同濟高數(shù) 教案

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1、高等數(shù)學教案第一章函數(shù)與極限第一章函數(shù)與極限教學目的：1、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2、了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3、理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6、掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。7、了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9、理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與

2、右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。10、了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。教學重點：1、復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；2、基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；3、極限的概念極限的性質(zhì)及四則運算法則；4、兩個重要極限；5、無窮小及無窮小的比較；6、函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；7、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學難點：1、分段函數(shù)的建立與性質(zhì)；2、左極限與右極限概念及應(yīng)用；3、極限存在的兩個準則的應(yīng)用；4、間斷點及其分類；5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用?！?.1映射與函數(shù)一、集合1.集合概念集合(簡稱集):集

3、合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.用A,B,C….等表示.元素:組成集合的事物稱為集合的元素.a是集合M的元素表示為a?M.集合的表示:列舉法:把集合的全體元素一一列舉出來.44高等數(shù)學課程建設(shè)組高等數(shù)學教案第一章函數(shù)與極限例如A={a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為A={a1,a2,×××,an},M={x

4、x具有性質(zhì)P}.例如M={(x,y)

5、x,y為實數(shù),x2+y2=1}.幾個數(shù)集:N表示所有自然數(shù)構(gòu)成的集合,稱為自然數(shù)集.N={0,1,2,×××,n,×××}.N+={1,2,×××,n,×××}.R

6、表示所有實數(shù)構(gòu)成的集合,稱為實數(shù)集.Z表示所有整數(shù)構(gòu)成的集合,稱為整數(shù)集.Z={×××,-n,×××,-2,-1,0,1,2,×××,n,×××}.Q表示所有有理數(shù)構(gòu)成的集合,稱為有理數(shù)集.子集:若x?A,則必有x?B,則稱A是B的子集,記為AìB(讀作A包含于B)或BéA.如果集合A與集合B互為子集,AìB且BìA,則稱集合A與集合B相等,記作A=B.若AìB且A1B,則稱A是B的真子集,記作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合稱為空集,記作?.規(guī)定空集是任何集合的子集.2.集合的運算設(shè)A、B是兩個集合,由所有屬于A或者屬于B的元素組成的集合稱為A與B的并集(簡稱并),記

7、作AèB,即AèB={x

8、x?A或x?B}.設(shè)A、B是兩個集合,由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A與B的交集(簡稱交),記作A?B,即A?B={x

9、x?A且x?B}.設(shè)A、B是兩個集合,由所有屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集(簡稱差),記作AB,即AB={x

10、x?A且x?B}.如果我們研究某個問題限定在一個大的集合I中進行,所研究的其他集合A都是I的子集.此時,我們稱集合I為全集或基本集.稱IA為A的余集或補集,記作AC.集合運算的法則:設(shè)A、B、C為任意三個集合,則(1)交換律AèB=BèA,A?B=B?A;(2)結(jié)合律(AèB)èC=Aè(B

11、èC),(A?B)?C=A?(B?C);(3)分配律(AèB)?C=(A?C)è(B?C),(A?B)èC=(AèC)?(BèC);(4)對偶律(AèB)C=AC?BC,(A?B)C=ACèBC.(AèB)C=AC?BC的證明:44高等數(shù)學課程建設(shè)組高等數(shù)學教案第一章函數(shù)與極限x?(AèB)C?x?AèB?x?A且x?B?x?AC且x?BC?x?AC?BC,所以(AèB)C=AC?BC.直積(笛卡兒乘積):設(shè)A、B是任意兩個集合,在集合A中任意取一個元素x,在集合B中任意取一個元素y,組成一個有序?qū)?x,y),把這樣的有序?qū)ψ鳛樾略?它們?nèi)w組成的集合稱為集合A與集合B的直積

12、,記為A′B,即A′B={(x,y)

13、x?A且y?B}.例如,R′R={(x,y)

14、x?R且y?R}即為xOy面上全體點的集合,R′R常記作R2.3.區(qū)間和鄰域有限區(qū)間:設(shè)a

15、a

16、a

17、a￡x￡b}稱為閉區(qū)間,[a,b)={x

18、a￡x

19、a