高中數(shù)學(xué)必修五全套教案

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1、[探索研究]在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,則bc從而在直角三角形ABC中，CaB(圖1．1-2)思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則，C同理可得，ba從而AcB(圖1．1-3)正弦

2、定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，；（2）等價(jià)于，，從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。[例題分析]例1．在中，已知，，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，評述：對于解三角形中的復(fù)

3、雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，因?yàn)椋迹?，所以，或⑴?dāng)時(shí)，，⑵當(dāng)時(shí)，，[補(bǔ)充練習(xí)]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。A如圖1．1-5，設(shè)，，，那么，則CB從而(圖1．1-

4、5)同理可證于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理

5、之間的關(guān)系？（由學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時(shí)由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。[例題分析]例1．在ABC中，已知，，，求b及A⑴解：∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos∴例2．在ABC中，已知，，，解三角形解：由余弦定理的推論得：cos；cos；[補(bǔ)充練習(xí)]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）Ⅳ.課時(shí)小結(jié)（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩

6、邊及它們的夾角，求第三邊。[隨堂練習(xí)1]（1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，，，則符合題意的b的值有_____個(gè)。（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3））2．在ABC中，已知，，，判斷ABC的類型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，∴。[隨堂練習(xí)2]（1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型。（2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）2.在ABC中

7、，，，面積為，求的值分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理解：由得，則=3，即，從而Ⅲ.課堂練習(xí)（1）在ABC中，若，，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C（答案：（1）或；（2））Ⅳ.課時(shí)小結(jié)（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應(yīng)用。Ⅴ.課后作業(yè)（1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況。（2）設(shè)x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實(shí)數(shù)x的取值范圍

8、。（3）在ABC中，，，，判斷ABC的形狀。（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程的根，求這個(gè)三角形的面積。例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精