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《數(shù)列與不等式證明方法歸納(練習(xí)版)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、數(shù)列與不等式證明方法歸納共歸納了五大類，16種放縮技巧，28道典型練習(xí)題，供日后學(xué)習(xí)使用。一、數(shù)列求和（1）放縮成等比數(shù)列再求和（2）放縮成差比數(shù)列再錯(cuò)位相減求和（3）放縮成可裂項(xiàng)相消再求和（4）數(shù)列和比大小可比較單項(xiàng)二、公式、定理（1）利用均值不等式（2）利用二項(xiàng)式定理（3）利用不動(dòng)點(diǎn)定理（4）利用二次函數(shù)性質(zhì)三、累加、累乘（1）累加法（2）利用類等比數(shù)列累乘四、證明不等式常用方法（1）反證法（2）數(shù)學(xué)歸納法及利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)論五、其它方法（1）構(gòu)造新數(shù)列（2）看到“指數(shù)的指數(shù)”取對(duì)數(shù)（3）將遞推等式化為遞推不等式（
2、4）符號(hào)不同分項(xiàng)放縮一、數(shù)列求和（1）放縮成等比數(shù)列再求和[典例1]已知數(shù)列，，，。（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)：；（Ⅱ）記，求證。[典例2]已知數(shù)列滿足，。（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：。[典例3]設(shè)數(shù)列滿足，。（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求正整數(shù)，使最小。（2）放縮成差比數(shù)列再錯(cuò)位相減求和[典例1]已知數(shù)列滿足：，，求證：。[典例2]已知數(shù)列與其前項(xiàng)和滿足。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：。（2）放縮成可裂項(xiàng)相消再求和[典例1]已知。求證：。[典例2]已知數(shù)列滿足，。（Ⅰ）求證：是等比數(shù)列；（Ⅱ）求證：。[典例3]
3、設(shè)是數(shù)列前項(xiàng)之積，滿足，。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求證：。（2）數(shù)列和比大小可比較單項(xiàng)[典例1]已知數(shù)列滿足，。（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：。[典例2]已知，圓：與軸正半軸的焦點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為。對(duì)，證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）若，，則。二、公式、定理（1）利用均值不等式[典例]數(shù)列定義如下：，。證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。（2）利用二項(xiàng)式定理[典例]已知數(shù)列滿足：，。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，，證明：。（3）利用不動(dòng)點(diǎn)定理求數(shù)列通項(xiàng)[典例1]已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，。
4、（Ⅰ）求的取值范圍，使對(duì)任意的正整數(shù)，都有；（Ⅱ）若，，求證：，[典例2]已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，。（Ⅰ）求的實(shí)數(shù)解；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)所有的都成立？證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：。（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)[典例]在正項(xiàng)數(shù)列中，，，為的前項(xiàng)和，且（Ⅰ）比較與的大??；（Ⅱ）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為。三、累加、累乘（1）累加法[典例1]已知數(shù)列，，，。（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)：；（Ⅱ）記，求證：。[典例2]已知，數(shù)列的首項(xiàng)，。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：，。[典例3]已知數(shù)列滿足=且=-（）（Ⅰ）證明：1（）；（Ⅱ）設(shè)數(shù)
5、列的前項(xiàng)和為，證明（）.（2）利用類等比數(shù)列累乘[典例1]設(shè)，給定數(shù)列，其中，，。求證：。[典例2]已知數(shù)列滿足：，且，設(shè)。（Ⅰ）比較和的大?。唬á颍┣笞C：；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：。[典例3]已知函數(shù)，數(shù)列(＞0)的第一項(xiàng)＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線在處的切線與經(jīng)過(guò)（0，0）和（）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）求證：當(dāng)時(shí)，（Ⅰ）；（Ⅱ）。[典例4]設(shè)數(shù)列滿足，，其中。證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）。四、證明不等式常用方法（1）反證法[典例]設(shè)，給定數(shù)列，其中，，。求證：（Ⅰ），；（Ⅱ）如果，那么當(dāng)時(shí)，必有。（2）數(shù)學(xué)歸納法
6、及利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)論[典例]設(shè)數(shù)列滿足，，證明對(duì)：（Ⅰ）；（Ⅱ）。五、其它方法（1）構(gòu)造新數(shù)列[典例]設(shè)數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和。證明：對(duì)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，。（2）看到“指數(shù)的指數(shù)”取對(duì)數(shù)[典例]已知數(shù)列滿足：，。證明：。（3）將遞推等式化為遞推不等式[典例]已知數(shù)列滿足：，。（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若，求正整數(shù)的最小值。（4）符號(hào)不同分項(xiàng)放縮[典例]已知數(shù)列中的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，且．（Ⅰ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅱ）記，，求證：．
