環(huán)流與旋度和格林定理與亥姆霍茲定理.ppt

《環(huán)流與旋度和格林定理與亥姆霍茲定理.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、§03環(huán)流與旋度和格林定理與亥姆霍茲定理11.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源例如：流速場(chǎng)。不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類(lèi)不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。2如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過(guò)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。3如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。環(huán)流的概念矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲

2、線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。4矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。2.矢量場(chǎng)的旋度（）（1）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向有關(guān)。過(guò)點(diǎn)M作一微小曲面?S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)?S?0時(shí)，極限5而推導(dǎo)的示意圖如圖所示。oyDzDyCMzx1234計(jì)算的示意圖直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式6于是同理可得故得概念：矢

3、量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度7旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系8旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零93.斯托克斯定理斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即104.散度和旋度的區(qū)別111.矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的

4、矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過(guò)一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)122.矢量場(chǎng)按源的分類(lèi)（1）無(wú)旋場(chǎng)性質(zhì)：，線積分與路徑無(wú)關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無(wú)旋度源的矢量場(chǎng)，無(wú)旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)13（2）無(wú)散場(chǎng)僅有旋度源而無(wú)散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無(wú)散場(chǎng)可以表示

5、為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)14（3）無(wú)旋、無(wú)散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無(wú)旋場(chǎng)部分和無(wú)散場(chǎng)部分無(wú)旋場(chǎng)部分無(wú)散場(chǎng)部分151.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系16矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：172.格林定理設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)?及?，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)?及?滿足下列等式：根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫(xiě)成以上兩式稱為標(biāo)量第一格林

6、定理。式中S為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng)?在S表面的外法線方向上的偏導(dǎo)數(shù)。18基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。格林定理說(shuō)明了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問(wèn)題。此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。19亥姆霍茲定理:若矢量場(chǎng)在無(wú)限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限區(qū)域中，則當(dāng)矢量場(chǎng)的散度及旋度給定后，該矢量場(chǎng)可表示為式中：亥姆霍

7、茲定理表明：在無(wú)界空間區(qū)域，矢量場(chǎng)可由其散度及旋度確定。1.8亥姆霍茲定理20在有界區(qū)域，矢量場(chǎng)不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)，還與區(qū)域邊界上矢量場(chǎng)的切向分量和法向分量有關(guān)。21