，因式分解后判斷 的符號(hào)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證得結(jié)論成立；（3）利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，以及，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：若選①，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以可得，所以，，解得；若選②，因?yàn)椋瑒t，聯(lián)立方程組，解得；若選③，因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，.【小問2詳解】證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，任取、且，即，則，， 則，所以，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】解：由（2）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，則，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用．根據(jù)檢測發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用．已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為；對(duì)右腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為，且當(dāng)時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為.（1）求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和關(guān)于的表達(dá)式；（2）求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可的，將代入函數(shù)解析式，求出的值，（2）將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的值，利用等號(hào)成立的條件求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意，得， 將代入，得：，得，故.【小問2詳解】解：因?yàn)?，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和的最小值為.22.設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；（2）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；（3）求在上的最大值.【答案】22.奇函數(shù)，理由見解析；23.；24.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行判斷；（2）將寫成分段函數(shù)并得到單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)在上為增函數(shù)，列出不等式組進(jìn)行求解；（3）分類討論情況下在上的最大值.【小問1詳解】 是R上的奇函數(shù)，理由如下：定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，所以為R上的奇函數(shù).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，時(shí)，對(duì)稱軸為則在上減函數(shù)，上為增函數(shù)，上為減函數(shù)因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍為.【小問3詳解】由（2）知在上為減函數(shù)，上為增函數(shù)，上為減函數(shù)當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.