數(shù)學(xué)解題基本方法之一 配方法

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1、數(shù)學(xué)解題的基本方法之一配方法陜西洋縣中學(xué)（723300）劉大鳴數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識相比較，它有較高的地位和層次.數(shù)學(xué)知識是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。而數(shù)學(xué)思想方法則是一種數(shù)學(xué)意識，只能夠領(lǐng)會和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識忘記了，數(shù)學(xué)思想方法也還是對你起作用.可以說，“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本

2、方法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識的同時獲得.數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，是解決問題的重要手段，它不僅有明確的內(nèi)涵，而且具有模式化與可操作性的特征，有實(shí)施的步驟和做法.高考經(jīng)典問題求解中的數(shù)學(xué)方法一般是指“配方法、換元法、待定系數(shù)法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、”等.有時在解決更小范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)問題所使用的的具體方法是“代入法、消元法、比較法、割補(bǔ)法、等積法”等.高考中常用的數(shù)學(xué)基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等.本系列專題通過概念與規(guī)律、基礎(chǔ)題型再現(xiàn)、思維啟迪、經(jīng)典問題回放、實(shí)戰(zhàn)演練等環(huán)節(jié)對數(shù)學(xué)基本方法的應(yīng)用進(jìn)一步的夯實(shí).【概念與規(guī)律】配方法是對數(shù)

3、學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡.何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方.有時也將其稱為“湊配法”.最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方.它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者在三角變換和圓錐問題的簡化運(yùn)算等問題.配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)

4、－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；解析幾何中的韋達(dá)定理和弦長公式；……等等.【基礎(chǔ)題型再現(xiàn)】1若實(shí)數(shù)a,b,c滿足則的最大值為2方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____A.1C.k∈RD.k＝或k＝13已知sinα＋cos

5、α＝1，則sinα＋cosα的值為______A.1B.－1C.1或－1D.04函數(shù)y＝log(－2x＋5x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____A.（－∞,）B.[,+∞]C.(－,)D.[,3]5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點(diǎn)P(x,x)在圓x+y=4上，則實(shí)數(shù)a＝_____6雙曲線的兩個焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，若，求P到x軸的距離.【思維啟迪】1：如何求最大值，只有對所求值重新整理，湊用題設(shè)和配方切入，2：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選B。3：已知等式配方湊成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sin

6、αcosα，然后求出所求式的平方值，再開方求解,選C。4：配方后得到對稱軸，結(jié)合定義域和對數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解，選D。5根與系數(shù)的關(guān)系中配湊整體思維,，解得3－.6構(gòu)建方程組，用圓錐曲線的定義需配方，為簡化運(yùn)算需整體代入.設(shè)點(diǎn)P到軸的距離為L，，則有，，配方用雙曲線定義，整體代入解得L.【經(jīng)典問題回放】例1Rt△ABC中，C=900，AC=8，BC=6，P是△ABC內(nèi)切圓上的動點(diǎn)，試求點(diǎn)Ｐ到△ABC的三個頂點(diǎn)的距離的平方和的最大值和最小值BAC·O1p【思維展示】如何解決最值？利用坐標(biāo)法，建立函數(shù)關(guān)系，只有用配方法才能化歸一次函數(shù)區(qū)間上的最值解決。如圖建系，則Ａ（８,0），Ｂ（

7、0，６），Ｃ（0，0）內(nèi)切圓半徑r===2,內(nèi)切圓圓心（２，２）其內(nèi)切圓方程（x-22+(y-2)2=4,設(shè)P(x,y)是圓上動點(diǎn),對目標(biāo)函數(shù)配方化簡，則S==(x-8)2+y2+x2+(y-6)2+x2+y2=3[(x-2)2+(y-2)2]-4x-76=3×4-4x+76=88-4x在[0,4]上的最值，由單調(diào)性得Smax=88,Smin=72例2求函數(shù)的最大值.【思維展示】如何溝通變量之間的關(guān)系選主元？只有配方才有，溝通變量的關(guān)系，換元將