高考數學解題思想方法 待定系數法

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1、三、待定系數法要確定變量間的函數關系，設出某些未知系數，然后根據所給條件來確定這些未知系數的方法叫待定系數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個多項式各同類項的系數對應相等。待定系數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使用待定系數法，就是把具有某種確定形式的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數法求解，主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表達式，如果具有，就可以用待定系數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函數式、求復數、

2、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數學表達形式，所以都可以用待定系數法求解。使用待定系數法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數的解析式；第二步，根據恒等的條件，列出一組含待定系數的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數的方程，主要從以下幾方面著手分析：①利用對應系數相等列方程；②由恒等的概念用數值代入法列方程；③利用定義本身的屬性列方程；④利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數法求方程：首先設所求方程的形式，其中含有待定的系數；再把幾何條件轉化為含所求方程未知系數的方程或方程組；最

3、后解所得的方程或方程組求出未知的系數，并把求出的系數代入已經明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。Ⅰ、再現性題組：1.設f(x)＝＋m，f(x)的反函數f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次為_____。A.,－2B.－，2C.,2D.－，－22.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。A.10B.－10C.14D.－143.在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的系數是_____。A.－297B.－252C.297D.4.函數y＝a－bcos3x(b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。5.與直線L：2

4、x＋3y＋5＝0平行且過點A(1,-4)的直線L’的方程是_______________。6.與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是____________?！竞喗狻?小題：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比較系數易求，選C；2小題：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的兩根，代入兩根，列出關于系數a、b的方程組，易求得a＋b，選D；3小題：分析x的系數由C與(－1)C兩項組成，相加后得x的系數，選D；4小題：由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值，再代入求得答案；5小題：設直線L’方程2x＋3y＋c＝0，點A

5、(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；6小題：設雙曲線方程x－＝λ，點(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。Ⅱ、示范性題組：例1.已知函數y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函數式?！痉治觥壳蠛瘮档谋磉_式，實際上就是確定系數m、n的值；已知最大值、最小值實際是就是已知函數的值域，對分子或分母為二次函數的分式函數的值域易聯想到“判別式法”?！窘狻亢瘮凳阶冃螢椋?y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0∴△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0即：y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0①不等式①的解集為(-1,7)，則－1、7是方程y－(m＋

6、n)y＋(mn－12)＝0的兩根，代入兩根得：解得：或∴y＝或者y＝此題也可由解集(-1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數而得：，解出m、n而求得函數式y?！咀ⅰ吭谒蠛瘮凳街杏袃蓚€系數m、n需要確定，首先用“判別式法”處理函數值域問題，得到了含參數m、n的關于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求參數m、n。兩種方法可以求解，一是視為方程兩根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集寫出不等式，比較含參數的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹，也要求理解求函數值域的“判別式法”：將y視為參數

7、，函數式化成含參數y的關于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了關于參數y的不等式，解出y的范圍就是值域，使用“判別式法”的關鍵是否可以將函數化成一個一元二次方程。例2.設橢圓中心在(2,-1)，它的一個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是－，求橢圓的方程。yB’xAFO’F’A’B【分析】求橢圓方程，根據所給條件，確定幾何數據a、b、c之值，問題就全部解決了。設a、b、c后，由已知垂直關系而聯想到勾股定理建立一個方程，再將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a－c