湖北省武漢市武昌區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）.docx

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武昌區(qū)2024屆高三年級上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷本試題卷共4頁，共22題.滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“有些三角形是直角三角形”的否定為（）A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是銳角三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)命題否定的相關(guān)概念直接求解.【詳解】由命題否定的概念可知，命題“有些三角形是直角三角形”的否定為“所有三角形都不是直角三角形”.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運算求出，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的意義求解即得.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】依題意，，則，所以.故選：C.3.已知正數(shù)，滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基本不等式直接計算即可.【詳解】由題意得，，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故選：C4.已知，則（）A.2B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，代入依次計算即得.【詳解】函數(shù)，所以.故選：D5.已知集合，若，則集合可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合并集的運算對選項逐一分析驗證即可.【詳解】若，則，，A不合題意；第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 若，則，，B不合題意；若，則，，C不合題意；若，則，，D符合題意；故選：D.6.為了解決化圓為方問題，古希臘數(shù)學(xué)家希皮亞斯發(fā)明了“割圓曲線”，若割圓曲線的方程為，，則（）A.有最大值B.有最小值C.隨的增大而增大D.隨的增大而減小【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)知識直接求解判斷即可.【詳解】由，，則，因為，所以，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，則，所以在單調(diào)遞減，即隨的增大而減小，且無最值.故選：D第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 7.已知函數(shù)，，若函數(shù)在上存在最大值，但不存在最小值，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意分類討論和兩種情況，結(jié)合題目中所給區(qū)間的開和閉以及三角函數(shù)圖象相關(guān)知識求解答案即可.【詳解】若，則，又因為，函數(shù)在上存在最大值，但不存在最小值，所以當(dāng)，即時，只需滿足，此時，當(dāng)，即時，函數(shù)一定存在最大值，要讓函數(shù)無最小值，則，此時，綜上，，即的取值范圍是.故選：D8.已知是坐標(biāo)原點，過拋物線上異于的點作拋物線的切線交軸于點，則的外接圓方程為（）A.B.C.D.【答案】A第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】【分析】先求得的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得的外接圓的一般方程.【詳解】設(shè)過拋物線上異于的點的切線為，又交軸于點，則，則，整理得，則，即則有，可化為解之得，則，則設(shè)的外接圓方程為，則，解之得的外接圓方程為，即.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.對于隨機(jī)變量，下列說法正確的有（）第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A.若，則B.若，則C.若，則D若，則【答案】ABD【解析】分析】根據(jù)期望和方差變換公式和二項分布、正態(tài)分布相關(guān)概念求解即可.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則，故C錯誤；對于D，若，則，故D正確.故選：ABD10.已知不重合的直線，，和平面，，則（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線和平面相關(guān)性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】對于A，根據(jù)平行傳遞性可知，若，，則，故A正確；對于B，若，，則可能出現(xiàn)，或，或相交但不垂直，或異面但不垂直，故B錯誤；對于C，若，，，，則或相交，故C錯誤；對于D，根據(jù)面面垂直判定定理可知，若，，則，故D正確.故選：AD第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 11.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，則（）A.B.C.存在，使得D.數(shù)列單調(diào)遞增，且對任意，都有【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得和的值，可判定A正確；根據(jù)數(shù)列的遞推公式，化簡得到，即數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而得到，可判定B正確；結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，可判定C錯誤；根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，可判定D正確.【詳解】對于A中，由，滿足，因為，可得，當(dāng)時，可得，解得，；當(dāng)時，可得，解得，；可得，所以A正確；對于B中，由數(shù)列滿足，當(dāng)時，，兩式相減得，整理得，第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，又由，則，，所以，所以B正確；對于C中，因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，所以C不正確；對于D中，由數(shù)列滿足，則，所以數(shù)列為遞增等比數(shù)列，且，所以D正確.故選：ABD.12.已知，是曲線上不同的兩點，為坐標(biāo)原點，則（）A.的最小值為1B.C.若直線與曲線有公共點，則D.對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在，兩點處的切線垂直【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題中曲線表達(dá)式去絕對值化簡，根據(jù)幾何意義判斷A，舉出反例判斷B，數(shù)形結(jié)合判斷C，根據(jù)圖形特征以及切線概念判斷D.【詳解】當(dāng)時，原方程即，化簡為，軌跡為橢圓.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 將代入，則，則此時，即此部分為橢圓的一半.同理當(dāng)時，原方程即，化簡為.將代入，則或，則此時，即此部分為圓的一部分.作出曲線的圖形如下：對于A，最小值表示曲線上一點到原點的最小距離的平方，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時取得，當(dāng)時，最小值為，當(dāng)時取得，則最小值為，故A正確；對于B，當(dāng)時，，顯然B選項錯誤；對于C，直線經(jīng)過定點，當(dāng)時，直線經(jīng)過橢圓下頂點，如圖，第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 顯然，存在，使得直線與曲線有兩個公共點，故C錯誤；對于D，如圖，對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，則曲線在點處的切線斜率可以取任何非零實數(shù)，曲線在橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零實數(shù)，使得兩切線斜率為負(fù)倒數(shù)，所以對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在，兩點處的切線垂直，故D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：本題考查解析幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)的運算與轉(zhuǎn)化，運用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等知識，用坐標(biāo)運算求解答案.三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)為所在平面內(nèi)一點，滿足，則______.【答案】0【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律，結(jié)合向量的加減法計算即得.【詳解】由，得，則，由，得，則，于是，所以.故答案為：014.若點在圓上，則過的圓的切線方程為______.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】利用垂直直線的斜率關(guān)系和直線方程相關(guān)概念直接求解.【詳解】因為點在圓上，所以過的圓的切線方程和垂直，因為，，所以，所以切線方程斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：15.楷書也叫正楷、真書、正書，是從隸書逐漸演變而來的一種漢字字體，其書寫特點是筆畫嚴(yán)整規(guī)范、線條平直自然、結(jié)構(gòu)勻稱方正、運筆流暢有度，《辭?！方忉尶瑫靶误w方正，筆畫平直，可作楷?！?，故名楷書.楷書中豎的寫法有垂露豎、懸針豎和短豎三種，小君同學(xué)在練習(xí)用楷書書寫“十”字時，豎的寫法可能隨機(jī)選用其中任意一種，現(xiàn)在小君一行寫了5個“十”字，若只比較5處豎的寫法，不比較其它筆畫，且短豎不超過3處，則不同的寫法共有______種.（用數(shù)字作答）【答案】232【解析】【分析】根據(jù)題意分類討論短豎有幾處，結(jié)合組合相關(guān)概念計算即可.【詳解】當(dāng)短豎為3處時，不同寫法有，當(dāng)短豎為2處時，不同寫法有，當(dāng)短豎為1處時，不同寫法有，當(dāng)短豎為0處時，不同寫法有，一共有種不同寫法.故答案為：23216.棱長為10cm的密閉正四面體容器內(nèi)裝有體積為的水，翻轉(zhuǎn)容器，使得水面至少與2條棱平行，且水面是三角形，不考慮容器厚度及其它因素影響，則水面面積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】首先分水面平行于一組對棱和水面平行于正四面體的一個面兩種情況，舍去前一種情況，結(jié)合正四面體幾何特征求出其體積，根據(jù)相似關(guān)系得到棱長比，進(jìn)而求出面積即可.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】若水面至少與2條棱平行，且這兩條棱不共面，即兩條棱為對棱時，如圖所示，若水面平行與，不妨取特殊情況討論，記中點分別為，則，，則四邊形為平行四邊形，即水面形狀平行四邊形，不符合題意；則水面至少平行的2條棱相交共面，不妨設(shè)水面為，下求正四面體體積，如圖所示，即中點為，連接，設(shè)平面，則是三等分點，因為正四面體棱長為10，所以，，則，所以，如下圖所示，正四面體容器倒放時，棱錐部分為水體部分，第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 設(shè)，則，則，則，所以水面面積；如下圖所示，正四面體容器正放時，棱臺部分為水體部分，設(shè)，則，則，水面面積更大，不符合.綜上，水面面積的最小值為.故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用.解決立體幾何問題的常見方法有：（1）定義法，通過相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理直接求解；（2）空間向量法，運用空間向量進(jìn)行基底轉(zhuǎn)化或者運用坐標(biāo)法結(jié)合公式求解；（3）轉(zhuǎn)化法，通過轉(zhuǎn)化與化歸，將所求長度或角度轉(zhuǎn)化求解.四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知分別為的內(nèi)角的對邊，且.（1）求；（2）若，的面積為2，求.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理代入化簡，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理代入求解即可.【小問1詳解】在中，由余弦定理得，，代入，則，即，即，因為，且時上式不成立，所以，所以，則【小問2詳解】因為的面積為2，所以，即，又因為，，，所以，則，則18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，為的中點，點，分別在棱，上，，.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求證；；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）借助（1）中坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，而平面，則，顯然，則，即直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，得，，顯然，因此，所以.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【小問2詳解】由（1）知，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然平面的一個法向量，于是，顯然平面與平面所成二面角為銳角，所以平面與平面所成二面角的余弦值為.19.數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，具備較好的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)一般體現(xiàn)為在運算中算法合理、計算準(zhǔn)確、過程規(guī)范、細(xì)節(jié)到位，為了診斷學(xué)情、培養(yǎng)習(xí)慣、發(fā)展素養(yǎng)，某老師計劃調(diào)研準(zhǔn)確率與運算速度之間是否有關(guān)，他記錄了一段時間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：項目速度快速度慢合計準(zhǔn)確率高102232準(zhǔn)確率低111728合計213960（1）依據(jù)的獨立性檢驗，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運算速度相關(guān)？（2）為鼓勵學(xué)生全面發(fā)展，現(xiàn)隨機(jī)將準(zhǔn)確率高且速度快的10名同學(xué)分成人數(shù)分別為3，3，4的三個小組進(jìn)行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中，求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 其中.【答案】（1）依據(jù)的獨立性檢驗，數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運算速度無關(guān)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)獨立性檢驗相關(guān)知識直接計算判斷即可；（2）記“甲在3人一組”為事件，記“甲在3人一組，且乙在4人一組”為事件，根據(jù)題意分別求出兩事件概率，結(jié)合條件概率公式求解甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率即可.【小問1詳解】零假設(shè)數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運算速度無關(guān)，，依據(jù)的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運算速度無關(guān)【小問2詳解】記“甲在3人一組”為事件，則需從除甲以外的9人中任選2人與甲形成一組，再從剩下7人中任選3人形成一組，最后4人形成一組，所以，記“甲在3人一組，且乙在4人一組”為事件，則需從除甲、乙以外的8人中任選2人與甲形成一組，再從剩下6人中任選3人與乙形成一組，最后3人形成一組，所以，由條件概率公式，則，即甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率為第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 20.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若表示不超過的最大整數(shù)，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式整理等式，利用等差中項，可得答案；（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得首項與公差，結(jié)合求和公式，可得答案.【小問1詳解】由，則，當(dāng)時，可得，兩式相減可得，，，，，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.【小問2詳解】當(dāng)時，，則等差數(shù)列的首項為，公差為，所以，由，則，即，解得.21.已知雙曲線（，），點是的右焦點，的一條漸近線方程為第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 .（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與的右支交于兩點，以為直徑的圓記為，是否存在定圓與圓內(nèi)切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，方程為【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線焦點和漸近線求出基本量即可得到方程；（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合圓的相關(guān)概念求得圓方程，結(jié)合對稱性得到定圓圓心的位置，設(shè)出定圓方程，結(jié)合兩圓內(nèi)切的概念列出方程求解即可.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，因為點是的右焦點，的一條漸近線方程為所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】存在定圓滿足題意，方程，理由如下：因為過點的直線與的右支交于兩點，所以直線斜率不為0，設(shè)直線方程為，，第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由，得，，，，所以，，由直線與的右支交于兩點可知，解得，又因為，所以圓的方程為，由對稱性可知，若存在定圓與圓相內(nèi)切，則定圓圓心一定在軸上，不妨設(shè)定圓方程為，則由圓與圓相內(nèi)切可知，，即，整理得，，因為上式與無關(guān)，所以，解得，所以存在定圓滿足題意【點睛】方法點睛：本題考查解析幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；（2第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)的運算與轉(zhuǎn)化，運用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等知識，用坐標(biāo)運算求解答案.22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若有且僅有1個零點，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可；（2）結(jié)合第一問將分為三種情況：當(dāng)時，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值可判定此時零點個數(shù)；當(dāng)時，通過取點及適當(dāng)放縮分別計算的正負(fù)，判定此時函數(shù)零點的個數(shù)；當(dāng)時，通過函數(shù)的單調(diào)性得出，從而確定始終為負(fù)即可.【小問1詳解】時，，所以，則，所以在處的切線方程為；【小問2詳解】①由上知時，，有，令，即在上單調(diào)遞增，又，，所以時，，時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，此時只有一個零點，符合題意；②當(dāng)時，，且，第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，設(shè)，顯然時，即此時單調(diào)遞增，時，此時單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以根據(jù)零點存在性定理可知使得，又，易知，所以，由上證得，即，故使得，所以此時至少存在兩個零點，不符題意；③時，，由①可知，所以此時無零點，不符合題意；綜上所述時，有且僅有1個零點.【點睛】難點點睛：通過第一問將參數(shù)分成三種情況討論.第一個難點在于時的合適取點即及符號的判定，在計算函數(shù)值符號時用到了常用函數(shù)放縮公式，第二個難點在于時，通過對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定再結(jié)合時的結(jié)論判定函數(shù)值符號.關(guān)于取點技巧需要多加練習(xí)，放縮公式要多加積累.第22頁/共22頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司