希爾伯特變換與傅立葉變換

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1、在數(shù)學與信號處理的領(lǐng)域中，一個實數(shù)值函數(shù)的希爾伯特轉(zhuǎn)換(Hilberttransform)——在此標示為——是將信號與做卷積，以得到。因此，希爾伯特轉(zhuǎn)換結(jié)果可以被解讀為輸入是的線性非時變系統(tǒng)(lineartimeinvariantsystem)的輸出，而此一系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為。這是一項有用的數(shù)學，用在描述一個以實數(shù)值載波做調(diào)制的信號之復數(shù)包絡(luò)(complexenvelope)，出現(xiàn)在通訊理論（應(yīng)用方面的詳述請見下文。）希爾伯特轉(zhuǎn)換是以著名數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特(DavidHilbert)來命名。希爾伯特轉(zhuǎn)換定義如下：其中并考慮此積分為柯西主值(Cauchyprincipalva

2、lue)，其避免掉在以及等處的奇點。另外要指出的是：若，則可被定義，且屬于；其中。頻率響應(yīng)希爾伯特轉(zhuǎn)換之頻率響應(yīng)由傅立葉變換給出：,?其中·是傅立葉變換，·i?(有時寫作j?)是虛數(shù)單位，·是角頻率，以及·即為符號函數(shù)。既然：,希爾伯特轉(zhuǎn)換會將負頻率成分偏移+90°，而正頻率成分偏移?90°。反（逆）希爾伯特轉(zhuǎn)換我們也注意到：。因此將上面方程式乘上，可得到：從中，可以看出反（逆）希爾伯特轉(zhuǎn)換傅里葉變換（Fourier變換）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫·傅里葉系統(tǒng)地提出，所以以其名字來命名以示紀念。傅里葉變換在物理學、聲學、光學、結(jié)構(gòu)動力學、量子力學

3、、數(shù)論、組合數(shù)學、概率論、統(tǒng)計學、信號處理、密碼學、海洋學、通訊、金融等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成振幅分量和頻率分量?！じ道锶~變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的[1]?！じ道锶~變換屬于諧波分析?！じ道锶~變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。·正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的

4、求解。在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取?！ぞ矸e定理指出：傅里葉變換可以化復雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而提供了計算卷積的一種簡單手段?！るx散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的實現(xiàn)（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT））。線性性質(zhì)兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和。數(shù)學描述是：若函數(shù)和的傅里葉變換和都存在，和為任意常系數(shù)，則；傅里葉變換算符可經(jīng)歸一化成為幺正算符。平移性質(zhì)若函數(shù)存在傅里葉變換，則對任意實數(shù)，函數(shù)也存在傅里葉變換，且有。式中花體是傅里葉變換的作用算子，平體F表示變

5、換的結(jié)果（復函數(shù)），e?為自然對數(shù)的底，i?為虛數(shù)單位。微分關(guān)系若函數(shù)當時的極限為0，而其導函數(shù)的傅里葉變換存在，則有，即導函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子。更一般地，若，且存在，則，即k?階導數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子。卷積特性若函數(shù)及都在上絕對可積，則卷積函數(shù)（或者）的傅里葉變換存在，且。卷積性質(zhì)的逆形式為，即兩個函數(shù)卷積的傅里葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的乘積乘以。帕塞瓦爾定理若函數(shù)可積且平方可積，則。其中F(ω)?是f(x)?的傅里葉變換。更一般化而言，若函數(shù)和皆平方可積，則。其中F(ω)?和G(ω)?分別是f(x)?和g(x)

6、?的傅里葉變換,*代表復共軛。連續(xù)傅里葉變換一般情況下，若“傅里葉變換”一詞不加任何限定語，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”(連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換)。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f（t）表示成復指數(shù)函數(shù)的積分或級數(shù)形式。這是將頻率域的函數(shù)F(ω)表示為時間域的函數(shù)f（t）的積分形式。連續(xù)傅里葉變換的逆變換(inverseFouriertransform)為即將時間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F(ω)的積分。一般可稱函數(shù)f（t）為原函數(shù)，而稱函數(shù)F(ω)為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅里葉變換對（transformpair）。除此之外，還有其它型式的變換對，以

7、下兩種型式亦常被使用。在通訊或是訊號處理方面，常以來代換，而形成新的變換對:或者是因系數(shù)重分配而得到新的變換對：一種對連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分數(shù)傅里葉變換（FractionalFourierTransform）。當f（t）為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）時，其正弦（或余弦）分量將消亡，而可以稱這時的變換為余弦轉(zhuǎn)換（cosinetransform）或正弦轉(zhuǎn)換（sinetransform）.另一個值得注意的性質(zhì)是，當f（t）為純實函數(shù)時，F(xiàn)(?ω)?=?F*(ω)成立.傅里葉級數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數(shù)(Fourie