熱點1-1 集合與復數（8題型+滿分技巧+限時檢測）（解析版）.docx

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熱點1-1集合與復數集合是高考數學的必考考點，常見以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，結合有限集、無限集考查集合的交集、并集、補集等，偶爾涉及集合的符號辨識，一般出現在高考的第1或2題，以簡單題為主，但除了常規(guī)考法以外，日常練習中多注意新穎題目的考向。復數是高考數學的必考題，常見考查復數的四則運算、共軛復數、實部、虛部、模等概念，偶爾考查幾何意義-復數與平面內的點對應，基本出現在前2題的位置，難度不大，屬于容易題?！绢}型1集合的含義與表示】滿分技巧與集合元素有關問題的解題策略1、研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義．2、利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．【例1】（2023上·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）已知集合，，則中的元素個數為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由題意，，當，當，當，當，當，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 熱點1-1集合與復數集合是高考數學的必考考點，常見以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，結合有限集、無限集考查集合的交集、并集、補集等，偶爾涉及集合的符號辨識，一般出現在高考的第1或2題，以簡單題為主，但除了常規(guī)考法以外，日常練習中多注意新穎題目的考向。復數是高考數學的必考題，常見考查復數的四則運算、共軛復數、實部、虛部、模等概念，偶爾考查幾何意義-復數與平面內的點對應，基本出現在前2題的位置，難度不大，屬于容易題?！绢}型1集合的含義與表示】滿分技巧與集合元素有關問題的解題策略1、研究集合問題時，首先要明確構成集合的元素是什么，即弄清該集合是數集、點集，還是其他集合；然后再看集合的構成元素滿足的限制條件是什么，從而準確把握集合的含義．2、利用集合元素的限制條件求參數的值或確定集合中元素的個數時，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．【例1】（2023上·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）已知集合，，則中的元素個數為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由題意，，當，當，當，當，當，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 當，由集合中元素滿足互異性，所以.故選：B【變式1-1】（2023上·河南南陽·高三?？茧A段練習）集合中的元素個數為（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】因為，即，所以的可能取值為，分別代入可得，所以集合中共有8個元素.故選：D【變式1-2】（2023上·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習）（多選）下列關系正確的有（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因為是整數，所以，故A錯誤；因為為無理數，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；由于為正整數集，為自然數集，為整數集，所以，故D正確.故選：BCD.【變式1-3】（2023·全國·高三課時練習）集合中只含有1個元素，則實數a的取值是．【答案】0或1【解析】當時，滿足題意；當時，要集合P僅含一個元素，則，解得，故a的值為0，1【變式1-4】（2023上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）已知集合，若，則（）A．或3B．0C．3D．【答案】C【解析】，，解得或，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 當時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去.當時，，此時，滿足題意.綜上，.故選：C.【題型2集合與集合間的關系】滿分技巧利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；第二步：看集合中是否含有參數，若，且A中含參數應考慮參數使該集合為空集的情形；第三步：將集合間的包含關系轉化為方程(組)或不等式(組)，求出相關的參數的值或取值范圍.常采用數形結合的思想，借助數軸解答.[【例2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預測）已知集合，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，由集合間的關系可知，.故選：A【變式2-1】（2023上·上海·高三校考期中）設集合，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，所以，又，所以，因為，則，而為奇數，所以，故選：C.【變式2-2】（2023·全國·模擬預測）已知集合，，若，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】由函數，可得函數為上的單調遞增函數，當時，，要使得，所以.故選：B.【變式2-3】（2023上·湖北·高三校聯考期中）已知集合，且，則（）A．-1B．1C．-3D．3【答案】D【解析】由題意：，得：或兩種情況，若，則，此時，不滿足互異性；若，則解得或，顯然，符合題意，而當時，，不滿足互異性.綜上所述：.故選：D.【變式2-4】（2023上·河南·高三開封高中校聯考期中）已知集合，，若，則實數a的值為（）A．1B．0或2C．1或2D．2【答案】C【解析】由，得到，即，又，故，所以，因為，且，所以或2，故選：C.【題型3有限集合的子集個數問題】滿分技巧如果集合A中含有n個元素，則有（1）A的子集的個數有2n個．（2）A的非空子集的個數有2n－1個．（3）A的真子集的個數有2n－1個．（4）A的非空真子集的個數有2n－2個．【例3】（2023·湖北·高三鄂南高中校聯考期中）已知集合學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 ，則的真子集個數為（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因為，，所以，的真子集個數為.故選：B.【變式3-1】（2023·全國·模擬預測）設集合，則的真子集的個數是（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【解析】由題意知，，故的真子集的個數為：，故C項正確.故選：C.【變式3-2】（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預測）已知集合，，，則的子集共有（）A．2個B．4個C．6個D．64個【答案】D【解析】因為，，所以，所以，則的子集共有個，故選：D【變式3-3】（2023·山東·校聯考模擬預測）滿足條件的集合有（）A．6個B．5個C．4個D．3個【答案】C【解析】∵，∴或或或，共4個．故選：C．【變式3-4】（2023上·安徽·高三校聯考期中）若集合有7個真子集，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】因為集合有7個真子集，所以集合中包含3個元素，所以，解得.故選：A【題型4集合的交并補運算】滿分技巧集合運算的常用方法①若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解；②若集合中的元素是連續(xù)的實數，則用數軸表示，此時要注意端點的情況.利用集合的運算求參數的值或取值范圍的方法①與不等式有關的集合，一般利用數軸解決，要注意端點值能否取到；②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系，再列方程（組）求解.【例4】（2023·江蘇南通·高三如東高級中學?？计谥校┮阎?，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得或，則或，又，所以，故選：B【變式4-1】（2023·天津河東·高三統(tǒng)考期中）已知全集，集合，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，即，解得或，所以或，則，由，則，解得，所以，所以.故選：C【變式4-2】（2023·河南洛陽·校聯考模擬預測）已知集合，，則（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】解可得，，所以，.當時，不滿足，或不滿足；當時，滿足，或滿足；當時，滿足，或不滿足.所以，．故選：B.【變式4-3】（2023·江蘇無錫·天一中學?？寄M預測）已知集合，，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由集合，，可得，因為，所以，解得，即實數的取值范圍是.故選：C.【變式4-4】（2023·全國·高三專題練習）設全集，集合，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式，可化為，所以不等式的解集為，故．由，得．當時，；當時，．由，得，則，且，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以的取值范圍是．（2）由于，因此，于是．當時，顯然成立；當時，，得到，因此．綜上所述，的取值范圍是．【題型5韋恩圖在集合中的應用】滿分技巧1、對于離散型數集或抽象幾何的運算，常借助Venn圖求解，數形結合思想的應用；2、解決集合交、并、補運算的技巧：如果所給集合是有限集，則先把集合中的運算意義列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義求解。在解答過程中常常借助Venn圖來求解，這樣處理起來，相對來說比較直觀、形象切解答時不易出錯?！纠?】（2023·四川成都·高三校聯考階段練習）已知是全集的非空子集，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為M，N是全集U的非空子集，且，所以韋恩圖為：由韋恩圖可知，A不正確；B不正確；C不正確；D正確.故選：D【變式5-1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題知，，，則陰影部分表示，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 而，則.故選：D【變式5-2】（2023·重慶渝中·高三統(tǒng)考期中）設均為非空集合，且滿足üü，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合的韋恩圖，如圖所示，因為，所以，所以.故選：C.【變式5-3】（2023·江蘇南通·高三海安高級中學?？茧A段練習）已知全集為U，集合M，N滿足，則下列運算結果一定為U的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得當ü時，ü，故選項A不正確；，當時，，故選項B不正確；當時，，故選項C不正確；因為，所以，故選項D正確.故選：D.【變式5-4】（2023·北京·高三北京八中校考階段練習）如圖，I為全集，M、P、S是I的三個子集，則陰影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】題圖中的陰影部分是的子集，不屬于集合S，故屬于集合S的補集，即是的子集，則陰影部分所表示的集合是故選：C學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【題型6集合的新定義問題】滿分技巧正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準確提取信息是解決這類問題的前提，剝去新定義、新法則、新運算的外表，利用所學的集合性質等知識將陌生的集合轉化為我們熟悉的集合，是解決這類問題的突破口.【例6】（2023·湖南·校聯考模擬預測）定義集合．已知集合，，則的元素的個數為（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】因為，，所以，故的元素的個數為4．故選：【變式6-1】（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習）已知集合，定義叫做集合的長度，若集合的長度為4，則的長度為（）A．3B．4C．5D．10【答案】D【解析】方程的兩根為，的兩根為，當時，，當時，，，則，當時，，，則，因為的長度為4，所以或，得或，當時，，，則，當時，，，則所以的長度為10，故選：D【變式6-2】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）若且，，則稱a為集合A的孤立元素．若集合，集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（）A．B．C．D．【答案】C學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個．滿足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能為，，，，一共4種．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故選：C．【變式6-3】（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）對于數集，，定義，，，若集合，則集合中所有元素之和為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根據新定義，數集，，定義，，，集合，，，則可知所有元素的和為，故選：D.【變式6-4】（2023·安徽合肥·高三?？茧A段練習）已知全集且集合、是非空集合，定義且，已知，，則.【答案】【解析】，或，因為且，所以.【題型7復數的基本運算】【例7】（2023·全國·模擬預測）已知為虛數單位，且，則（）A．3B．C．5D．【答案】C【解析】由題意得：，則，.故選：C.學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【變式7-1】（2023·全國·模擬預測）已知復數z滿足，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，由，所以，即，則.故選：D.【變式7-2】（2023·江西·高三鷹潭一中校聯考期中）已知復數z滿足，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，所以，故選：A.【變式7-3】（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）已知復數滿足，則（）A．3B．25C．9D．5【答案】D【解析】設，則，則，即因為復數滿足所以，即所以，即.故選：D【變式7-4】（2023·天津·高三咸水沽第一中學?？计谥校┮阎獮閷崝担魪蛿祵W科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 為純虛數，則的值為.【答案】【解析】因為復數為純虛數，可得，所以.【題型8與復數有關的最值問題】【例8】（2023·全國·模擬預測）已知復數滿足（為虛數單位），則的最小值為（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】設，在復平面內對應的點的坐標為，由，得，即，因此點在圓上運動，圓心的坐標為，半徑，又，于是可以看成是點到點的距離，顯然此點在圓外，所以.故選：D【變式8-1】（2023·河南鄭州·高一校聯考期中）已知復數z滿足，則的最小值為（）A．1B．3C．D．【答案】A【解析】設復數在復平面內對應的點為，因為復數滿足，所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，所以在復平面內點的軌跡為，又表示點到點的距離，所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，當為時，到定點的距離最小，最小值為1，所以的最小值為1，故選：A．【變式8-2】（2023·上?！じ呷舜ㄖ袑W?？计谥校蛿祕滿足（i為虛數單位），則的最大值為．【答案】7學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【解析】令且，又，所以，即，所以復數z對應點在以為圓心，半徑為2的圓上，又表示圓上點到原點的距離，而圓心到原點距離為5，所以的最大值為.【變式8-3】（2023·上海·高三行知中學?？计谥校┤魪蛿禎M足，則的最小值為.【答案】【解析】設且，又，所以，即點到兩定點的距離之和為，所以點在以為焦點，長軸長為10的橢圓上，由表示橢圓上點到原點距離，故其最小值為短半軸.【變式8-4】（2023·全國·高三專題練習）若復數z滿足，則的最小值為【答案】/【解析】設，（不同時為0），，由題意可知，得或，當時，的軌跡是軸（除原點外），此時的幾何意義表示復數表示的點和的距離，此時，當時，復數的軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓，如圖，根據復數模的幾何意義可知，的幾何意義是圓上的點到的距離，如圖可知，的最小值是點與的距離.（建議用時：60分鐘）1．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）已知集合，則滿足的實數的個數為（）學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以或，當時，，此時集合中有兩個1，所以不合題意，舍去，當時，得或，當時，集合和集合中均有兩個1，所以不合題意，舍去，當時，，符合題意，綜上，，所以滿足的實數的個數為1，故選：B2．（2023·全國·模擬預測）已知全集，，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，所以，又，所以，則，故選項A判斷錯誤；，故選項B判斷錯誤；，故選項C判斷錯誤；故選項D判斷正確.故選：D.3．（2023·四川成都·高三?？计谥校┰O，，則中元素個數為（???）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由，則，所以中元素個數為4.故選：C4．（2023·湖北恩施·?？寄M預測）設集合，，則滿足集合的集合的子集個數為（）A．2B．3C．4D．8【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以，所以，即，則集合的子集有個.故選：C5．（2023·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習）已知集合，則的真子集的個數為（）A．1B．2C．3D．4學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由題設，則，所以共有個子集，其中3個真子集.故選：C6．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考模擬預測）已知全集為，集合，滿足，則下列運算結果為的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】全集，集合，滿足，繪制Venn圖，如下：對于A：，A錯誤；對于B：，B錯誤；對于C：，C錯誤；對于D：，D正確.故選：D.7．（2023·四川雅安·高三校聯考期中）已知集合，，若，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為，且，因為所以.故選：C8．（2023·安徽·高三合肥一中校聯考階段練習）已知集合，，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得，，而表示整數，表示被3除余2的整數，故，則，故選：B．9．（2023·全國·模擬預測）已知集合，，，則集合的個數為（）A．4B．8C．7D．15學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】由題意，得，，.又，集合的個數為.故選：B.10．（2023·河南·模擬預測）已知集合中恰有兩個元素，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由集合中恰有兩個元素，得，解得．故選：B．11．（2023·重慶·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知集合，，，，若，，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，，則由題意可設，，其中，則，且，故，故選：D．12．（2023·河南·高三校聯考期中）已知集合，，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意可知：，，所以.故選：D.13．（2023·遼寧·高三統(tǒng)考期中）設全集，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式，分解因式可得，解得，由可得，由，則，故A正確，B，C，D均錯誤．故選：A.14．（2022·河北·張家口市第一中學高三期中）歐拉公式為虛數單位是由瑞士著名數學家歐拉發(fā)現的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，已知為純虛數，則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】因為，所以，因為為純虛數，所以，，故，所以，則復數在復平面內對應的點為，則其在第四象限，故選：D.15．（2023·上?！ど虾＝淮蟾街行？既＃┮阎?，集合，若集合恰有8個子集，則的可能值有幾個（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由題意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8個子集，故集合只有三個元素，有，則結合誘導公式易知，可取的值是4或5.故選：B16．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）若且,,則稱a為集合A的孤立元素．若集合,集合N為集合M的三元子集，則集合N中的元素都是孤立元素的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合的三元子集個數為，滿足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能為，一共35種，由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故選：C．17．（2023·山西呂梁·高三統(tǒng)考階段練習）已知，，若，則的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得：，所以，則學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 由得：當時，則，又，所以；當時，則不等式解得，不符合，綜上所述.故選：B.18．（2023·湖北·高三天門中學校聯考期中）已知M，N均為的子集，若存在使得，且，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為，所以，又因為，所以，故，故A正確；由于題目條件是存在，所以不能確定集合M，N之間的包含關系，故BCD錯誤；故選：A.19．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知集合，集合，則下列關系式正確的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因為，所以，故A錯誤；，故B正確；因為，所以，故C錯誤；，故D正確.故選：BD.20．（2022·全國·高三專題練習）（多選）若復數z在復平面對應的點為Z，則下列說法正確的有（）A．若，則B．若，則Z在復平面內的軌跡為圓C．若，滿足，則的取值范圍為D．若，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，若，則，，，依次循環(huán)，所以，故A正確；對于B，設，，則有，可知在復平面內的軌跡為圓，故B正確；對于C，因為復數z滿足，故點軌跡為以為圓心，以1為半徑的圓，設，即，當此直線與圓相切時有，解得，學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司 所以的取值范圍為，故C不正確；對于D，設，，若，則有，令，則.令，可得，所以，于是得，故D正確.故選：ABD學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司學科網（北京）股份有限公司