高考數學復習點撥 函數單調性錯例剖析

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1、函數單調性錯例剖析函數的單調性是函數基本性質之一，《考試大綱》對本性質作了重要的要求，它的應用非常廣泛，但同學們在解題時，往往由于應用不熟練而導致錯誤，現(xiàn)舉幾例說明。一、忽視單調性例1已知函數f（x）=x2-x-1，x∈[-1，]，求f（x）的最大值和最小值。錯解：∵f（-1）=1+-1=，f（）=3-2-1=0，∴f（x）的最大值和最小值分別為和0。剖析：以上解法忽視了函數的單調性，由題設知函數f（x）在[-1，]上單調遞減，在[，]上單調遞增，因而當x=時，f（x）取得最小值。解：∵f（x）=（x-）2-，x∈[-1，]，∴當x=

2、時，f（x）的最小值為-，當x=-1時，f（x）的最大值為。二、不理解單調性定義例2判斷函數f（x）=的單調性。錯解：f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞），設x1＜x2＜-1，則f（x2）-f（x1）=-=。∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0x1+1＜0x2+1＜0∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）∴f（x）在(-∞,-1)上為減函數，同理可得f（x）在（-1，+∞）上也是減函數，故f（x）在（-∞，-1）∪（-1，+∞）為減函數。剖析：對函數單調性理解不夠導致錯誤，對于單調性只能是在某個指定區(qū)間上來

3、說的，不能用并集表示單調區(qū)間。正解：f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞），設x1＜x2＜-1，則f（x2）-f（x1）=-=∵x1＜x2＜-1，∴x1-x2＜0，x1+1＜0，x2+1＜0∴f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）∴f（x）在(-∞，-1）為減函數。同理可得f（x）在（-1，+∞）上也是減函數?！鄁（x）在（-∞，-1）和（-1，+∞）上都是減函數。三、錯用函數的單調性例3利用定義判斷函數f（x）=x+在區(qū)間（-∞，+∞）上的單調性。錯解：設x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，則f（x1）-

4、f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）+（-）∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，-＜0∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）。故函數f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調增函數。剖析：該解法失誤在于錯用了g（x）=的單調性，而實際上在R上g（x）=不具備單調性。例如g（-1）=g（1）或由數形結合可知。正解：設x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=（x1-x2）+（-）=（x1-x2）+=（x1-x2）+=∵x1＜x2，∴x1-x2＜0，又∵+＞0，+x1＞

5、x1

6、+x1≥0，+x2

7、＞

8、x2

9、+x2≥0∴++x1+x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），故函數f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是單調增函數。點評：利用定義法判斷函數單調性時，一般要將f（x1）-f（x2）化成幾個因式的乘積的形式。