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《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 用二分法求方程的近似解例析》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、用二分法求方程的近似解例析二分法的解題原理是利用前面的中間值定理,是一種求方程根近似值的具體方法.下面舉例說(shuō)明二分法的解題思路.例1證明方程x-3x+1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一根,并求出這個(gè)根的近似值(精確到0.01).解:令=x-3x+1,則在區(qū)間[1,2]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.∵=1-3+1=-1<0,=8-6+1=3>0,∴·<0,∴函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一零點(diǎn),∴方程x-3x+1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)必有一根x.取區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x=1.5,用計(jì)算器算得=-0.125.因?yàn)椤ぃ?,所以x(1.5,2).再取(1.5,2)的中點(diǎn)x=1.75,用計(jì)算器算得
2、=1.109375.因?yàn)椤ぃ?,所以x(1.5,1.75).又取(1.5,1.75)的中點(diǎn)x=1.625,用計(jì)算器算得=0.416015625.因?yàn)椤ぃ?,所以x(1.5,1.625).取(1.5,1.625)的中點(diǎn)x=1.5625,用計(jì)算器算得=0.127197265625.因?yàn)椤ぃ?,所以x(1.5,1.5625).取(1.5,1.5625)的中點(diǎn)x=1.53125時(shí),用計(jì)算器算得=-0.003387451171875.因?yàn)椤ぃ?,所x(1.53125,1.5625).取(1.53125,1.5625)的中點(diǎn)x=1.546875時(shí),用計(jì)算器算得=0.0607719421386
3、71875.因?yàn)椤ぃ?,所x(1.53125,1.546875).同理,可算得·<0,x(1.53125,1.5390625);·<0,x(1.53125,1.53515625);又當(dāng)取(1.53125,1.53515625)的中點(diǎn)x=1.53325時(shí),·<0,即x(1.53125,1.53325).由于
4、1.53125-1.53325
5、=0.001953125<0.01,此時(shí)區(qū)間(1.53125,1.53325)的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是1.53,所以原方程精確到0.01的近似解為1.53.說(shuō)明一:雖然
6、1.53125-1.5390625
7、=0.0078125<0.0
8、1,但是,在區(qū)間(1.53125,1.5390625)的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.01的近似值是兩個(gè),即1.53和1.54,與一個(gè)近似根不符.因此,類(lèi)似于此種情況要一邊分析探索,一邊求解討論,直到求出符合題意的唯一解為止.說(shuō)明二:為能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小,在一定的精度下,還可以采用逐步分割含根區(qū)間使成許多小區(qū)間,并以次確定的分點(diǎn)處的符號(hào),即可以任意地縮小含根區(qū)間而實(shí)現(xiàn)根的近似計(jì)算.還以此例說(shuō)明如下:將[1,2]分成10等份,各分點(diǎn)為1.1;1.2;1.3;…;1.9,并逐個(gè)計(jì)算:=-0.969;=-0.872;=-0.703,=-0.456;=-0.125;=0.296.由·<0,
9、可知方程的根位于(1.5,1.6)內(nèi).再將[1.5,1.6]分成10等份,求出:=-0.87049;=-0.048192;=-0.008423;=0.52264.由于·<0,所以方程的根位于(1.53,1.54)內(nèi),取x=1.53,其精確度已達(dá)0.01.顯然,此種分割法與二分法其解題原理完全相同,只不過(guò)劃分區(qū)間有所差異.例2借助計(jì)算器求方程0.8-1=lnx的近似解(精確到0.01).xyO1y=0.8-1y=lnx解:令y=0.8-1,y=lnx,畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象,從圖象中可以找到,方程0.8-1=lnx在區(qū)間(0,1)內(nèi)必有一根x.設(shè)=0.8-1-lnx,由于沒(méi)有意義,且=
10、0.5876>0,=-0.2<0,∴·<0,∴方程0.8-1=lnx在區(qū)間(0.5,1)內(nèi)必有一根x.取區(qū)間(0.5,1)的中點(diǎn)x=0.75,用計(jì)算器算得=0.1336>0,因?yàn)椤ぃ?,所以x(0.75,1).再取(0.75,1)的中點(diǎn)x=0.875,用計(jì)算器算得=-0.0438<0,因?yàn)椤ぃ?,所以x(0.75,0.875).又取(0.75,0.875)的中點(diǎn)x=0.8125,用計(jì)算器算得=0.0418>0,因?yàn)椤ぃ?,所以x(0.8125,0.875).取(0.8125,0.875)的中點(diǎn)x=0.84375,用計(jì)算器算得=-0.0017<0,因?yàn)椤ぃ?,所以x(0.8125,
11、0.84375).取(0.8125,0.84375)的中點(diǎn)x=0.828125時(shí),用計(jì)算器算得=0.0199>0,因?yàn)椤ぃ?,所以x(0.828125,0.84375).取(0.828125,0.84375)的中點(diǎn)x=0.8359375時(shí),用計(jì)算器算得=0.009>0,因?yàn)椤ぃ?,所x(0.8359375,0.84375).由于
12、0.84375-0.8359375
13、=0.0078125<0.01,此時(shí)區(qū)間(0.8359375,0.84375)的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是0