用線段對確定的點求作函數(shù)圖形的方法

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時間:2018-04-16

用線段對確定的點求作函數(shù)圖形的方法_第1頁
用線段對確定的點求作函數(shù)圖形的方法_第2頁
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1、用線段對確定的點求作函數(shù)圖形的方法作者按:證明微分中值定理時,同濟(jì)大學(xué)[4]在無力展示對應(yīng)規(guī)則明確的、ф(x)圖形的情況下,荒唐地作X軸的垂線,把垂線與X軸、曲線的弦L(x)及曲線f(x)的交點標(biāo)上x、N、M后即自作主張地定義“有向線段NM的值是x的函數(shù),把它表示為ф(x)”(圖1-1:因X軸的垂線為x=xi(常數(shù)),故圖中的x、N、M都被筆者加上了腳鏈i)?!坝行蚓€段對”與“有序數(shù)對”一樣,也具有確定平面上的點的功能!由此可以判定:ф(x)是一條略經(jīng)提示中學(xué)生即可以求作的、有別于“有向線段NM的值”的、符合曲線與方程定義的、既能描述變量間對應(yīng)規(guī)則又能展示其幾何

2、風(fēng)貌特征的、栩栩如生的羅爾曲線(圖1-3)。同濟(jì)大學(xué)的荒誕結(jié)論,足以說明該數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)家們尚未掌握的一種數(shù)學(xué)方法。摘要:對函數(shù)圖形的求作規(guī)則進(jìn)行了研究,提出了由有向線段對確定的點求作相關(guān)函數(shù)圖形的方法。關(guān)鍵詞:數(shù)對,線段對,點,點集,圖形。1.引言在研究函數(shù)性質(zhì)的時候,人們通常需要求作函數(shù)的圖形。函數(shù)的圖形是自變量在其定義域內(nèi)的每一個值與其對應(yīng)的函數(shù)值所確定的點的集合。因為這些點都是由數(shù)對確定的,所以,只要能夠找出一些確定函數(shù)圖形上點的數(shù)對,就可以用“描點法”求作函數(shù)的圖形了。2.一種相關(guān)函數(shù)圖形的求作方法在平面坐標(biāo)系內(nèi)沒有坐標(biāo)數(shù)字的情況下,碰到由已知函數(shù)的圖

3、形求作相關(guān)函數(shù)的圖形時,就會讓人遇到似乎無從著手的窘迫局面了。如下函數(shù)圖形的求作問題就是一個實例。例.已知閉區(qū)間[a,b]上曲線f(x)和直線L(x)都通過點A、B。求作函數(shù)ф(x)=f(x)-L(x)在[a,b]上的圖形(圖1-1)。分析:這是一個由已知函數(shù)圖形求作相關(guān)函數(shù)的問題。這里的平面坐標(biāo)系內(nèi)沒有坐標(biāo)數(shù)字。所以,確定欲求函數(shù)ф(x)圖形上點的數(shù)對已經(jīng)不能夠用數(shù)字表達(dá)了。但,函數(shù)ф(x)的對應(yīng)規(guī)則和定義域是已知的。所以,原點到定義域內(nèi)每一個自變量位置之間的“有向距離”都是確定欲求函數(shù)ф(x))圖形上的點所需“數(shù)對”中的一個“數(shù)字”。因此,只要依據(jù)函數(shù)ф(x

4、)的對應(yīng)規(guī)則,找到確定欲求函數(shù)ф(x)圖形上同一點所需“數(shù)對”中的另一個對應(yīng)的“數(shù)字”,問題就能夠解決了。作圖:①.確定欲求函數(shù)ф(x)圖形上點的“數(shù)對”在X軸上確定x等于x1、x2、xi、ξ1、ξ2各點,過這些點作X軸的垂線,垂線與直線L(x)的相交點分別是:N1、N2、Ni、Nξ1、Nξ2;垂線與曲線函數(shù)f(x)的交點分別是:M1、M2、Mi、Mξ1、Mξ2(圖1-2)。因為ф(xi)=f(xi)-L(xi),所以確定欲求函數(shù)ф(x)圖形上點的一些“數(shù)對”的工作就能夠進(jìn)行了。它們分別是:(+Oa,0)、(+Ox1,+N1M1)、(+Ox2,+N2M2)、(+

5、Oxi,+NiMi)、(+Oξ1,+Nξ1Mξ1)、(+Oξ2,-Nξ2Mξ2)、(+Ob,0)2。盡管這些對應(yīng)的線段對不是數(shù)字對,但它們都是具有確定長度的有向線段對。這就足以能夠讓我們完成求作函數(shù)ф(x)的圖形了!如果需要列表的話,表中的有序數(shù)對就是一對對對應(yīng)的有向線段對(表從略)。②.求作函數(shù)ф(x)的圖形顯然,X軸上的點a、b都是ф(x)圖形上的點。以X軸上的點x1為圓心,線段N1M1長度為半徑,在過x1所作的X軸的垂線向上(因為線段N1M1與Y軸同向,為正號)畫弧與垂線相交的交點,也是ф(x)圖形上的點;以X軸上的點ξ2為圓心,線段Nξ2Mξ2長度為半徑

6、,在過ξ2所作的X軸的垂線向下(因為線段Nξ2Mξ2與Y軸反向,為負(fù)號)畫弧與垂線向下的延長線相交的交點,也是ф(x)圖形上的點。以同樣的方法求出ф(x)圖形的其余的點。把這些點有序地連接成一條圓滑的曲線,一條符合曲線與方程定義的、ф(x)在[a,b]上的幾何圖形就會呈現(xiàn)在人們的面前了(圖1-3)。③檢驗:從略。3.幾點說明3.1圖形中T及T處切線的意義一般讀者,不必深究圖中字母T及其處的切線的用途。這里的ф(x)圖形,就是證明微分中值定理時輔助函數(shù)ф(x)的圖形。圖中,若x=ξi時,ф'(ξi)=0,則:①.ф(x)圖形上的點Ti(ξi,ф(ξi))處的切線與

7、X軸平行;②.曲線f(x)上的點Mξi(ξi,f(ξi))處的切線與曲線f(x)在閉區(qū)間兩端點的連線L(x)平行。⑶.由ф(a)=ф(b),可以判定,輔助函數(shù)ф(x)的幾何意義是一條滿足羅爾定理的羅爾曲線。3.2L(x)及其與曲線f(x)的關(guān)系L(x)不一定必須為一條直線,是一條曲線也可以!L(x)不一定必須與曲線f(x)都通過點A、B,通過一點,或一點也不通過也可以!只不過最終求得的ф(x)圖形的形狀、位置等不同而已。函數(shù)ф(x)=f(x)+L(x)圖形的求作方法雷同,本文不予追述。3.3關(guān)于函數(shù)值的運(yùn)算當(dāng)函數(shù)值f(xi)小于L(xi)時,ф(xi)=f(xi

8、)-L(xi)為負(fù)值。這

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