資源描述：
《平面幾何中幾個重要定理》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、平面幾何中的幾個重要定理一．塞瓦定理塞瓦（G。Ceva1647—1743），意大利著名數(shù)學家。塞瓦定理設為三邊所在直線外一點，連接分別和的邊或三邊的延長線交于（如圖1），則與塞瓦定理同樣重要的還有下面的定理。塞瓦定理逆定理設為的邊或三邊的延長線上的三點（都在三邊上或只有其中之一在邊上），如果有，則三直線交于一點或互相平行。E例1．如圖3，是內一點，分別與邊交于，過三點作圓，與三邊交于。求證：交于一點。例2．設分別為三邊的中點，為內一點，分別交于（如圖4）。求證：三線共點。例3．以各邊為底邊向外作相似的等腰三角形（如圖5）
2、。求證相交于一點。一．梅涅勞斯定理Menelaus（公元98年左右），希臘數(shù)學家、天文學家，梅涅勞斯定理包含在其幾何著作《球論》里。梅涅勞斯定理設的三邊或它們的延長線與一條不經過其頂點的直線交于三點（如圖6），則。梅涅勞斯定理逆定理設分別是的三邊上或它們延長線上三點，若有，則三點在同一直線上。例4．設的∠A的外角平分線與BC的延長線交于P,∠B的平分線與AC交于Q,∠C的平分線和AB交于R.求證：三點在同一直線上。例5．圖8，過△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于P、Q、R，
3、求證：P、Q、R三點共線。注：直線PQR叫做△ABC的萊莫恩（Lemoine）線例6（戴沙格定理）設△ABC和△對應點的連線、、交于一點，這時如果對應邊和、和、和（或它們的延長線）相交，則它們的交點D、E、F在同一直線上。注：戴沙格定理是射影幾何中的重要定理。例7．（牛頓定理）設四邊形的一組對邊和的延長線交于點，另一組對邊和的延長線交于點，則的中點、的中點及的中點，三點共線。三．斯特瓦爾特定理Stewart（1753—1828），英國數(shù)學家、哲學家。斯特瓦爾特定理如圖，設P是的邊上一點，且==，則有斯特瓦爾特定理另外形式
4、：或當時，P為BC的中點，有（巴布斯定理）（中線定理）當AP是△ABC∠A的平分線是，有。例8．在△ABC中設AB=c，AC=b，c>b，AD是∠A的平分線，E為BC上一點，且BE=CD。求證：。例9．設為△ABC的重心，M是平面上任意一點，求證：練習1．△ABC的邊BC上任意一點D，設∠ADB和∠ADC的角平分線分別交AB、AC于F和E，求證：AD、BE、CF交于一點。2．已知AD是△ABC的邊BC上的高，P為AD上任意一點，直線BP、CP分別交AC、AB于E、F，求證：∠FDA=∠ADE。3．△ABC中，內切圓⊙O與
5、各邊BC、CA、AB相切于D、E、F，求證：AD、BE、CF交于一點。4．在△ABC中，，AM為BC邊上的中線，AD為∠A的平分線，頂點B在AD上的射影為E，BE交AM于N，求證：DN∥AB。5．設△ABC的三個旁切圓在BC、CA、AB上的切點分別為D、E、F，則AD、BE、CF交于一點。6．設平行四邊形ABCD內一點E，過E引AB的平行線與AD、BC交于K、G，過E引AD的平行線與AB，CD交于F、H，則FK、BD、GH互相平行或交于一點。7．一條直線與三角形三邊或其延長線交于L、M、N，若點與L、M、N關于三邊的中點
6、對稱，求證三點共線。8．設四邊形ABCD外切于⊙O，切點分別為，則相交于一點（或相交于一點）9．設D、E為的邊上兩點，且，則10．設正三角形ABC邊長為a，P為平面上任意一點，證明：。三．托勒密定理Ptolemy（約公元85—165年），希臘大數(shù)學家，他的主要著作《天文集》被后人稱作“偉大的數(shù)學書”。托勒密定理設四邊形ABCD內接于圓，則有。例1．如圖，設為平行四邊形的邊上的兩點，的外接圓交對角線于。求證：。例2．設為圓內接正方形，為弧上一點，求證：例3。如圖，已知圓內接正五邊形，若為弧上一點，則例4．設為同心圓，的半徑
7、是的半徑的2倍，四邊形內接于圓，分別延長交圓于，求證：四邊形的周長不小于四邊形的周長的2倍。一．西姆松定理R．Simson（1867—1768），英國數(shù)學家，曾于1756年校訂了歐幾里德的《幾何原本》。西姆松定理從的外接圓上任意一點向或它們的延長線引垂線，垂足分別為，則三點共線。過點的直線叫做關于點的西姆松線西姆松定理的逆定理也成立，即：從的三邊或它們的延長線引垂線，垂足分別為在同一直線上，則點在的外接圓上。西姆松定理還可以推廣為：（卡諾定理）過的外接圓上一點，引與三邊分別成同向的等角直線，與三邊交點分別為，則三點共線。
8、例5．設的三條高為，過作的垂線，垂足分別為，則在同一直線上。例6．（史坦納定理）設垂心為，其外接圓上任意一點，則關于點的西姆松線過線段的中點。例7．如圖，設為外接圓上的兩點，若關于的西姆松線和交于，則一．歐拉定理L．Euler（1707—1783），瑞士大數(shù)學家，在數(shù)學的多個領域都作出過重大貢獻。歐拉定理設的外心、重
