m次整函數(shù)中的素數(shù)

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1、m次整函數(shù)中的素數(shù)李聯(lián)忠（營山中學四川營山637700）摘要：m次函數(shù)f（n）=,為正整系數(shù)，n取正整數(shù)，若（）≠1,函數(shù)值f(n)中素數(shù)有1個或0個；若（）=1,可分解為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中素數(shù)有1個或0個，若（）=1,不能分為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中有無窮多個素數(shù)。也即是說，m次整函數(shù)中算出有兩個素數(shù)，則其中必有無窮多個素數(shù)。關鍵詞：數(shù)論m次整函數(shù)素數(shù)中圖分類號：文獻標識碼：文章編號：引理1：=2證明：因為Euler（歐拉）曾經(jīng)推導出了以下結果：()即有所以。Euler還證明了以下結果：，其中

2、稱為Euler常數(shù)。所以?！?2引理1得證。引理2：(等差數(shù)列的素數(shù)定理)(pi,ai)=1時，末項不大于N的等差數(shù)列ai+npi中，當N→∞時，其素數(shù)個數(shù)π(pi)～。(是歐拉函數(shù)。=pi-1。引理3：在連續(xù)自然數(shù)23…(n+1)中去掉模素數(shù)p余0（p本身除外）和模p余非零的(h-1)個同余類（商0的余數(shù)除外）后，素數(shù)個數(shù)π(n)有如下公式（p為不大于a的素數(shù)，）證明：由素數(shù)定理可得由引理1得=2∴即因此，連乘積n表示的素數(shù)個數(shù)與實際個數(shù)的誤差總趨勢（不計小波動）是不斷變大，到無窮大時，誤差達到最大值，否則

3、，即只存在波動誤差的話則=1或極限不存在?！嗨財?shù)個數(shù)π(n)=λn而素數(shù)個數(shù)是去掉模p余0的一個同余類,（p本身除外）由引理2有在π(n)個素數(shù)中再去掉（≥3）的一個非0同余類（商0的那個非0余數(shù)除外）后，余下素數(shù)個數(shù)約為π(n)去模p余0與模p余非0的另一同余類是等價的，所以在π(n)個素數(shù)中再去每一個模不大于的素數(shù)(=2除外)的一個非0同余類（商0的那個非0余數(shù)除外），余下的素數(shù)個數(shù)（）以此類推可得（）因為在去模p余0和去模p余非0的同余類時，p本身和商0的同余數(shù)沒有去，所以有（）（p為不大于a的素數(shù)，）

4、引理3得證。定理：m次函數(shù)f（n）=,為正整系數(shù)，n取正整數(shù)，若（）≠1,函數(shù)值f(n)中素數(shù)有1個或0個；若（）=1,可分解為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中素數(shù)有1個或0個，若（）=1,不能分為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中有無窮多個素數(shù)。也即是說，m次整函數(shù)中算出有兩個素數(shù)，則其中必有無窮多個素數(shù)。證明：顯見，m次函數(shù)f（n）=,為正整系數(shù)，n取正整數(shù)，若（）≠1,函數(shù)值f(n)中素數(shù)有1個或0個；若（）=1,可分解為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中素數(shù)有1個或0個，證明略當（）=1,不能分為兩因式的積，∵≡0（

5、modp）,有1,2…m或0解∴應去掉1,2…m或0個模p的同余類據(jù)引理3可得π()……∴π()∵∴π()定理得證。