浙江省嘉興市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末檢測數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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嘉興市2023~2024學(xué)年高一第一學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題本試題卷共6頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意：1．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由交集的定義求解即可.【詳解】因為集合，所以.故選：B.2.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式，求解即可.【詳解】由誘導(dǎo)公式，且，可得，即.故選：D. 3.已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式可求得的值.【詳解】因為，則.故選：B.4.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用作差法，得出的等價條件，再分析充分性和必要性，即可得出結(jié)論.【詳解】由于，則成立，等價于成立，充分性：若，且，則，則，所以成立，滿足充分性；必要性：若，則成立，其中，且，則可得成立，即成立，滿足必要性；故選：C.5.已知都是銳角，，則（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合同角三角關(guān)系以及兩角和差公式運算求解.【詳解】因為都是銳角，則，則，所以.故選：B.6.設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】化簡各選項中函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出合適的選項.【詳解】因為，對于A選項，，令，該函數(shù)的定義域為，，則為奇函數(shù)，A滿足要求；對于B選項，，令，該函數(shù)的定義域為，則，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，B不滿足條件； 對于C選項，，令，該函數(shù)的定義域為，則，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，C不滿足條件；對于D選項，，令，該函數(shù)的定義域為，則，所以，函數(shù)不是奇函數(shù)，D不滿足要求.故選：A.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是等腰直角三角形，為圖象與軸的交點，為圖象上的最高點，且，則（）AB.C.在上單調(diào)遞減D.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)為圖象上的最高點，且點的縱坐標為1，為等腰直角三角形可以求出，進而求出周期，即求出，將點代入即可求出，從而確定函數(shù)解析式，再逐項判斷.【詳解】由為等腰直角三角形，為圖象上的最高點，且點的縱坐標為1，所以．則函數(shù)的周期為4，由，，可得， 又，所以，則，將點代入，得，則，．而，則，所以,則，A錯誤；，B錯誤；若，則，顯然函數(shù)不是單調(diào)的，C錯誤；，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，D正確.故選：D.8.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得出，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，即可得出，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】因為函數(shù)、均為上的增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，，因為，其中，所以，，故， 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故最大值為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵在于利用指對同構(gòu)思想結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得出，將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以為自變量的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（）A.B.的圖象經(jīng)過點C.在上單調(diào)遞增D.不等式的解集為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，代入法確定函數(shù)解析式，從而依次判斷選項即可.【詳解】由冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則，得，所以冪函數(shù)，所以A正確；又，即的圖象經(jīng)過點，B正確；且在上單調(diào)遞增，C正確；不等式，即，解得，D錯誤.故選：ABC.10.已知，，且，則（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】利用特殊值法可判斷A選項；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B選項；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項；利用基本不等式結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項. 【詳解】對于A選項，取，，則，A錯；對于B選項，因為，，且，則，可得，所以，，則，因為，B錯；對于C選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，C對；對于D選項，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，，D對.故選：CD.11.已知函數(shù)，值域為，則（）A.B.的最大值為1C.D.，使得函數(shù)的最小值為【答案】AB【解析】【分析】對于A，利用換元法與二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于B，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于C，利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于D，結(jié)合ABC選項的結(jié)論，求得，從而得以判斷.【詳解】對于A，因為，故今，則，當(dāng)時，，因為，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以，故A正確；對于B，因為，，則且，故，當(dāng)且僅當(dāng)或時，，所以最大值為1，故B正確；對于C；因為，，則，即，所以，由選項B又知與的最大值都為，所以，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，因為，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以當(dāng)時，，又，易知，故不可能存在使最小值為，故D錯誤.故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，從而得解.12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）A.B.C.D.為偶函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得可判斷A；由可得，列方程組，解出 可判斷B；由函數(shù)的周期性、對稱性和對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)可判斷C；由得可判斷D.【詳解】選項A：因為為奇函數(shù)，所以，即關(guān)于對稱，又是定義在上的函數(shù)，則，故A正確；選項B：由可得，則有，故B正確；選項C：因為，所以，即的周期為4；因為，即，所以；因為關(guān)于對稱，所以，則，故C錯誤；選項D：由得，即為偶函數(shù)，故D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對稱，（2）關(guān)于中心對稱，（3）的一個周期為，（4）的一個周期為.可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.一個扇形的弧長和面積都是，則這個扇形的半徑為________． 【答案】【解析】【分析】由扇形的面積公式求解即可.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，所以，，解得：.故答案為：.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.詳解】，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.15.海洋潮汐是在太陽和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的現(xiàn)象．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，?？看a頭；在落潮時離開港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（單位：）與時間（單位：）之間滿足關(guān)系式：，且當(dāng)?shù)爻毕兓闹芷跒椋F(xiàn)有一艘貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為，安全條例規(guī)定至少要有的安全間隙（船底與洋底的距離）．若該船計劃在當(dāng)天下午到達港口，并在港口?？恳欢螘r間后于當(dāng)天離開，則它最多可停留________h．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)周期性可得，令，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析求解即可.【詳解】由題意可得：，則，令，則， 可得，解得，設(shè)該船到達港口時刻為，離開港口時刻為，可知，則，即，所以最多可停留時長為小時.故答案為：.16.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】令，則只有一個零點，即，據(jù)此即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，令，則只有一個零點，且該零點為正數(shù)，，根據(jù)函數(shù)和的圖象及凹凸性可知，只需滿足即可，即：，又因為，所以實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題令，則只有一個零點，即的分析.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.已知集合．（1）求集合；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求解，從而可得或，從而可求解.（2）分別求出，，再利用集合的并集運算從而可求解.【小問1詳解】由題意得，解得或，所以或.【小問2詳解】由（1）可得，，所以.18.如圖，以為始邊作角與，它們的終邊與單位圓分別交于、兩點，且，已知點的坐標為．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由三角函數(shù)的定義可得出的正弦值和余弦值，分析可得，利用誘導(dǎo)公式可求得的值，由此可得出的值；（2）利用誘導(dǎo)公式求出的值，可求得的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值.【小問1詳解】解：由三角函數(shù)的定義可得，，將因為，且角、終邊與單位圓分別交于、兩點，且，結(jié)合圖形可知，，故.故.【小問2詳解】解：由（1）可知，且，故，根據(jù)二倍角公式得．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域，并根據(jù)定義證明函數(shù)是增函數(shù)；（2）若對任意，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）定義域為，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于零，可得出關(guān)于的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立； （2）分析可知，，由可得出，結(jié)合參變量分離法可得出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：對于函數(shù)，則，可得，所以，函數(shù)的定義域為，證明單調(diào)性：設(shè)，則有，，由于，所以，，，并且，則，于是，所以，即：，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．【小問2詳解】解：當(dāng)時，，所以不等式恒成立等價于對任意的恒成立，等價于在恒成立． 由可得，所以，，則，于是實數(shù)的取值范圍是．20.噪聲污染問題越來越受到人們重視．我們常用聲壓與聲壓級來度量聲音的強弱，其中聲壓（單位：）是指聲波通過介質(zhì)傳播時，由振動帶來的壓強變化；而聲壓級（單位：）是一個相對的物理量，并定義，其中常數(shù)為聽覺下限閾值，且．（1）已知某人正常說話時聲壓的范圍是，求聲壓級的取值范圍；（2）當(dāng)幾個聲源同時存在并疊加時，所產(chǎn)生的總聲壓為各聲源聲壓的平方和的算術(shù)平方根，即．現(xiàn)有10輛聲壓級均為的卡車同時同地啟動并原地急速，試問這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級是多少？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因為是關(guān)于的增函數(shù)結(jié)合聲壓的范圍是，即可得出答案；（2）由題意可得出求出，代入可求出總聲壓，再代入，求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；因為是關(guān)于的增函數(shù)，所以正常說話時聲壓級．【小問2詳解】 由題意得：（其中）總聲壓：故這10輛車產(chǎn)生的噪聲聲壓級．21.設(shè)函數(shù)，若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到曲線，則曲線關(guān)于軸對稱．（1）求的值；（2）若直線與曲線在區(qū)間上從左往右僅相交于三點，且，求實數(shù)的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：利用三角恒等變換化簡可得，根據(jù)圖象變換結(jié)合對稱性分析求解；方法二：利用三角恒等變換化簡可得，由題意可知函數(shù)關(guān)于直線對稱，根據(jù)對稱性分析求解；（2）方法一：根據(jù)題意結(jié)合圖象可知：且，進而結(jié)合對稱性分析求解；方法二：根據(jù)題意結(jié)合圖象可知：且，，可得，進而可得結(jié)果.【小問1詳解】方法一：因為， 由題意可知：曲線為函數(shù)因為曲線關(guān)于軸對稱，則，解得，又因為，所以；方法二：因為，由題意可知：函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，解得，又因為，所以.【小問2詳解】方法一：由（1）可知：，根據(jù)函數(shù)在上的圖象，如圖所示：設(shè)可知：且，由，得①，又因為兩點關(guān)于直線對稱，則② 由①②可得，于是；方法二：由（1）可知：，設(shè)，根據(jù)函數(shù)在上的圖象，如圖所示：由題意可知：，且，又因為，得，則，而，即，可得，令，則，可得，即，故．22.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在上的值域；（2）若關(guān)于的方程恰有三個不等實根，且，求 的最大值，并求出此時實數(shù)的值．【答案】（1）（2）12，【解析】【分析】（1）根據(jù)和的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，進而可求解；（2）構(gòu)造，根據(jù)，可得關(guān)于直線對稱，進而可得，即可代入化簡得的表達式，即可結(jié)合二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】若，因為函數(shù)和均在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，所以函數(shù)在上的值域為．【小問2詳解】，顯然：當(dāng)時，，由于方程有三個不等實根，所以必有，令，則，顯然有，由，得到，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，由，可得：，于是，， ①，由可得：②，將②代入①式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，由于恰有三個不等實根，且，所以，此時，由可得，故.【點睛】方法點睛：處理多變量函數(shù)最值問題的方法有：（1）消元法：把多變量問題轉(zhuǎn)化單變量問題，消元時可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即給出的條件是和為定值或積為定值等，此時可以利用基本不等式來處理，用這個方法時要關(guān)注代數(shù)式和積關(guān)系的轉(zhuǎn)化.（3）線性規(guī)劃：如果題設(shè)給出的是二元一次不等式組，而目標函數(shù)也是二次一次的，那么我們可以用線性規(guī)劃來處理.