簡析等價鞅測度及其應(yīng)用

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1、簡析等價鞅測度及其應(yīng)用摘要：自從20世紀(jì)50年代后數(shù)理分析工具廣泛用于金融分析領(lǐng)域，其中最為知名的當(dāng)屬M-M定理、CAMP以及無套利(APT)定理和鞅等價定理等。在這當(dāng)中，鞅等價定理直至目前仍然是金融分析中的前沿課題。并且，等價鞅測度定理還是人們在分析金融產(chǎn)品定價、消除金融投機套利機會、降低金融產(chǎn)品投資風(fēng)險的主要工具。等價鞅測度定理在金融市場分析中的很多領(lǐng)域都可以得到應(yīng)用。剖析等價測度定理及其應(yīng)用無疑對掌握金融產(chǎn)品定價方法、優(yōu)化金融產(chǎn)品投資組合、降低金融產(chǎn)品投資風(fēng)險將有所裨益。.L.編輯。關(guān)鍵詞：鞅；測度；等價鞅測度早在1900年，法國人

2、L.巴恰利埃在一篇關(guān)于金融投機的論文中，已經(jīng)開始利用隨機過程工具探索那時尚無實物的金融衍生證券的定價問題。但是直到20世紀(jì)50年代，金融研究僅有一些含混不清的“大拇指法則”和對所觀察到的財務(wù)數(shù)據(jù)的文字性描述。然而進(jìn)入50年代以后，數(shù)學(xué)工具在金融研究領(lǐng)域的應(yīng)用蓬勃發(fā)展。馬科維茨1952年發(fā)表的那篇僅有14頁的論文既是現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論的發(fā)端，又標(biāo)志著現(xiàn)代金融理論的誕生。隨后，莫迪里阿尼和米勒（1958年）第一次應(yīng)用無套利定理證明了以他們名字命名的M-M定理。同時，德布魯（1959年）和阿羅（1964年）將一般均衡模型推廣至不確定性經(jīng)濟分析當(dāng)中

3、，為日后金融理論的發(fā)展提供了靈活而統(tǒng)一的分析框架。稍后，夏普（1964年）、林特內(nèi)（1965年）和莫辛（1966年）共同導(dǎo)出了著名的資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）；另一方面，赫什雷弗（1966年）在一般均衡體系中證明了M-M定理。20世紀(jì)70年代，布萊克推導(dǎo)出無風(fēng)險不存在情況下的“零-ßCAPM”；薩繆爾森、魯賓斯坦、克勞斯和利茨伯格導(dǎo)出了跨期CAPM；而莫頓則將伊藤積分引入經(jīng)濟分析；提出了連續(xù)時間的CAPM；另一方面，羅斯提出了與CAPM相平行的套利定價理論。當(dāng)然，上世紀(jì)70年代最具革命性意義的事件是布萊克和斯科爾斯的期權(quán)定價

4、公式以及哈里森與克雷普斯的證券定價鞅定理。哈里森與克雷普斯（1979年）將鞅引入金融分析當(dāng)中來，使得金融分析發(fā)生了革命性的飛躍，為隨后的金融分析提供了一個嶄新的分析工具與思路。在這當(dāng)中，最有名的莫過于等價鞅測度定理。等價鞅測度定理為消除套利機會，減少資產(chǎn)投資風(fēng)險提供了一個簡便而又邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龉ぞ?。一、鞅的定義及含義一個關(guān)于{ℱ}適應(yīng)的過程稱為一個（關(guān)于{ℱ}的）鞅，如每個可積，且Ⅰℱ，（1）稱為一個上鞅，如式（1）換為Ⅰℱ，（1）‘稱為一個下鞅，如式（1）換為Ⅰℱ，顯然，是上鞅

5、，當(dāng)且僅當(dāng)是下鞅?，F(xiàn)在，我們考慮股票價格的多元二維格柵模型化。在現(xiàn)存框架中，過程由最初股票價格和等式中獨立隨機變量序列決定。更精確而言，由概率空間中的決定，或?qū)Φ鹊?，由下列關(guān)系決定：（2）。通過下式，引入貼現(xiàn)股票價格過程：（3）設(shè)為隨機變量生成的空間的解析族，即，對于任意，。明顯地，解析族，為域遞增族，意指對于任意，。注意到族同時也是由隨機變量族生成而致，從而更精確而言，，等式中依據(jù)慣例，。，解析族，可將股票價格觀測值生成的離散信息流模型化。從金融意義而言，解析族意指時間時所有投資者可以獲取的市場信息。對于任意，設(shè)定，式中是解析族生成的域

6、。顯然。最后，表示過程的自然域族，或簡言之，過程的自然過濾因子。下面引入與任一中概率測度對等的概率測度的定義，如此，貼現(xiàn)股票價格在下對于它自身的過濾因子而言為公平博弈。另外，假定屬于類。根據(jù)類定義，任一中概率測度取決于隱含參數(shù)的選取，而僅僅與值相關(guān)。而且，此假設(shè)不會喪失一般性；不難求證：外不存在與任一類概率測度相等的概率測度，從而CRR模型中的貼現(xiàn)股票價格必將遵循－分布。從而，可在不喪失一般性條件下采用下列鞅測度定義。定義：概率測度可稱為貼現(xiàn)股票價格過程的鞅測度如果下列等式成立：；（4）即，如果過程相對過濾因子而言在下遵循鞅分布。這種情況

7、，人們可以斷言貼現(xiàn)股票價格遵循－鞅分布，或簡言之，－鞅分布，如果沒有歧義引起的話。在某些情況中，可以假定股票價格是在隱含過濾概率空間上給出，等式中隱含過濾因子嚴(yán)格大于股票價格過程生成的自然因子。但是，在本節(jié)中，為了方便，設(shè)定，如同上述定義所明確表示。引理：貼現(xiàn)股票價格的鞅測度存在當(dāng)且僅當(dāng)。本例中，的鞅測度是相對于而言的唯一類因子。證明：利用（2）和（3）等式，我們可以根據(jù)以下方式重新構(gòu)建等式（4）：（5）或等價地，。由于隨機變量相對于－域獨立，那么后一等式成立的充分必要條件是，或明顯地，等式必須滿足。對最后方程求解值，人們可以得到使得等式

8、（5）成立的唯一值。注意到股票價格遵循唯一鞅測度分布，遞增概率的指數(shù)隨機游走（參見公式（）就等于。這個特征闡明了在不喪失一般性條件下，為什么可將人們的注意力限定在隱含錐空間的特殊概率測度類型上