數(shù)列與不等式證明專題

《數(shù)列與不等式證明專題》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在應用文檔-天天文庫。

1、數(shù)列與不等式證明專題復習建議：1．“巧用性質、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標意識”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運用條件，又要時刻注意題的目標，往往能取得與“巧用性質”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證思想．學習這部分知識，對培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉化思想等數(shù)學思想以

2、及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題．4．數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解．證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運用例1．數(shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)設證明：當分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項的遞推關系，且要對n分奇偶性。解:(Ⅰ)因為所以一般地，當時，＝，即所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此當時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列

3、的通項公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要證明當時，成立，只需證明當時，成立.證法一(1)當n=6時，成立.(2)假設當時不等式成立，即則當n=k+1時，由(1)、(2)所述，當n≥6時，.即當n≥6時，證法二令，則所以當時，.因此當時，于是當時，綜上所述，當時，點評：本題奇偶分類要仔細，第（2）問證明時可采用分析法。例題2.已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項.(1)求函數(shù)的表達式；⑵求證：；⑶求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質，第（3）問是轉化成可以裂項的形式，這是

4、證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：⑴又∵為銳角∴∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴點評：把復雜的問題轉化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。例題3.已知數(shù)列滿足（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：分析：本例（1）通過把遞推關系式轉化成等比型的數(shù)列；第（2）關鍵在于找出連續(xù)三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮解：（1），故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設，則點評：

5、數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。例題4.已知函數(shù),數(shù)列滿足,;數(shù)列滿足,.求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當n≥2時,.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關的命題，可考慮用數(shù)學歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調性；第（3）問進行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學歸納法證明,.（1）當n=1時,由已知得結論成立;（2）假設當n=k時,結論成立,即.則當n=k+1時,因為0

6、0<.故當n=k+1時,結論也成立.即對于一切正整數(shù)都成立.又由,得,從而.綜上可知(Ⅱ)構造函數(shù)g(x)=-f(x)=,0g(0)=0.因為,所以,即>0,從而(Ⅲ)因為,所以,,所以————①由(Ⅱ)知:,所以=,因為,n≥2,所以<<=————②由①②兩式可知:.點評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導數(shù)的學歸納法的知識交匯題，屬于難題，復習時應引起注意。例題5.已知函數(shù)f(x)=，設正項數(shù)列滿足=l，．(1)試比較與的大小，并說明理由；(2)設

7、數(shù)列滿足=－，記Sn=．證明：當n≥2時,Sn＜(2n－1)．分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解：(1)，因為所以（2）因為所以,因為所以與同號，因為，…，即（3）當時，，所以，所以點評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點熱點。例題6.已知數(shù)列中，，．（1）求；（2）求數(shù)列的通項；（3）設數(shù)列滿足，求證：分析：條件中有類似于前n項和的形式出現(xiàn)，提示我們應該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)解：（1）（2）①②①—②得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是單調遞增數(shù)列，故要證：

8、只需證若，則顯然成立;若，則所以,因此：所以,所以點評：與數(shù)列相關的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關鍵，本題中,這種拆分方法是數(shù)學中較高要求的變形.例題7.已知不等式其中為不大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)。設數(shù)列的各項為正且滿足，證明：，分析：由條件得：……以上各式兩邊分別相加得：=本題由題設條件