安徽省部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 Word版含解析.docx

《安徽省部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末測(cè)試數(shù)學(xué)試卷 Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

高一數(shù)學(xué)試卷（人教版A）本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂照.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用列舉法表示出集合A，再利用元素與集合、集合與集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，，所以，，B錯(cuò)誤，D正確；顯然，，AC錯(cuò)誤.故選：D2.（）A.4B.6C.8D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)運(yùn)算、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化及換底公式計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B 3.中文“函數(shù)”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，下列選項(xiàng)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】【分析】利用同一函數(shù)定義，逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)定義域不同，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)榛?，兩個(gè)函數(shù)定義域不同，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋?，兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，C是；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)定義域不同，D不是.故選：C4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正切函數(shù)定義求出，再利用二倍角公式結(jié)合齊次式法及和角的正弦公式求解即得. 【詳解】依題意，，則，所以.故選：C5.已知“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，分離參數(shù)，借助二次函數(shù)求出最小值即得.【詳解】“，”為真命題，則“，”為真命題，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A6.函數(shù)在上的大致圖象為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)的奇偶性，結(jié)合即可判斷得解. 【詳解】依題意，，因此函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除AB；又，選項(xiàng)C不滿足，D符合題意.故選：D7.《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長(zhǎng)的近似計(jì)算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對(duì)弦AB的長(zhǎng)，“矢”是指所在圓O的半徑與圓心O到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓O的直徑.若扇形的弦，扇形的圓心角為，利用上面公式，求得該扇形的弧長(zhǎng)的近似值與實(shí)際值的誤差為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等腰三角形性質(zhì)求出圓半徑及點(diǎn)到弦的距離并求出，再由弧長(zhǎng)公式求出的實(shí)際值即可計(jì)算得解.【詳解】取弧的中點(diǎn)，連接交于，則是的中點(diǎn)，且，在等腰中，，則，圓半徑，，，因此，而扇形弧長(zhǎng)的實(shí)際值為， 所以該扇形的弧長(zhǎng)的近似值與實(shí)際值的誤差為.故選：B8.定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用的奇偶性與單調(diào)性得到在上單調(diào)遞增與，再分類討論的取值范圍，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，，因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，即，所以，即，解得，故；當(dāng)，即時(shí)，，即，所以，即或，解得或，故；綜上：或.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算得解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】 【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式性質(zhì)判斷A；舉例說明判斷BCD.【詳解】由及在R上單調(diào)遞增，可得，A正確；取，滿足，而，B錯(cuò)誤；由，知是否是非負(fù)數(shù)不確定，當(dāng)時(shí)，不等式無意義，C錯(cuò)誤；取，滿足，而，D錯(cuò)誤.故選：BCD10.已知集合，，則（）A.集合B.C.集合可能D.可能是B的子集【答案】ABD【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A，由已知結(jié)合集合運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】集合，，則，，AB正確；顯然，即，而是的真子集，C錯(cuò)誤；由于，，因此可能是B的子集，D正確.故選：ABD11.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（） A.B.的解析式為C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D.的單調(diào)遞減區(qū)間是，【答案】ABD【解析】【分析】先利用三角函數(shù)的圖象求得的解析式，再利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)與正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】依題意，由圖象可知，，則，故A正確；因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以，則，即，又，則，所以，將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，故B 正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則且B.若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則且C.若函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，則且D.若函數(shù)在的最大值為1，則且【答案】AB【解析】【分析】分類探討分段函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)及最大值逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，函數(shù)值集合；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得且，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上最多一個(gè)零點(diǎn)，由函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，得函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，因此且，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)且時(shí)，函數(shù)也只有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，由于函數(shù)在的最大值為1，則在上不能單調(diào)遞減，即，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，若，即，則在上單調(diào)遞減，，此時(shí)在的最大值為1，因此，若，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，必有，解得，則，此時(shí)在的最大值為1，因此，綜上所述，函數(shù)在的最大值為1，則且，D錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于分段函數(shù)的單調(diào)性，有兩種基本的判斷方法：一保證各段上同增(減)時(shí)，要注意上、下段間端點(diǎn)值間的大小關(guān)系；二是畫出這個(gè)分段函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象、性質(zhì)進(jìn)行直觀的判斷．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么的解析式為______；不等式的解集為______.【答案】①.②.【解析】【分析】利用冪函數(shù)過的點(diǎn)求出的解析式，再利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，依題意，，即，因此，解得，所以函數(shù)的解析式為；顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，于是不等式為：，解得，即或，所以不等式的解集為.故答案為：；14.若，，，，則______. 【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式及和差角的余弦公式計(jì)算得解.【詳解】由，，得，而，，則，，因此，，所以.故答案為：15.已知函數(shù)，若，，且，則的最小值為______.【答案】36【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，由此求出的關(guān)系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【詳解】函數(shù)中，，，則函數(shù)的定義域?yàn)?，而，則函數(shù)是奇函數(shù)，顯然函數(shù)在上都單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，由，得，則，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為36. 故答案為：3616.已知直線與函數(shù)（，）的圖象所有交點(diǎn)之間的最小距離為2，且其中一個(gè)交點(diǎn)為，則函數(shù)的圖象與函數(shù)（）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正切函數(shù)的圖象性質(zhì)求出，確定函數(shù)與共同具有的性質(zhì)，再借助圖象求解即可.【詳解】依題意，函數(shù)的最小正周期為2，則，解得，于是，由，得，而，取，因此，顯然，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖象，觀察圖象知，兩個(gè)函數(shù)在的圖象共有4個(gè)公共點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故答案為：6【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定的性質(zhì)求解解析式，一般是求出周期定，由圖象上特殊點(diǎn)求. 四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計(jì)算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)換底公式計(jì)算即得.（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)換底公式計(jì)算即得.【小問1詳解】.【小問2詳解】.18.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用差角的正切公式求出，再利用齊次式法計(jì)算即得. （2）利用同角公式求出，再利用二倍角公式計(jì)算即得.小問1詳解】由，得，解得，所以.【小問2詳解】由，得，則，由，得，而，解得，于是，又，則，所以.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，總有成?若時(shí)，.（1）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求解關(guān)于x的不等式的解集.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用單調(diào)性的定義結(jié)合已知即可證明；（2）利用賦值法求出，根據(jù)已知結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將不等式化得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【小問1詳解】在上單調(diào)遞減，證明如下： 因?yàn)?，，總有成立，?dāng)時(shí)，，，且，則，則，即，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)橐驗(yàn)?，，總有成立，所以，則，因?yàn)?，所以，所以不等式可化為，所以，解?所以不等式的解集為.20.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求a，b的值；（2）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）根據(jù)已知結(jié)合三個(gè)二次之間的關(guān)系，列出關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求得，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)椋业慕饧癁?，所以?是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，且，由韋達(dá)定理可得，解得，故，.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，則可化為，整理可得，令，，所以，則上式可化為在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，故，所以， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.21.某學(xué)校校園內(nèi)有一個(gè)扇形空地AOB（），該扇形的周長(zhǎng)為，面積為，現(xiàn)要在扇形空地AOB內(nèi)部修建一矩形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館CDEF，如圖所示.（1）求扇形空地AOB的半徑和圓心角；（2）取CD的中點(diǎn)M，記.（i）寫出運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館的面積S與角的函數(shù)關(guān)系式；（ii）求當(dāng)角為何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館的面積最大？并求出最大面積.【答案】（1）扇形空地AOB的半徑為10，圓心角為；（2）（i），；（ii），.【解析】【分析】（1）利用扇形弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式列出方程求解并驗(yàn)證即得.（2）（i）借助直角三角形的邊角關(guān)系求出函數(shù)關(guān)系式；（ii）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【小問1詳解】設(shè)扇形空地所在圓半徑為，扇形弧長(zhǎng)為，依題意，，解得或，當(dāng)時(shí)，圓心角，不符合題意，當(dāng)時(shí)，圓心角，符合題意，所以扇形空地AOB的半徑為10，圓心角為.【小問2詳解】 （i）由（1）知，，則，在中，，則，中，，，于是，所以，.（ii）由（i）知，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)館的面積最大，最大面積為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)求解即得.22.已知函數(shù)（，，）是定義在上的奇函數(shù).（1）求和實(shí)數(shù)b的值；（2）若滿足，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；（3）若，問是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)定義域內(nèi)的一切t，都有恒成立？【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）存在，.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合奇函數(shù)的定義求解即得.（2）按分類，利用單調(diào)性解不等式即得.（3）利用奇函數(shù)及意識(shí)性脫去法則，轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式組，再借助二次函數(shù)分類求解.【小問1詳解】 依題意，，又是上的奇函數(shù)，則，即，亦即，整理得，于是，而，所以.【小問2詳解】由（1）知，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)及，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，不等式化為，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式化為，解得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【小問3詳解】假定存在實(shí)數(shù)m，對(duì)定義域內(nèi)的一切，都有恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式化為，整理得，于是有對(duì)任意恒成立，則，當(dāng)時(shí)，，因此；有對(duì)任意恒成立，設(shè)，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸， （i）當(dāng)，即時(shí)，必有，則；（ii）當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，則；（iii）當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，則；②當(dāng)時(shí)，，不滿足在上恒成立，綜上得且，所以存在使得對(duì)定義域內(nèi)的一切，都有恒成立.