上海市復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期線上期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2021學(xué)年第二學(xué)期高一線上教學(xué)階段性評估數(shù)學(xué)試卷（評估時間90分鐘，滿分120分，所有答案均應(yīng)寫在答題紙相應(yīng)位置）一、填空題（每題4分，共40分）1.已知向量，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故答案為：.2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是___________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)虛部的定義得到答案.【詳解】復(fù)數(shù)的虛部是1，故答案為：13.已知，則__________．【答案】【解析】【詳解】∵，∴可得，故答案為．4.函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為___________．【答案】【解析】 【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】余弦函數(shù)的減區(qū)間為：，函數(shù)減區(qū)間滿足即，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：，5.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】由，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.【詳解】因為，則.故答案為：.6.將函數(shù)圖象上的點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀逗蟮玫胶瘮?shù)的圖象，再將的圖象向上平移1個單位后得到函數(shù)的圖象，則的函數(shù)表達(dá)式是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律，即可得到答案.【詳解】由題意可知將函數(shù)的圖象向下平移1個單位后得到函數(shù)的圖象，再將的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，得到的圖象，即，故答案為：7.設(shè)平行四邊形中，的重心為H，，則____________． 【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算以及三角形重心定理，表示出向量,結(jié)合條件得到的值，求得答案.【詳解】設(shè)平行四邊形中對角線交點(diǎn)為O,則,又，故，故，故答案為：8.已知i為虛數(shù)單位，，則_______．【答案】9【解析】【分析】設(shè)出，化簡得到，從而求出實部.【詳解】設(shè)，則，，，則，所以故答案為：99.設(shè)函數(shù)，其中．且，則的最小值為 ________．【答案】【解析】【分析】由，求得或，根據(jù)，得到函數(shù)關(guān)于對稱，結(jié)合，所以，結(jié)合，分類討論，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因為，可得或，因為，要使得取得最小值，且，所以函數(shù)關(guān)于對稱，可得，所以，若時，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因為，當(dāng)時，可得；若時，可得，其中，所以，其中，所以，其中，因為，當(dāng)時，可得.故答案為：.10.設(shè)銳角的外心為O，且，，則__________．【答案】8【解析】【分析】設(shè)外接圓的半徑為；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及三角形外心的性質(zhì)得到 ，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，從而得解；【詳解】解：因為點(diǎn)為外接圓的圓心，設(shè)外接圓的半徑為；所以，整理得，所以，故，則，所以，所以，即所以，所以，則，即．故答案為：二、選擇題（每題5分，共20分）11.①加速度是向量；②若且，則；③若，則直線與直線平行．上面說法中正確的有（）個．A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】由由向量的定義可判斷①；當(dāng)，②不成立；，則直線與直線平行或在一條直線上，可判斷③.【詳解】由向量的定義知，加速度是向量，所以①正確；當(dāng)，滿足且，但不一定平行，所以②不正確；若，則直線與直線平行或在一條直線上，所以③不正確.故選：B.12.在中，下列說法中錯誤的是（）．A.B.C.D.，則為銳角三角形 【答案】D【解析】【分析】對于A，在三角形中，，所以，可判斷A；對于B，根據(jù)內(nèi)角和余弦定理得單調(diào)性判斷即可；對于C，根據(jù)正弦定理和三角形中的兩邊之和大于第三邊可判斷；對于D，化簡為，則，所以角為銳角，即可判斷.【詳解】對于A，在三角形中，，所以，故A正確；對于B，，則，且，在上遞減，所以即，故B正確；對于C，在三角形中，，由正弦定理得：，所以，故C正確；對于D，得：，則，則，則，所以角為銳角，三角形不一定是銳角三角形，所以D錯誤.故選：D.13.設(shè)函數(shù)，則在上所有零點(diǎn)的和為（）．AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)對稱性，可求得答案.【詳解】令，則，故在上所有零點(diǎn)問題，即為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題；作出函數(shù)在上的大致圖象，如圖示： 由于的最小正周期,故在上正好有的11個周期，每個周期內(nèi)圖象和直線都有一個交點(diǎn)，故在上共有個交點(diǎn)，由于點(diǎn)為的對稱中心，故在上，圖象的交點(diǎn)也有12個，且和上的交點(diǎn)兩兩關(guān)于對稱，因此圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，即在上所有零點(diǎn)的和為，故選：D14.有下面兩個命題：①若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；②若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則下列說法中正確的是（）．A.①②都正確B.①正確②錯誤C.①錯誤②正確D.①②都錯誤【答案】B【解析】【分析】由周期函數(shù)的定義判斷兩個命題即可.【詳解】若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，則也是周期函數(shù)，故①正確；若是周期函數(shù)，設(shè)周期為，則，不一定成立，故②錯誤. 故選：B.三、解答題（共60分）15.已知向量，（1）若，求實數(shù)m的值；（2）若可以構(gòu)成平面上的一個基底，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）或2（2）且【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程求解；（2）根據(jù)基底的定義，利用向量共線的坐標(biāo)表示求解.【小問1詳解】得到或2【小問2詳解】由已知得不平行，得到，所以且.16.設(shè)m是實數(shù)，關(guān)于x的方程有兩根，（1）若，求m的取值范圍；（2）若，求m的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)由題可知，，解不等式即可得m的范圍；(2)分方程有兩個實根和兩個虛根分別求出m的取值即可﹒當(dāng)方程有兩個不等實根時，根據(jù)韋達(dá)定理和即可求解；當(dāng)方程有兩個虛根時，設(shè)兩個虛根為，，根據(jù)韋達(dá)定理求出關(guān)于a、b、m的方程組，再結(jié)合求出的值即可求出m的值． 【小問1詳解】∵，∴方程有兩個相等實根或一對共軛虛根，∴≤0，即≤0，即m(3m＋8)≥0，解得；【小問2詳解】若方程有兩個不等實根，由(1)可知＞0解得m，，即，解得或均滿足＞0；若方程有兩個虛根，則＜0，，設(shè)兩個虛根為，則，根據(jù)韋達(dá)定理得，，(*)由，將、代入(*)得，，化簡得，解得均滿足＜0，綜上，m取值的集合為．17.在工廠實習(xí)中，小宋拿到材料是一塊頂角A為 的扇形鋁板（足夠大），現(xiàn)在需要將鋁板放在切割機(jī)上，加工成一個內(nèi)角為A的三角形工件．（1）小宋的師傅拿出了一個工件樣品，其中，求的值；（2）師傅在小宋的扇形鋁板的頂角A的角平分線上打了一個點(diǎn)D，且，并要求小宋加工的工件的邊經(jīng)過點(diǎn)D，則①用角B表示工件的面積S；②求S的最小值，以及取得最小值時角B的大?。敬鸢浮浚?）或，（2）①；②時，S取到最小值【解析】【分析】（1）由題意，得到，求得或和或，即可求解；（2）①利用正弦定理，求得，結(jié)合面積公式，即可求解；②利用二倍角公式和積化和差公式，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.小問1詳解】解：因為，可得，又因為，可得或，所以或，由，可得或，所以或， ．【小問2詳解】解：①在和中使用正弦定理，可得于是．②利用二倍角公式和積化和差公式可得：，由題意可得，所以，當(dāng)，即時，S取到最小值．18.已知函數(shù)．若存在使得是嚴(yán)格增函數(shù)，那么稱為“緩降函數(shù)”．（本題可以利用以下事實：當(dāng)時，．）（1）判斷以下函數(shù)是否是“緩降函數(shù)”①②（無需寫出理由）；（2）求證：是“緩降函數(shù)”；（3）已知，求證：是“緩降函數(shù)”充要條件是．【答案】（1）①是；②不是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）直接判斷得解；（2）取，利用“緩降函數(shù)”定義證明； （3）先證明充分性，再利用反證法證明必要性得證.【小問1詳解】解：①是；②不是.小問2詳解】證明：當(dāng)時，我們顯然有，所以再結(jié)合所給事實可得：當(dāng)時，．令，再取，于是這說明是“緩降函數(shù)”．【小問3詳解】證明；令充分性：已知，取則于是是嚴(yán)格增函數(shù)，所以是緩降函數(shù)．必要性：用反證法，當(dāng)時，若存在使是嚴(yán)格增函數(shù)，令，這里代表不大于a的最大整數(shù)?。藭r 我們知道，這說明與嚴(yán)格增函數(shù)矛盾．此即說明不是緩降函數(shù)．