根軌跡法的依據(jù)（根軌跡方程）

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1、第四章根軌跡法一、本章教學(xué)目的及要求:1．掌握根軌跡的基本概念；掌握根軌跡方程、幅值條件和相角條件；2．正確理解開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)、閉環(huán)零極點(diǎn)及根軌跡的含義；3．掌握控制系統(tǒng)根軌跡的繪制方法，熟練繪制根軌跡；4．正確繪制出不同參量變化對(duì)系統(tǒng)根軌跡圖；5．能夠運(yùn)用根軌跡法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析；明確閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布和系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。二、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)1.重點(diǎn)：根軌跡的繪制利用根軌跡分析控制系統(tǒng)2.關(guān)鍵點(diǎn)：根軌跡方程，幅值條件，相角條件3.難點(diǎn)：非最小相位系統(tǒng)和時(shí)滯系統(tǒng)根軌跡的繪制三、本章內(nèi)容4.1根軌跡的基本概念4.2根軌跡的基本法則4.3廣義

2、根軌跡4.4系統(tǒng)性能的分析四、本章學(xué)時(shí)：8學(xué)時(shí)五、本章學(xué)習(xí)方法通過(guò)具體習(xí)題練習(xí)掌握根軌跡繪制方法，不要死記硬背各種繪制法則，要多總結(jié)歸納典型極、零點(diǎn)分布對(duì)根軌跡的大致圖形。204.1根軌跡的基本概念一．問(wèn)題的提出-20當(dāng)K由0→∞變化時(shí)，閉環(huán)特征根在S平面上移動(dòng)的軌跡城根軌跡，不僅直觀的表示了K變化時(shí)間閉環(huán)特征根的變化，還給出了參數(shù)時(shí)閉環(huán)特征根在S平面上分布的影響。可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，確定系統(tǒng)的品質(zhì)。20二、根軌跡與系統(tǒng)性能三、閉環(huán)零、極點(diǎn)與開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系G(s)C(s)R(s)H(s)20四．根軌跡方程4.2根軌跡的基本法則上圖所示系

3、統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫成零、極的形式為：20則以k0為參數(shù)的根軌跡繪制規(guī)則如下：【規(guī)則1】根軌跡的對(duì)稱性根軌跡對(duì)稱與s平面的實(shí)軸【規(guī)則2】根軌跡的分支數(shù)及其起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡的分支數(shù)：n條起點(diǎn)：n個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)終點(diǎn)：開(kāi)環(huán)零點(diǎn)（包括無(wú)限開(kāi)環(huán)零點(diǎn)）【規(guī)則3】根軌跡在實(shí)軸上的分布實(shí)軸上根軌跡段右側(cè)開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)。【規(guī)則4】根軌跡的漸近線1、漸近線的傾角：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：或【規(guī)則5】根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)：特征方程的重根點(diǎn)求法：1、重根法：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)改寫成：，則特征方程為D(s)=A(s)+KB(s)=0,若方程出現(xiàn)重根，

4、必須滿足：，即A(s)B?(s)-A?(s)B(s)=02、試探法：說(shuō)明：由上式求出的分離點(diǎn)應(yīng)檢驗(yàn)，舍去不在根軌跡上的值；當(dāng)沒(méi)有開(kāi)環(huán)零點(diǎn)時(shí)，上式的右側(cè)應(yīng)取零?！疽?guī)則6】根軌跡的出射角和入射角出射角：根軌跡離開(kāi)開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。入射角：根軌跡進(jìn)入開(kāi)環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與實(shí)軸正方向的夾角。出射角的計(jì)算：，20其中：入射角的計(jì)算：　　　　　　　【規(guī)則7】根軌跡與虛軸的交點(diǎn)兩種計(jì)算方法：1、根據(jù)勞斯判據(jù)計(jì)算具體方法：令勞斯表中s的奇數(shù)次所對(duì)應(yīng)的行元素全為零，用此行的上一行構(gòu)造輔助方程計(jì)算W值和對(duì)應(yīng)的K值。例題：已知一系統(tǒng)閉環(huán)特征

5、方程為：求特征根與虛軸的交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的K值。解：由上式列勞斯表：s4136Ks38800s226Ks18(260-k)s0K由勞斯表可知，當(dāng)勞斯表中的s1行的所有元素為零時(shí)，即8(260-K)=0；由上一行構(gòu)造輔助方程F(S)=26S2+K=0；由上述兩個(gè)方程聯(lián)立求解，得到這說(shuō)明根軌跡與虛軸的交與對(duì)應(yīng)的K值為260。2、用s=jw代入方程直接求解具體做法：將S=jw代入特征方程，令實(shí)部和虛部分別為零，聯(lián)立求解。w4-36w2+K=0w(80-w2)=0以上題為例，將S=jw代入特征方程，可得；令上式的實(shí)部和虛部分別等于零，得到方程組：；求解可

6、得【規(guī)則8】特征方程根之和與根之積若把系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函寫成如下形式：20則當(dāng)n－m≥2時(shí)，有下列兩式成立：【規(guī)則9】根軌跡上一點(diǎn)s0對(duì)應(yīng)的K值例題1：設(shè)一單位負(fù)反饋系統(tǒng)如圖所示，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：1）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：無(wú)；開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0，－1，－22）系統(tǒng)有3條根軌跡分支，起點(diǎn)為開(kāi)環(huán)極點(diǎn)（0，－1，－2）3）實(shí)軸上根軌跡分布如圖4）漸近線：與實(shí)軸的夾角：與實(shí)軸的交點(diǎn)：5）分離點(diǎn)：→d1=-0.42d2=-1.58(不在實(shí)軸根軌跡上，舍去)K－3w2=02w－w3=06）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)將s=jw代入D(s)=s(s+1)

7、(s+2)+k=0,得到方程組20解之可得：w＝±1.414；k＝6完整的根軌跡圖如下：例題2：?jiǎn)挝回?fù)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：，試證明根軌跡的復(fù)數(shù)部分為一圓。證明：由根軌跡的相角條件可知：arg(s+2)-arg(s)-arg(s+1)=±π令s＝σ＋jω代入上式，則得即：上式等號(hào)兩側(cè)同時(shí)取正切，化簡(jiǎn)后得這是一個(gè)圓的方程，問(wèn)題得證。下圖為系統(tǒng)的根軌跡圖。204.3廣義根軌跡一、參量根軌跡引入等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的概念等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)注意：在此的等效意義是在特征方程相同，或者是閉環(huán)極點(diǎn)相同的前提下成立；而此時(shí)閉環(huán)零點(diǎn)是不同的。例4.5：設(shè)單

8、位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其中開(kāi)環(huán)增益可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解：閉環(huán)特征方程要繪制參數(shù)根軌跡，首先要求出等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)等效開(kāi)環(huán)極點(diǎn)注：若分母多項(xiàng)式為