第一講__數(shù)列的極限典型例題

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1、第一講數(shù)列的極限一、內(nèi)容提要1.數(shù)列極限的定義，有.注1的雙重性.一方面,正數(shù)具有絕對(duì)的任意性,這樣才能有無(wú)限趨近于另一方面,正數(shù)又具有相對(duì)的固定性,從而使不等式.還表明數(shù)列無(wú)限趨近于的漸近過(guò)程的不同程度,進(jìn)而能估算趨近于的近似程度.注2　若存在，則對(duì)于每一個(gè)正數(shù)，總存在一正整數(shù)與之對(duì)應(yīng)，但這種不是唯一的，若滿足定義中的要求，則取，作為定義中的新的一個(gè)也必須滿足極限定義中的要求，故若存在一個(gè)則必存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)可作為定義中的．注3　的幾何意義是：對(duì)的預(yù)先給定的任意鄰域，在中至多除去有限項(xiàng)，其余的無(wú)窮多項(xiàng)將全

2、部進(jìn)入．注4　，有.2.　子列的定義在數(shù)列中，保持原來(lái)次序自左往右任意選取無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)所得的數(shù)列稱為的子列，記為，其中表示在原數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，表示它在子列中的項(xiàng)數(shù)．注1對(duì)每一個(gè)，有．注2對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù)，如果，則．反之，若，則．注3，有.注4的任一子列收斂于.3.數(shù)列有界對(duì)數(shù)列，若，使得對(duì)，有，則稱數(shù)列為有界數(shù)列．4.無(wú)窮大量對(duì)數(shù)列，如果，，有，則稱為無(wú)窮大量，記作．22注1只是一個(gè)記號(hào)，不是確切的數(shù)．當(dāng)為無(wú)窮大量時(shí)，數(shù)列是發(fā)散的，即不存在．注2若，則無(wú)界，反之不真．注3設(shè)與為同號(hào)無(wú)窮大量，則為無(wú)窮大量．注4設(shè)為

3、無(wú)窮大量，有界，則為無(wú)窮大量．注5設(shè)為無(wú)窮大量，對(duì)數(shù)列，若，使得對(duì)，有，則為無(wú)窮大量．特別的，若，則為無(wú)窮大量．5.無(wú)窮小量若，則稱為無(wú)窮小量．注1若，有界，則．注2若，則；若，且使得對(duì)，，則．6.收斂數(shù)列的性質(zhì)（1）若收斂，則必有界，反之不真．（2）若收斂，則極限必唯一．（3）若，，且，則，使得當(dāng)時(shí)，有．注這條性質(zhì)稱為“保號(hào)性”，在理論分析論證中應(yīng)用極普遍．（4）若，，且，使得當(dāng)時(shí)，有，則．注這條性質(zhì)在一些參考書(shū)中稱為“保不等號(hào)（式）性”．（5）若數(shù)列、皆收斂，則它們和、差、積、商所構(gòu)成的數(shù)列，，，（）也收

4、斂，且有　　　　　　　　　　　　　，22　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　?。ǎ?.迫斂性（夾逼定理）若，使得當(dāng)時(shí)，有，且，則．8.單調(diào)有界定理單調(diào)遞增有上界數(shù)列必收斂，單調(diào)遞減有下界數(shù)列必收斂．9.Cauchy收斂準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件是：，有．注　Cauchy收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列斂散性的重要理論依據(jù)．盡管沒(méi)有提供計(jì)算極限的方法，但它的長(zhǎng)處也在于此――在論證極限問(wèn)題時(shí)不需要事先知道極限值．10.BolzanoWeierstrass定理有界數(shù)列必有收斂子列．11.12.幾個(gè)重要不等式(1)(2

5、)算術(shù)－幾何－調(diào)和平均不等式：對(duì)記(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.（3）Bernoulli不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò))對(duì)由二項(xiàng)展開(kāi)式22（４）Cauchy－Schwarz不等式:　(),有　　　　　?。ǎ担?，13.　O.Stolz公式二、典型例題1．用“”“”證明數(shù)列的極限．（必須掌握）例１　用定義證明下列各式：（１）；（２）設(shè)，，則；（97，北大，10分）（３）證明：（１），欲使不等式　　　　　　　成立，只須，于是，，取，當(dāng)時(shí)，有　　　　　　　即．（２）

6、由，，知，有，則于是，，有，即　　　　　　　　　　　　?。ǎ常┮阎?，因?yàn)?2，所以，，欲使不等式成立，只須．　　于是，，取，當(dāng)時(shí)，有　　　　　　，即　　　　　　　?。u(píng)注１　本例中，我們均將做了適當(dāng)?shù)淖冃?，使得，從而從解不等式中求出定義中的．將放大時(shí)要注意兩點(diǎn)：①應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，．這是因?yàn)橐?，必須能夠任意小；②不等式容易求解．評(píng)注２　用定義證明，對(duì)，只要找到一個(gè)自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有即可．關(guān)鍵證明的存在性．評(píng)注３　在第二小題中，用到了數(shù)列極限定義的等價(jià)命題，即：（１），有（為任一正常數(shù)）.（２），有.例２　用定

7、義證明下列各式：（１）；（92，南開(kāi)，10分）（２）證明：（１）（方法一）由于（），可令（），則22（）當(dāng)時(shí)，，有　　　　　　即　　　　?。?，欲使不等式成立，只須．于是，，取，當(dāng)時(shí)，有，即　　　　　　　?。ǚ椒ǘ┮?yàn)?，所以，，欲使不等式成立，只須．于是，，取，?dāng)時(shí)，有，即　　　　　　　?。ǎ玻┊?dāng)時(shí)，由于，可記（），則（）當(dāng)時(shí)，，于是有22．，欲使不等式成立，只須．對(duì)，取，當(dāng)時(shí)，有．當(dāng)時(shí)，（），而．則由以上證明知，有，即，故．評(píng)注１　在本例中，，要從不等式中解得非常困難．根據(jù)的特征，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)較容

8、易．要注意，在這兩個(gè)小題中，一個(gè)是變量，一個(gè)是定值．評(píng)注２　從第一小題的方法二可看出算術(shù)－幾何平均不等式的妙處．評(píng)注３　第二小題的證明用了從特殊到一般的證法．例　用定義證明：（）（山東大學(xué)）證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立．當(dāng)時(shí)，欲使成立，只須．于是，取，當(dāng)時(shí)，有22即　　　　　　　　　　　　　　?。≡O(shè)，用“”語(yǔ)言，證明：．證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論恒成立．當(dāng)時(shí)，，欲使只須．于是，取，當(dāng)時(shí)，有即