具有結(jié)構(gòu)無關(guān)時(shí)變不確定性的新一類線性系統(tǒng)的二次可鎮(zhèn)定性

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1、具有結(jié)構(gòu)無關(guān)時(shí)變不確定性的新一類線性系統(tǒng)的二次可鎮(zhèn)定性胡三清王軍自動化與計(jì)算機(jī)輔助工程系，香港新界沙田香港中文大學(xué)1998年10月12日初稿，2000年2月23日修改，2000年5月3日發(fā)表摘要：本文研究設(shè)計(jì)一個(gè)線性狀態(tài)反饋控制鎮(zhèn)定新一類型的單輸入不確定性的線性動態(tài)系統(tǒng)。在給定的壓縮集系統(tǒng)矩陣中不確定性參數(shù)是時(shí)變和有界的。我們首先提供了一個(gè)概念稱為“新標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)”，其中一些輸入要求負(fù)號不變和符號不變，并且每個(gè)輸入在任意大的范圍內(nèi)獨(dú)立變化，然后對于新一類的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)我們得到在一個(gè)充分必要條件下，對所有容許的不確定性變化系統(tǒng)可由線性控制實(shí)現(xiàn)二次鎮(zhèn)定。主要結(jié)果的延伸見魏（電氣電

2、子工程師協(xié)會自動控制會刊，35（3），268-277,1992年）。?愛思唯爾科技有限公司版權(quán)所有。關(guān)鍵詞：二次可鎮(zhèn)定性，NAS結(jié)構(gòu)，單輸入，時(shí)變，線性系統(tǒng)1引言近年來，穩(wěn)定一個(gè)不確定動態(tài)系統(tǒng)一直是一個(gè)非?；钴S的研究領(lǐng)域。比方說，一般的線性矩陣不等式條件由Boyd,EIGhaoui,Feron和Balakrishnan（1994年）提出的和由張、胡、戴、京、張、魏等人提出的特殊幾何結(jié)構(gòu)。這篇文章中，我們研究參數(shù)是時(shí)變的和指定的有界緊致集的不確定性動態(tài)系統(tǒng)。我們使用一個(gè)二次的李雅普諾夫函數(shù)來建立一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，原則上，二次的鎮(zhèn)定問題可以用Boyd提出的線性矩陣不等

3、式條件解決，這也是一各可利用的有效算法。然而，這些條件需要檢查指數(shù)中不確定參數(shù)的不等式，因此，線性矩陣不等式的數(shù)字結(jié)果不能夠被處理除非這個(gè)問題的結(jié)構(gòu)非常小?；谶@個(gè)問題，有必要提出一些簡便的方法去解決二次鎮(zhèn)定問題。通常來說，二次鎮(zhèn)定的方法有兩類。在第一類方法中，在系統(tǒng)矩陣中的不確定性通常允許在充分小的范圍內(nèi)變化，因此被視為擾動（見Petersen和Hollot，1986年），一旦不確定性的數(shù)值超過指定范圍，系統(tǒng)可能不再穩(wěn)定。在第二類方法中，與之相反的是，系統(tǒng)矩陣可能會有一些任意大的變化條件。為了確保一個(gè)不確定性系統(tǒng)的魯棒可鎮(zhèn)定性，系統(tǒng)矩陣中的不確定性必須被限定在諸如“

4、匹配條件”（見Pertersen，1988年），“通常匹配條件（見Thorp和Barmish，1981年）”和“容許置亂”結(jié)構(gòu)（見Barmish，1982年）。這些都是充分條件。魏（1990年）指出所有的穩(wěn)定性系統(tǒng)滿足這些充分條件，屬于一個(gè)被稱這為所對稱逐步結(jié)構(gòu)特定幾何類型的一些系統(tǒng)子集。由魏給出的推廣的反對稱逐步結(jié)構(gòu)在多輸入系統(tǒng)中作為充分條件。兩種特殊幾何類型在確保系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定中起至關(guān)重要的作用。此后，許多作者關(guān)注魏，并且引入新幾何類型，如Tsujino提出的“普通AS結(jié)構(gòu)”，F(xiàn)ujii和魏（1993年）作為一個(gè)必要條件；由楊張二人（1996年）提出的“強(qiáng)AS結(jié)構(gòu)

5、”和由胡（1997年）提出的“多輸入AS結(jié)構(gòu)”作為充分條件。這些特殊幾何類型提供了方便的方法來解決二次鎮(zhèn)定的問題。本文討論第二類方法。2預(yù)備知識考慮一個(gè)線性時(shí)變不確定系統(tǒng)Σ(A(q(t)),b(q(t)))（或簡寫為不確定系統(tǒng)Σ(A(q),b(q))）由狀態(tài)方程描述為（1）其中x(t)∈Rn是狀態(tài)，u(t)∈R是控制，q(t)∈Rp是被限定在指定有界緊致集Q的不確定模型勒貝格可測集。在這個(gè)框架內(nèi)，A(·)和b(·)分別為n×n矩陣和(n×1)矩陣集合Q中的連續(xù)矩陣函數(shù)。因此，對于恒定的q∈Q,A(q)和b(q)是模型矩陣的結(jié)果。本文中，除非特別說明，我們假定A

6、(q)和b(q)取決于q的不同的組成部分，即，我們有q=[r:s]′，這里A(·)僅取決于r，b(·)僅取決于s。后來，為了簡便記數(shù)，我們通常用θ(或?)來表示一個(gè)符號不變或負(fù)號不變的不確定項(xiàng)。注意θ(或?)在不同的項(xiàng)中不一定是相同的q函數(shù)。I或者In表示單位矩陣，實(shí)矩陣的范數(shù)是MTM的最大特征的平方根。λmin(max)[·]也表示經(jīng)運(yùn)算所得的最?。ㄗ畲螅┨卣髦?。M(i:j)表示n×n不確定矩陣的2×2子矩陣（或者當(dāng)i=j時(shí)為1×1），這里M(q)由定義。其中，1≤i≤j≤n.*項(xiàng)在任意矩陣中通常表示0或者不確定項(xiàng)。定義2.1一個(gè)不確定系統(tǒng)Σ(A(q),b(

7、q))稱為關(guān)于Q的二次可鎮(zhèn)定（QS）如果存在一個(gè)n×n正定對稱矩陣P，一個(gè)正常數(shù)α,和一個(gè)連續(xù)反饋控制律：，當(dāng)u(0)=0滿足以下條件，任給容許的不確定q(·)，由此得出以下結(jié)論（2）對于全對偶測試法(x,t)∈Rn×[0,+∞).L(x,t)是李雅普諾夫?qū)?shù)的相關(guān)李雅普諾夫函數(shù)V(x)=xTPx。此外，Σ(A(q),b(q))被稱為是可通過線性控制來二次鎮(zhèn)定（QSVLC）關(guān)于Q當(dāng)u(x)=Kx,這里K是一個(gè)n維常數(shù)列向量。定義2.2一個(gè)（n+1）×（n+1）階不確定矩陣，如果存在兩個(gè)整數(shù)i*和j*滿足0≤i*≤n，0≤j*≤n和1≤i*+j*≤n以