em第7講亥姆霍茲定理

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1、電磁場(chǎng)與電磁波Electromagneticfieldsandelectromagneticwaves第7講亥姆霍茲定理及矢量場(chǎng)分類(lèi)黃惠芬華南理工大學(xué)電子與信息學(xué)院射頻與無(wú)線技術(shù)研究所TEL:89502331Email:huanghf@scut.edu.cnResearchInstituteofRF&WirelessTechniques第2講內(nèi)容∑亥姆霍茲定理∑矢量場(chǎng)的分類(lèi)∑例題∑矢量場(chǎng)的唯一性定理∑格林定理SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍茲定理∑矢量場(chǎng)是由場(chǎng)源產(chǎn)生的。

2、對(duì)矢量場(chǎng)取散度運(yùn)算，可以檢驗(yàn)矢量通量源密度的分布情況，因此，矢量的散度，對(duì)應(yīng)著矢量場(chǎng)的一種源——通量源(或發(fā)散源)；divA=lim1A?dSΔv∫Δv→0SGG?A?A?AxyzdivAA=++=??(178)????xyz??A=ρ≠0SouthChinaUniversityofTechnologyResearchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍茲定理∑對(duì)矢量場(chǎng)取旋度運(yùn)算也可以“驗(yàn)源”，矢量的旋度同樣地對(duì)應(yīng)著矢量場(chǎng)的另一種源——旋渦源。rot(187)AA=?×??×A=J≠0SouthChinaUniversityofTechnologyRe

3、searchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍茲定理∑矢量場(chǎng)確定，產(chǎn)生矢量場(chǎng)的這兩種源的分布也就確定。那么，矢量場(chǎng)還有沒(méi)有其他種類(lèi)的源呢?若一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度和散度確定了，該矢量場(chǎng)是否就唯一確定了呢?亥姆霍茲定理對(duì)這個(gè)問(wèn)題給予了回答。亥姆霍茲定理(1):對(duì)于一個(gè)定義于無(wú)限大區(qū)間、在無(wú)限遠(yuǎn)處有界、1完全正則(即其量值至少隨2衰減，且其源密度r1至少按衰減）的矢量函數(shù)F(r)，一定可把它分r解為兩個(gè)矢量函數(shù)之和，其中一個(gè)矢量函數(shù)的旋度恒為0，而另一個(gè)矢量函數(shù)的散度恒為0，即SouthChinaUniversityofTechnologyResearchIn

4、stituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍茲定理G∑矢量函數(shù)F(r)的散度ΔiFr()是由F1(r)決定的；矢量函數(shù)F(r)的G旋度Δ×F()r是由F2(r)決定的。換言之，此矢量函數(shù)F(r)是由其本GG身的旋度Δ×F()r和散度ΔiF()r唯一地確定的.∑亥姆霍茲定理(2)：在有限區(qū)域內(nèi)，F(xiàn)(r)是由其旋度、散度和邊界條件唯一地確定的(邊界條件實(shí)質(zhì)上是代表區(qū)域以外的其他場(chǎng)源對(duì)區(qū)域內(nèi)的F(r)的影響)?！圃谘芯繄?chǎng)量的特性時(shí)，我們總是從其旋度和散度兩方面去研究而總結(jié)出其微分形式的基本方程，或者從矢量對(duì)一閉路的環(huán)量和對(duì)SouthChinaUniversityofTe

5、chnology閉面的通量去研究，從而總結(jié)出其積分形式的基本方程的。ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques7.1亥姆霍茲定理∑在研究場(chǎng)量的特性時(shí)，我們總是從其旋度和散度兩方面去研究而總結(jié)出其微分形式的基本方程，或者從矢量對(duì)一閉路的環(huán)量和對(duì)閉面的通量去研究，從而總結(jié)出其積分形式的基本方程的。divA=lim1A?dSΔv∫Δv→0SGG?A?A?AxyzdivAA=++=??(178)????xyzSouthChinaUniversityofTechnologyrot(187)AA=?×?ResearchInstituteofRF&WirelessTe

6、chniques亥姆霍茲定理(3)：若矢量場(chǎng)F(r)在無(wú)限區(qū)域中處處是單值的，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域V′中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)F(r)可以表示為：F(r)=??Φ(r)+?×A(r)如果?×=AA0,則=?u1?′?F(r′)Φ(r)=∫′dV′4πVr?r′式中：1?′×F(r′)如果??=B0則B=?×AA(r)=∫′dV′4πVr?r′可見(jiàn)，該定理表明任一矢量場(chǎng)均可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)與一個(gè)無(wú)散SouthChinaUniversityofTechnology場(chǎng)之和。矢量場(chǎng)的散度及旋度特性是研究矢量場(chǎng)的首要問(wèn)題。ResearchInstituteofRF&Wi

7、relessTechniques7.2矢量場(chǎng)的分類(lèi)∑既然對(duì)于場(chǎng)的整體、即在無(wú)限大區(qū)域中，矢量場(chǎng)能由其旋度和散度唯一地確定，那么矢量場(chǎng)的分類(lèi)就可以按場(chǎng)有無(wú)旋度、散度來(lái)分類(lèi)?！?、無(wú)旋有散場(chǎng)∑如果矢量場(chǎng)F在區(qū)域V內(nèi)處處有的無(wú)旋有散場(chǎng)。GG?iiBD=?=0,ρGE=???2∑標(biāo)量泊松方程，?i?=?拉普拉SouthChinaUniversityofTechnology斯算子。ResearchInstituteof