探究存在性問題(數(shù)學(xué))

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1、探究存在性問題“三部曲”（江蘇楊大為）存在性開放問題大多數(shù)是運(yùn)用類比的方法，通過類比歸納、猜想、論證，即通過分析類比、提出猜想，再進(jìn)行必要的論證。具體的思路是，假設(shè)結(jié)論存在或成立，若推證出矛盾，則結(jié)論確實(shí)存在或成立；若推證出矛盾，則結(jié)論不存在或不成立。說的明白一點(diǎn)就是，探究“存在性”問題，一般遵循“三部曲”：假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論（合理或矛盾兩種情形）。但任何事情都不是絕對(duì)的，有的存在性問題很明顯，并不需要嚴(yán)格按照上面的三個(gè)步驟進(jìn)行?，F(xiàn)以幾道中考?jí)狠S大題為例，相信對(duì)你的中考復(fù)習(xí)會(huì)有所幫助。例1（2007年湖北省荊門市第28題）．如圖1，在平面

2、直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合)．現(xiàn)將△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，將△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直線PD、PF重合．(1)設(shè)P(x，0)，E(0，y)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；(2)如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．圖1圖2分析：此題

3、將矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中操作，利用折疊探究函數(shù)關(guān)系式，融對(duì)稱、相似、函數(shù)等眾多知識(shí)點(diǎn)于一體，屬常規(guī)的存在性問題探究題，難度不是太大，相信同學(xué)們能順利求解。（下面給出詳細(xì)解答，有的還附上了原分值，以供同學(xué)們參考。）解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，則∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽R(shí)t△BPA．……………………………………………………………………2分∴．即．∴y=(0＜x＜4)．且當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值．…………………………………

4、……………………………4分(2)由已知，△PAB、△POE均為等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分設(shè)過此三點(diǎn)的拋物線為y=ax2＋bx＋c，則∴y=．……………………………………………………………………………8分(3)由(2)知∠EPB=90°，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)滿足條件．………………………………9分直線PB為y=x－1，與y軸交于點(diǎn)(0，－1)．將PB向上平移2個(gè)單位則過點(diǎn)E(0，1)，∴該直線為y=x＋1．………………………………………………………………………10分由得∴Q(5，6)．故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q(4，3)、

5、(5，6)滿足條件．……………………………………12分例2（2007年揚(yáng)州市第26題）．如圖，矩形中，厘米，厘米（）．動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿，運(yùn)動(dòng)，速度是厘米／秒．過作直線垂直于，分別交，于．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）若厘米，秒，則______厘米；（2）若厘米，求時(shí)間，使，并求出它們的相似比；（3）若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；DQCPNBMADQCPNBMA（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．分析：此

6、題仍然以矩形為依托，放棄了上例的平面直角坐標(biāo)系，融入了物理上的運(yùn)動(dòng)、數(shù)學(xué)上的相似、梯形、面積、方程等知識(shí)點(diǎn)。與上例類似，作為中考?jí)狠S大題，也不是很難。解：（1），（2），使，相似比為（3），，即，當(dāng)梯形與梯形的面積相等，即化簡(jiǎn)得，，，則，（4）時(shí)，梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可，則，把代入，解之得，所以．所以，存在，當(dāng)時(shí)梯形與梯形的面積、梯形的面積相等．例3（2007年遼寧省十二市第26題）．如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（－8，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（－6，－4）．（1）畫出直角梯形OMNH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°

7、的圖形OABC，并寫出頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)（點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C）；（2）求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值?若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）在（3）的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．第26題圖分析：此題與例1類似，但它加入了作圖、中心對(duì)稱、確定最值等

8、知識(shí)點(diǎn)，難度要比例1大一點(diǎn)，但由于第（4）小問降低了要求，所以得分應(yīng)該不是太難。解：（1）利用