概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

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1、33第章一矩式陣與行列第一章矩陣與行列式第一節(jié)矩陣及其運(yùn)算一、矩陣的概念人們?cè)趶氖陆?jīng)濟(jì)活動(dòng)、科學(xué)研究、社會(huì)調(diào)查時(shí),會(huì)獲得許多重要的數(shù)據(jù)資料,將這些數(shù)據(jù)排成一個(gè)矩形的數(shù)表以便于進(jìn)行儲(chǔ)存、運(yùn)算和分析,這種矩形的數(shù)表就是矩陣.定義1由個(gè)數(shù)排成行列的矩形數(shù)表稱為行列矩陣,簡(jiǎn)稱為矩陣,其中稱為矩陣的位于第行、第列的元素.通常,我們用大寫字母表示矩陣.例如,記其中小括號(hào)“”也可用方括號(hào)“”代替.有時(shí),矩陣也簡(jiǎn)記為或.特別地,當(dāng)時(shí),稱為階矩陣或階方陣,其中一階方陣33第章一矩式陣與行列是一個(gè)數(shù),括號(hào)可略去.元素全為實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素全為復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.本書主要在實(shí)數(shù)范圍

2、內(nèi)討論問題.對(duì)于由個(gè)未知量、個(gè)方程組成的線性方程組：稱矩陣為線性方程組的增廣矩陣；稱矩陣為線性方程組的系數(shù)矩陣；矩陣稱為線性方程組的常數(shù)項(xiàng)矩陣.顯然,線性方程組由矩陣完全地確定.下面介紹一些特殊的矩陣.(1)零矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記為.(2)列矩陣、行矩陣在矩陣中,如果,則33第章一矩式陣與行列,稱這種只有一列的矩陣為列矩陣；同樣,如果,則,稱這種只有一行的矩陣為行矩陣.我們也將列矩陣和行矩陣分別稱為列向量和行向量.列向量和行向量統(tǒng)稱為向量.向量的元素稱為分量,有個(gè)分量的向量稱為維向量.矩陣與向量有密切的聯(lián)系,矩陣可以看成由個(gè)維列向量組成,也可以看成由個(gè)維行

3、向量組成.(3)負(fù)矩陣如果矩陣,則稱為矩陣的負(fù)矩陣.(4)行階梯形矩陣如果矩陣每一行的第一個(gè)非零元素所在的列中,其下方元素全為零,則稱此矩陣為行階梯形矩陣.例如矩陣,均為行階梯形矩陣,而矩陣則不是行階梯形矩陣.(5)行最簡(jiǎn)形矩陣如果行階梯形矩陣中,非零行的第一個(gè)非零元素均為1,且其所在列的其余元素均為0,則稱此矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣.例如,矩陣33第章一矩式陣與行列是行最簡(jiǎn)形矩陣.(6)上(下)三角矩陣階方陣的左上角到右下角元素的連線稱為主對(duì)角線,左下角到右上角元素的連線稱為次(副)對(duì)角線.如果方陣的主對(duì)角線下(上)方元素全為0,則稱此矩陣為上(下)三角矩陣.矩陣為上三角矩

4、陣,矩陣為下三角矩陣.(7)對(duì)角矩陣如果方陣中除主對(duì)角線上的元素外,其余元素全為0,則稱此矩陣為對(duì)角矩陣.例如,矩陣為對(duì)角矩陣.(8)單位矩陣在對(duì)角矩陣中,如果,即為,則稱此矩陣為單位矩陣.單位矩陣一般用或表示.33第章一矩式陣與行列定義2如果兩個(gè)矩陣,的行數(shù)相同、列數(shù)也相同,則稱矩陣與為同型矩陣.定義3如果兩個(gè)同型矩陣,的對(duì)應(yīng)元素均相等,即,則稱矩陣與相等,記作.33第章一矩式陣與行列二、矩陣的運(yùn)算1.矩陣的加法定義4由兩個(gè)同型矩陣,對(duì)應(yīng)元素的和,即組成的矩陣稱為矩陣與的和,記作,即.由此定義及負(fù)矩陣的概念,我們定義矩陣與的差為.注　只有同型矩陣才能相加(減).2.數(shù)

5、與矩陣相乘(簡(jiǎn)稱數(shù)乘)定義5數(shù)乘矩陣的每一個(gè)元素所得到的矩陣稱為數(shù)與矩陣的積,記作,即矩陣的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算,其滿足如下性質(zhì)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).上面的,都是任意常數(shù).例1設(shè),,求和.解33第章一矩式陣與行列；.3.矩陣與矩陣相乘(矩陣的乘法)個(gè)變量與個(gè)變量之間的關(guān)系式表示一個(gè)從變量到變量的線性變換.設(shè)有兩個(gè)線性變換和若要求出從到的線性變換,可將代入,得線性變換可看作是先作線性變換、再作線性變換的結(jié)果,我們稱線性變換為線性變換與的乘積,相應(yīng)地,我們將線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣定義為與所對(duì)應(yīng)的矩陣的乘積,即33第章一矩式

6、陣與行列一般地,我們有：定義6設(shè)有矩陣和,規(guī)定矩陣與的乘積是一個(gè)矩陣,記為.其中注只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的列數(shù)等于后一個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘,且乘積矩陣中的元素就是的第行與的第列的對(duì)應(yīng)元素乘積的和.例2設(shè),,求.解例3求矩陣與33第章一矩式陣與行列的乘積及.解由以上例題可以看出矩陣乘法與數(shù)的乘法有兩點(diǎn)顯著不同：(1)矩陣乘法不滿足交換律：與未必同時(shí)有意義(如例,沒有意義)；即使都有意義也未必相等(如例).因此為明確起見,稱為左乘,或右乘.只有在一些特殊情況下才有,這時(shí)稱與是乘法可交換的.容易驗(yàn)證數(shù)量矩陣與任何同階方陣乘法可交換,即(2)矩陣乘法不滿足消去律：由不能得

7、出或(如例3),即但有可能為.有了矩陣相等和乘法的定義,我們可以把線性方程組寫成矩陣形式：,其中,若,則稱為齊次線性方程組；若,則稱為非齊次線性方程組.也可以把線性變換寫成矩陣形式：,其中與同上所設(shè).可以證明矩陣的乘法有下列性質(zhì)：33第章一矩式陣與行列(1)；(2)；；(3),為任意常數(shù)；(4)定義7設(shè)為階方陣,為正整數(shù),稱個(gè)的連乘積為方陣的次冪,記作,即當(dāng)都為正整數(shù)時(shí),由矩陣乘法的性質(zhì),得(1)；(2).注由于矩陣乘法不滿足交換律,所以,一般地.例4設(shè),求(為正整數(shù)).解；；；一般地,有.其正確性可由數(shù)學(xué)歸納法證得,證明略.4.矩陣的轉(zhuǎn)