m次整函數(shù)中的素?cái)?shù)

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1、m次整函數(shù)中的素?cái)?shù)李聯(lián)忠（營山中學(xué)四川營山637700）摘要：m次函數(shù)f（n）=,為正整系數(shù)，n取正整數(shù)，若（）≠1,函數(shù)值f(n)中素?cái)?shù)有1個(gè)或0個(gè)；若（）=1,可分解為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中素?cái)?shù)有1個(gè)或0個(gè)，若（）=1,不能分為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中有無窮多個(gè)素?cái)?shù)。也即是說，m次整函數(shù)中算出有兩個(gè)素?cái)?shù)，則其中必有無窮多個(gè)素?cái)?shù)。關(guān)鍵詞：數(shù)論m次整函數(shù)素?cái)?shù)中圖分類號(hào)：文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：文章編號(hào)：引理1：=2證明：因?yàn)镋uler（歐拉）曾經(jīng)推導(dǎo)出了以下結(jié)果：()即有所以。Euler還證明了以下結(jié)果：，其中

2、稱為Euler常數(shù)。所以?！?2引理1得證。引理2：(等差數(shù)列的素?cái)?shù)定理)(pi,ai)=1時(shí)，末項(xiàng)不大于N的等差數(shù)列ai+npi中，當(dāng)N→∞時(shí)，其素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(pi)～。(是歐拉函數(shù)。=pi-1。引理3：在連續(xù)自然數(shù)23…(n+1)中去掉模素?cái)?shù)p余0（p本身除外）和模p余非零的(h-1)個(gè)同余類（商0的余數(shù)除外）后，素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(n)有如下公式（p為不大于a的素?cái)?shù)，）證明：由素?cái)?shù)定理可得由引理1得=2∴即因此，連乘積n表示的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)與實(shí)際個(gè)數(shù)的誤差總趨勢(shì)（不計(jì)小波動(dòng)）是不斷變大，到無窮大時(shí)，誤差達(dá)到最大值，否則

3、，即只存在波動(dòng)誤差的話則=1或極限不存在?！嗨?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(n)=λn而素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是去掉模p余0的一個(gè)同余類,（p本身除外）由引理2有在π(n)個(gè)素?cái)?shù)中再去掉（≥3）的一個(gè)非0同余類（商0的那個(gè)非0余數(shù)除外）后，余下素?cái)?shù)個(gè)數(shù)約為π(n)去模p余0與模p余非0的另一同余類是等價(jià)的，所以在π(n)個(gè)素?cái)?shù)中再去每一個(gè)模不大于的素?cái)?shù)(=2除外)的一個(gè)非0同余類（商0的那個(gè)非0余數(shù)除外），余下的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)（）以此類推可得（）因?yàn)樵谌ツ余0和去模p余非0的同余類時(shí)，p本身和商0的同余數(shù)沒有去，所以有（）（p為不大于a的素?cái)?shù)，）

4、引理3得證。定理：m次函數(shù)f（n）=,為正整系數(shù)，n取正整數(shù)，若（）≠1,函數(shù)值f(n)中素?cái)?shù)有1個(gè)或0個(gè)；若（）=1,可分解為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中素?cái)?shù)有1個(gè)或0個(gè)，若（）=1,不能分為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中有無窮多個(gè)素?cái)?shù)。也即是說，m次整函數(shù)中算出有兩個(gè)素?cái)?shù)，則其中必有無窮多個(gè)素?cái)?shù)。證明：顯見，m次函數(shù)f（n）=,為正整系數(shù)，n取正整數(shù)，若（）≠1,函數(shù)值f(n)中素?cái)?shù)有1個(gè)或0個(gè)；若（）=1,可分解為兩因式的積，函數(shù)值f(n)中素?cái)?shù)有1個(gè)或0個(gè)，證明略當(dāng)（）=1,不能分為兩因式的積，∵≡0（

5、modp）,有1,2…m或0解∴應(yīng)去掉1,2…m或0個(gè)模p的同余類據(jù)引理3可得π()……∴π()∵∴π()定理得證。